三角恒等变换的综合(提高)-学案

1、全国名校，高中数学，必修四，优质学案，自学，寒暑假辅导专题汇编18授课主题第12讲-三角恒等变换的综合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，运用相关公式进行简单的三角恒等变换授课日期及时段T (Textbook-Based )司步课堂体系搭建知识概念1同角关系:商的关系：tan 6y sin 9x cos 日 sin 6=y = cos 0 'tan 0 r cosQx=sin 0 cot 9平方关系:sin2 日 +cos2日=12、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: cos(a P )=co曲 cosP +sin a sin P ；(2)

2、 cos(a + P ) = co口 cosP -sinot sin P si n( a-P)= si nacosP -cosasi nP : si n(a+P)=si na cosP+cosa si nP tan(-P)=tan-tan31 + tana tan P(tana -tan P =tan(a - P X1 +tan tan P ) tanZP)an5an31 -tana tan P(tana +tanP =tan(a"-tan tanP )3、二倍角的正弦、余弦和正切公式: sin 2a =2sinacosa= 1±sin2a2 2 2=sincos 25 &

3、#39;I 21 COS 2°二降幕公式 cos J =, sin o =a + cos2a ±2sind cosa =(sind ±cosa)22 2 2 2 cos2a =COS Ct sin a =2cos Ct 1 =1 2sin a2 a2 otcos2a +1"幂公式 l+cW2cos - , -CO曲=2sin - tan2d =竺二1 -tan ot4、万能公式:sin 2日=2tan21 +tan 9 cos2£=r1 + tan 0 tanlS sin 2e= tanY1 +ta n 6cos5、半角公式cos泌221 -c

4、osa2asin = ±2I1 -COSa Yl +COSasina1+cosasin a-COSO =（后两个不用判断符号，更加好用）6、辅助角：asinQ +bcos0 = Ja2 +b2 sin(0 +9)（其中辅助角W与点（a,b）在同一象限，且tan<P =-）a典例分析考点1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理 解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。、 1例 1 设 a = cos62也sin6,b=羊宥c=l笔,则有(2

5、1+ ta n 132cos 25A. a Ab ACB.acb<c c.a<c<b D.b<cca考点2.明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质, 它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。(1) 运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用 该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2.已知 n< 3<

6、 a< , cos ( a- 3) =12 , sin (o+ B) = 3，求 sin2 a 的值.24135例 3.化简：2sin50°sin 10 ° (1+丽 tan10 °： sin2 80° .(2) 运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中, 可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例 4:已知 sin ( a+3) =-, si n ( a- 3 =3，求 仙("-严 的值.。34tanP 怡门( + P)

7、(3) 运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例3.关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例 6:已知：向量 a = (J3,-1) , b = (sin2x, cos2x)，函数 f(x)=ab(1 )若f(x)=O且OCX吒兀，求x的值;(2)求函数f(x)取得最大值时，向量a与

8、b的夹角.:若sin a +sin P =,求cosa + cos P的取值范围。2例7.已知函数f(X術足下列关系式:f兀-x +yLfU；丿12 y丿(i)对于任意的X, y亡R，恒有2f (x)f (y)= f求证：(1)f (0)=0 ；f(X )为奇函数;f(X促以2兀为周期的周期函数.P(P ractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1、已知cosa=_35沐弋，卩是第三象限角，则co心a )的值是33656365C、56651665sin ?13cosy戶-433651665C、56656365/X 己 2k;i -3兀,2k;i4+ 訂(MZ)COS 一 X(4

9、贝U cos2x225242524252512 设 cos(x+y )sin Xsin (x+y)cosx=13y是第象限角，则 tan =2C、D、.兀兀5、函数 f（X ）=sin X+cosXT*222兀ABC兀的最小正周期是函数g（X ）=f（X）sin（兀X）为A、sin(兀X) Bcos 倍x! C12丿以2为最小正周期的奇函数，则函数f（x）可以sin 倍x D、sin 倍X】12 12丿Z77、某物体受到恒力是F=(1,涪)，产生的位移为S = (si nt, - cost)，则恒力物体所做的功是8、已知= (2cos 护,2si n 申)，W 忘(90,180 ), b=(1

10、,1)，则与b的夹、申-45C 、135 -护 D 、45 +申9、已知sin101310、函数y14厂 13 14<x2413<I，则式子2丿cos2x.的值为(cos 一14-X121313虫吟+屁。昇的图像的一条对称轴方程是11、已知1 -cosx +sin X 2 则1 +cosx +sin Xsin X的值为12、(兀0,I 4丿(0,兀)且 tan(m13、已知不等式12715tanP2a - P 的f(X ) = 3J2sisin Xcos4+ J6cos2 X - “6 - m兰0对于任意的442JI6 "气恒成立，则实数m的取值范围是A、 m>j3

11、 B 、 m<JS c 、 m< D、丁3 < m <课后反击1.设 a jcos6逅sin6”,b=*%，r匡理,则有(221+tan213Y 22.3.A. a Ab AC B.acbcc c.a<c<b D.bccca1 _tan2 2x函数y = ' 口;仆的最小正周期是（12+tan 2x兀B .- C .兀2Sin 163bin223：+sin 253sin313：=A . -1 B .丄 C. - D.2 2 23TO4已知 sin( -x) = 3,则 sin 2x 的值为( 4_19 D 16A. 一 B.2525C.1425D-i

12、5若 a e（0），且cos acos2a =()6.函数4 y =sin2x+cos x的最小正周期为（兀B. C .兀 D . 2 兀427.1已知tan2a = 求tana的值.3已知0 < x < _sinU _ x） = _ 求 c_-的值。9.若 A （0,兀），且 sin A + cos A = Z ,求 5sin A + 4cos A1315 si nA-7cosA的值。10.JI设f（x）=asin cox + bcosx（：0）的周期为T=沢，最大值f （一）=412求,a,b的值；若a沖 为方程f（x）=O的两根，且a沖 的终边不共线，求tan（a+P）的值.Ssummary-Embedded)归纳总结重点回顾名师点拨(2)变换对象:角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。变换目标:利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。变换依据:变换思路:V a2 + b2 sin(x + 4)即两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。