基本不等式专题

1、全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）训练目标（1）熟练掌握基本不等式及应用方法；（2）会用基本不等式解决最值问题；（3）能将基本不等式与函数、数列、三角函数等知识结合，解决综合问题.训练题型（1）比较两数（式）的大小；（2）求最大（小）值；（3）求代数式、函数式值域；（4）求参 数范围；（5）与其他知识交汇综合应用.解题策略（1）直接利用基本不等式（注意应用条件）；（2）将已知条件变形，以和”或 积”为定值为目标，构造基本不等式模型”注意积累变形技巧，总结变形突破点）.、选择题1.（优质试题 青岛模拟）设a, b R，已知命题P: a2 *+ b2W2b;命题q： f严）县夢则P是q成立

2、的（）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件1 12.若正实数X, y满足x+y+x+1= 5,贝U x+ y的最大值是（）3.（优质试题 泰安模拟）若a, b R，且ab0,则下列不等式中，恒成立的是（）a+ b2abC.b +2a bD . a2+ b22ab4当x1时，不等式1x+淘恒成立，则实数a的取值范围是（）2 ,+8)b的最小值为（6. 已知正项等比数列an满足a7= as+ 2a5,若存在两项am, an使得屆 an= 4ai,贝92+4的最小值为（）3a.225CE5B-5D .不存在, 1 27. 若直线 ax+ by 1 = 0(a

3、0, b0)过曲线y= 1 + sin n(0x0, y0，且一+ = 1，贝y x+ y的最小值是X y答案精析1. B 当P成立的时候,q 一定成立，但当q成立的时候，P不一定成立，所以P是q的充分不必要条件.x+ y2. C 因为 xy 4-,x0, y0,所以丄 xy x+ y也亠,xy x + y44o所以x+ y+ x+哥.设x+ y= t,即t +存，得到t - 5t + 4。解得1 Z,所以X+ y的最大值是4.3.C 因为ab0，所以b0，a0，即a+b支b=2（当且仅当a= b时等号成立），所以C.4.1D设f(x)= x+,因为x1 ,所以X 11x 10,贝U f(x)

4、= x 1 +-+ 1 x 111) H+ 1 = 3，所以f（X）min = 3,因此要使不等式1x + 淘恒成立，则ap所以实数a的取值范围是（8, 3,故选D.2 15. C 原式=(a b)+ b +=4(a b)b +1b(a b)a - b）bb（a4（当且仅当a = , b=时取等号）.26. A V a7= a6+ 2a5, - a5q = a5q + 2a5,又 an是正项等比数列，-a50,且 q0, - q q 2 = 0, q = 2 或 q = 1(舍去).又7am an= 4a1,- am an= 16a1, a1qn 2= 16a1,又 a1Qm + n 2= 4

5、, m+n = 6, m+4=i(m+4)(m+n)1 4m n=1(5+4m+ m?1祁5 + 2m)=2-当且仅当警m 即m= 2, n = 4时取等号. 7. C 画出 y= 1 + sin x（0x0, b0,12 12所以 1+ 2=(a+b)(a+ b)b 2a=1+a+卡+2 為+2 羽, 当且仅当a=时取等号.即(a+ 2)min = 3+ 2卩故选 C. & B a, b是互相垂直的单位向量, 设 a= (1,0), b= (0,1), c= (x, y).由 a c= b c= 1，得 x= y= 1,即 c= (1,1),1 1- C+ ta + -b= (1,1) + (t,0) + (0,-)1=(1+1,1+P, = (1 +1)2 + (1 + p2+12+12,10. (-4,2)解析x+2y=（x+砒+*2+4y+y+2決，当且仅当4y=X，即x=2y=4时等号成立.由 X+ 2ym2 + 2m 恒成立，可知 m2+ 2m8, m2 + 2m 80，解得4m2.解析 / xb0,则 a +2 1 210.（优质试题 长春调研）若两个正实数x, y满足2 3+=1,且X + 2ym2 + 2m恒成立，则实 X y数m的取值范围是311.函数y= 1 2x (x0, -1 + -丝，t+ 孑淳, 当且仅当t = 1时取等号, |c