平面向量数量积运算专题(附答案)

1、学习好资料欢迎下载平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1（1）（2014天津）已知菱形 ABCD的边长为2, / BAD = 120°点E, F分别在边 BC, DC 上，BC = 3BE , DC =入DF若Ae Af = 1,贝U入的值为已知圆0的半径为1 ,PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，那么PA PB的最小值为（）B. 3+72A. 4+2变式训练1（2015湖北）已知向量OA丄AB, |OA|= 3，则OA OB =题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角（1）（2015重庆）若非零向量a, b满足|a|=普，且（a b）丄（3a+ 2b），则a与b

2、的夹角nA.nn3 nB.2 c-D. n若平面向量a与平面向量b的夹角等于3，|a|= 2, |b|= 3，则2a b与a+ 2b的夹角的余弦值等于（）1a.261 1 1B. - 26c.石D.-方变式训练2 （2014课标全国I ）已知A, B, C为圆0上的三点，若Ao = 2（Ab + AC）,则AB与AC的夹角为题型三 利用数量积求向量的模例3 （1）已知平面向量 a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a与b的夹角为120°，则|2a + b|等于（）A.2B.4C.2V5D.6已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, / ADC = 90 ° AD =

3、2, BC= 1 , P是腰DC上的动点,则|PA+ 3PB|的最小值为1变式训练3 （2015浙江）已知e1 ,2是平面单位向量，且6 02 =-若平面向量b满足b e1 = b e?=1，贝y |b|=高考题型精练1.（2015山东）已知菱形 ABCD 的边长为a, / ABC = 60 °则BD CD等于（）B. 4a24A.討D.|a22.（2014 浙江）记 maxx,y=y,x> y,x<y,y , Xy,minx,y = 5 设a,b为平面向量，则（）lx, x<y,A.min| a + b|, |a b|< min| a|,|b|B.min|

4、a + b|, |a b| > min| a|,|b|2 2 2 2C.max|a+ b| , |a b| w |a| + |b|D.max| a+ bf, |a bf > |a j+ |b|l3.（2015湖南）已知点A, B, C在圆x2+ y2= 1上运动，且AB丄BC若点P的坐标为（2,0）,则|PA+ pB+pc|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9AB4.如图，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C为AB上靠近点A的四等分点，过 C作的垂线I, P为垂线上任一点，设 Oa= a, OB= b, OP = p,贝y p （b a）等于（）A. 2b.23C.2

5、3D.25.在平面上，ABi± AB2, |OBi|= |OB2|= 1, AP = ABi+ AB2.若|OP|<2，则 OA|的取值范围是(A.(0,当B芒，当c.f5,萌D.呼,V26.如图所示， ABC 中, / ACB= 90。且 AC= BC= 4，点 M 满足 BM = 3MA，则CM CB等于（B.3D.6A.2C.47. （2014安徽）设a, b为非零向量，|b|= 2|a|,两组向量xi,X2,X3,X4和yi,y2,yy4均由2个a和2个b排列而成.若X1 yi + x? y? + X3 y3 + x4 y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则a与b

6、的夹角为（）2 n n nA.亍 B.n C.n DO8. (2014江苏)如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB= 8, AD = 5, CP = 3pD, AP BP = 2, 则AB AD的值是9. 设非零向量a, b的夹角为B,记f(a,b)= a cos0- bsina若e1,e?均为单位向量，且 &e2 =吉L则向量f(e1, e2)与f(e2, - C)的夹角为10. 如图，在 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB = 1, AC = 3, AB, AC> = 60° 则 |OA|=311.已知向量 a = (sin x, 4), b= (cos

7、x,- 1).当 a / b 时，求 cos2x sin 2x 的值;12.在 ABC中，AC = 10,过顶点C作AB的垂线，垂足为 D, AD = 5,且满足AD = DB.求 |AB- AC|;(2)存在实数t > 1,使得向量x = AB+ tAC, y= tAB + AC,令k = xy,求k的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1（1）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，/ BAD = 120°点E, F分别在边BC,DC上，BC = 3BE , DC =A DF若Ae AF = 1,贝U A 的值为已知圆0的半径为1 ,PA,PB为

8、该圆的两条切线,A, B为切点，那么PA PB的最小值为（A. 4+迈B. 3+/2D. 3+ 2yJ2答案(1)2(2)D解析如图,ST T T TT 1 T T 1 T11AE AF = (AB + BE) (AD + DF) = (AB +7BC) (AD + "DC) = AB AD +"AB DC + 7BC AD 3AA3BC DC111442102=2 X 2X cos 120 ° f 2 X 2 +1X 2X 2 + V 2 X 2 X cos 120 2 + 4a+ 4 -= -2又 AE aF = 1,护 3 = 1，亠 2.(2)方法设 |P

9、A|= |PB|= X, / APB = 0,0则tan -=2 01 tan 72 4从而cos0_2x 1V 92 0 X + 1 .1 + tan 2PA PB = |PA| | PB| cos 02.422 X 1 X XX 21-7X + 1 X + 1 眉 + 1 $- 3牡2 + 1 ” 2X2+ 1 =x2+ 1 + 命-3込 3, 当且仅当X2+1 =2, 即X2述1时取等号，故PA PB的最小值为2羽3.方法二 设/APB = 0, 0< 0< n,则 |PA| |pb 0.tan 2PApB = |PA|PB|cos 0=2cos 0 tan 2cos2 专2

10、 2 02 0(1 sin 刃1 2sin2 扌)r(1 2sin 0 sin 2Sin2 扌令 x= sin2* O<xw 1,则 pA pB =1 XP2x=2x+ X 3> 2 羽3, 当且仅当2x=；即x=¥时取等号.故PApB的最小值为2返3.方法三以0为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy, 则圆0的方程为X2+ y2= 1, 设 A(xi, yi), B(xi, yi), P(X0,O), 则PA PB = (x1 x0, y1) (X1 x0, y1)= X1 2X1X0+ x2 y2.由 OA 丄PA? OA PA = (X1, y1)(X1 Xo, y”

11、 = 0 ? xf X1X0+ y2= 0, 又 X2+ y2= 1, 所以 X1X0= 1.从而 PA pB= X2 2xix0+ X2 y2 =x2 2 + Xo (1 Xi)=2x2 + X0 3 3.故PApB的最小值为2承-3.点评（1）平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a, b的数量积a b与代数中a, b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“ ”向量的数量积运算需要注意的问题：a b= 0时得不到a = 0或b= 0,根据平面向量数量积的性质有 |a|2= a2,但 |a b|w |a| |b|.变

12、式训练1（2015湖北）已知向量OA丄AB, |OA|= 3，则OA OB =答案 9解析 因为 OA丄AB,所以OA aB= 0.所以 OA Ob= OA（oA+ AB）= oA2+OA Ab = |OA|2 + 0=32= 9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2（1）（2015重庆）若非零向量a, b满足|a|=2，且（a b）丄（3a+ 2b），则a与b的夹角nA.nnB-23 nChD. nn若平面向量a与平面向量b的夹角等于3，|a|= 2, |b|= 3，则2a b与a+ 2b的夹角的余弦值等于（）1A. 261B. 26答案（1）A（2）B解析 由(a b)丄(3a +

13、2b)得(a b) (3a + 2b) = 0,即 3a2 a b- 2b2= 0.又/ |a|=嬖冋，设3a, b= 0,即 3|a|2 |a| |b| s 0 2|b|2= 0,- |b|2-cos 0- 2|b|2= 0. cos 0=¥.又 0< 0< n 0= n记向量2a b与a+ 2b的夹角为0,又(2 a b)2=4 X 22+ 32 4X 2X 3X cos 扌=13,3(a + 2b)2= 22+ 4 X 32 + 4 X 2X 3X cos 彳=52,3(2 a b) + 2 b) = 2a2 2b2 + 3 a b=8 18+ 9 = 1,故 co

14、s 0=詮器2b=-26,即2a b与a + 2b的夹角的余弦值是 右点评 求向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律,数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角变式训练2（2014课标全国I ）已知A, B, C为圆0上的三点,若A0=2(Ab + AC),则AB与AC的夹角为答案 90°解析/ AO= 1(AB+AC),点0是ABC中边BC的中点, BC为直径，根据圆的几何性质得AB与Ac的夹角为90°题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量 a和b, |a|=

15、1, |b|= 2,且a与b的夹角为120°，则|2a + b|等于()B.4D.6A. 2C./5 已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, / ADC = 90 ° AD = 2, BC= 1 , P是腰DC上的动点, 则|PA+ 3PB|的最小值为答案(1)A(2)5 解析 因为平面向量a和b, |a|= 1, |b|= 2,且a与b的夹角为120° 所以 |2a+ b|=寸(2a /+ b2+ 2X |2a| x |b|cos 1202.=T2x 12+22+ 2x 2x 1 x 2x(2)方法一以D为原点,分别以DA、DC所在直线为X、y轴建立如图所示

16、的平面直角坐标系，设 DC = a, DP = x. D(0,0), A(2,0), C(0,a), B(1 ,pA= (2, x), Pb= (1 ,a x),a), P(0, x),PA+ 3PB = (5,3a 4x),|PA+ 3pB|2= 25 + (3a 4x)2> 25,|PA + 3pB|的最小值为5.方法二 设DP = xDC(0<x<1), PC =(1 x)DC ,pA= DA - DP = IDA xDC ,> > >> 1 >PB= PC+ CB = (1 x)DC + 2DA ,PA+ 3PB =强 + (3 4x)D

17、C ,|pA+ 3PB|2= dA2 + 2X IX (3 4x)DA dC + (3 4x)2 DC2= 25 + (3 4x)2dC2> 25,|PA + 3pB|的最小值为5.点评 把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量 a = (x, y)，求向量a的模只需利用公式|a|=7x2 + y2即可求解.向量不放在坐标系中研究,求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是 会把向量a的模进行如下转化：|a |=7孑.1变式训练3 (2015浙江)已知e1 ,2是平面单位向量，且e1 02 =刁.若平面向量b满足b e

18、1 = b e：则 |b|=解析答案 因为|ei|=|e2|= 1且ei e2 = 2所以ei与e?的夹角为60°又因为b© = b 2= 1，所以b e 1b e2= 0,即 b(e1ez)= 0，所以 b丄(e1 e?).所以 b与e1的夹角为30°所以 b e1= |b|e1|cos 30 °= 1.所以|b|=呼.高考题型精练1.（2015山东）已知菱形ABCD的边长为a, / ABC = 60 °则BD CD等于（）A. |a2C.|a23 2B. 4aD.|a2解析如图所示，由题意，得 BC = a.CD = a, / BCD =

19、120°A答案 DBD2= BC2 + CD2 2BC CD cos 120 = a2 + a2 2a ax （ |J= 3a2,BD = f3a.=|a2. Bd cd = |BD|CD|cos 30 =°3a2 x 当Jx, x> y,2.（2014 浙江）记 maxx,y = 5y, x<y,y, x> y,minx,y = i设a,b为平面向量，则（）lx, x<y,A.min| a + b|, |a b|< min| a|b|B. min| a + b|, |a b| > min| a|, |b|2 2 2 2C. max|a+

20、 b| , |a b| w |a| + |b|D. max| a+ b|2, |a bf > |a|2+ |b|2 答案 D解析 由于|a + b|, a b|与|a|, |b|的大小关系与夹角大小有关，故A ,B错当a, b夹角为锐角时，|a+ b|>|a b|,此时，|a + b|2>|a|2+ |b|2;当 a, b夹角为钝角时,a + b|<|a b|,此时,|a b|2>|a|2+ |b|2;当 a丄b时，|a + b|2= |a bf = |a|2+ |b|2,故选 D.3.（2015湖南）已知点A, B, C在圆x + y = 1上运动，且AB丄BC

21、.若点P的坐标为（2,0）,则|PA+ pB +pC|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9答案 B解析/ A, B, C 在圆 X2+ y2= 1 上，且 AB丄 BC, AC 为圆直径，故 PA+ PC = 2PO = ( 4,0)，设 B(x, y)，贝U x2 + y2= 1 且 x 1,1, PB = (x2, y), PA+PB+ PC = (x 6, y).故|PA+PB+ PC|=p 12x + 37, x = 1 时有最大值 49= 7,故选B.4.如图，在等腰直角 ABO中，OA = OB= 1, C为AB上靠近点A的四等分点，过 C作AB的垂线l, P为垂线上任一点，设

22、Oa= a, OB= b, OP = p,贝y p （b a）等于（）D.l答案 A解析以OA, OB所在直线分别作为x轴，y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,31则 A(1,0), B(0,1), C(4 -), 直线1的方程为y-Fx-3,1即 x-y-2= 0.1 1 设 P(x, x 2)，则 P= (x, x ?), 而 ba = (- 1,1),1 1所以 p (b a) = x+ (x 1)=-5.在平面上，AB1± AB2, |0B1|= |oB2|= 1, AP =BBB 1B=AB1 + AB2.若|OP|<2,则0A|的取值范围是()A.(0,当B芒再，

23、曲d.(¥，迟答案解析由题意，知Bi, B2在以0为圆心的单位圆上，点 P在以0为圆心，2为半径的圆的内又ABi±AB2, AP= ABi+ AB2, 所以点A在以BiB2为直径的圆上, 当P与0点重合时，OA|取得最大值 逼,当P在半径为2的圆周上时，|OA|取得最小值 爭, 故选D.6.如图所示， ABC 中, / ACB= 90。且 AC= BC= 4，点 M 满足 BM = 3|Ma，则CM CB等于（）A.2B.3C.4D.6答案解析在 ABC 中，因为 / ACB= 90° 且 AC = BC= 4,所以 AB = 4yJ2,且 B = A= 45&#

24、176;.因为 BM=3|Ma，所以 BM = bA.所以 CM CB = (CB + BM) Cb= CB2+ BM CB = CB2 + : BA CB = 16 + 3X 诽 X 4cos 135 = 4.7.（2014安徽）设a, b为非零向量，|b|= 2|a|,两组向量xi,x?,X3,X4和yi,y?,讨3y均由2个a和2个b排列而成.若X1 yi + X2 y2 + X3 y3 + x4 y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为（）n nB.3 C.6 D.o答案解析4设a与b的夹角为0,由于Xi, yi（i= 1,234）均由2个a和2个b排列而成，记S=Si

25、= 1（Xi yi），则S有以下三种情况: S= 2a2+ 2b2; S= 4a b; S= |a|2+ 2a b + |b|2- |b|= 2|a, 中 S= 10|a|2,中 S= 8afcos 0,中 S= 5|a|2+ 4|afcos 0.易知 最小，即8|afcos 0= 4|a|2,1 、- cos 0= 2 可求0=n,故选B.38.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB= 8, AD = 5, CP = 3PD, AP BP = 2,则AB D的值是答案 22解析由 cP= 3PD，得dP = 4dC = 4AB,1f f f 1f f 1 f，二 AP = A

26、D + DP = AD + -AB, BP=AP AB = AD +-AB 444f f 3 f f ff 1 f f 3 f 2 1 f f 3 f 2AB = AD 4AB.因为 AP BP= 2，所以(AD + 4AB) (AD 4AB) = 2，即 AD "AD AB AB =2.又因为 AD2= 25, Ab2= 64,所以 Ab ad = 22.9.设非零向量a, b的夹角为0,记f(a,b)= a cos0- bsin0若e1,e2均为单位向量，且 &e2，则向量f(ei, e2)与f(e2, - 6)的夹角为迥2答案解析由eie2=当'可得cosS&#

27、39; e2>=歸=警故ei, e2>n=6,e2, e1>= n- e2, 6=罟6f( ei,n n "43162)= e1Cos 6 e2sin 6= 2 & 2f( e2,5n 1 迟©1)= e2cos 6 ( ei)sin g = £i 2 e2.f( ei,e2) f(e2, e” =芒e 茲)( e 当e2)=中S e2 = 0,所以f(ei, e2)丄f(e2, ei).故向量f(ei, e2)与f(62,- ei)的夹角为 才 10.如图，在 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB = 1, AC = 3, AB ,

28、 AC> = 60° 则 |<5A|=解析 因为Ab, Ac>= 60° 所以AB Ac= |AB| |AC|cos 60 = 1 X 3X"2= I，又AO= 2(Ab + AC),所以aO2=1(AB+AC)2= 4届2+ 2AB aC+ aC2),即 aO2=*1 + 3+9)=乎，所以 亟|=罟.311.已知向量 a = (sin x, 4), b= (cos x,- 1).2(1)当 a / b 时，求 cos x sin 2x 的值;设函数f(x) = 2(a+ b) b,已知在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为 a, b, c，若a/s, b = 2, sin B=¥，求 f(x) + 4cos(2A + 誣 0 , n)的取值范围.3解因为