圆中的分类讨论典型例题讲解

1、圆中的分类讨论、知识点回顾由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。 如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条 直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。二、典型例题一、点与圆的位置关系不唯一性例1 :若所在O 0所在平面内一点 P到O 0上的点的最大距离为 a，最小距离为b (a>b),则此圆的半径为(a + iA、"V分析： P 可能在圆内，也可能在圆外。P在圆内时。如图 1-1。连接0、P所在的直线交O 0于A、B。贝y P

2、A=a , PB=b 直径 AB=PA+PB=a+bP在圆外时。如图 1-2。此时直径 AB=PA PB=a b,半径 0A=0B=1/2 AB=1/2(a b)由可知，应选(C)。，半径 0A=0B=1/2 AB=1/2(a+b )二、弦与弦的位置关系不唯一性例2 :O 0的半径为5cm，弦AB / CD, AB=6cm , CD=8cm ，贝U AB与CD之间的距 离是(A) 7cm(B) 8cm(C) 7cm 或 1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。(D1cm* . B圏21图23与CD在圆心如图2-1。过0作弦AB的垂线，交 AB于M,交CD于N。连接 0B,

3、 0D。/ AB/ CD, 0M丄 AB, 0N 丄CD弦AB的同侧。由垂径定理，BM=1/2AB=3cm , DN=1/2CD=4cm ，又 OB=OD=5cm 在 Rt BMO 中，OM2=OB2-BM2=16cm，求得 OM=4，同理 ON=3cm MN= OM ON=4 3=1 cm弦AB与CD在圆心的异侧。如图 2-2 。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm故选（C）。例3 :如图，已知 AB是O O的直径，AC是O O的弦，AB=2 , AC= V2，在图中画出 弦AD，使AD等于1，并求出/ CAD的度数。弦AC与弦AD在直径AB的同侧。CBBE3-2分析：弦AC与弦AD可能在

4、直径 AB的同侧，可能在直径AB的异侧。如图3-1。连 OC、OD。由 OC=OD=1/2 AB=1 , AC= V22 2 2- OC +OD =AC / AOC=90 °，/ CAO= / ACO=45 又 OA=OD=AD，/ DAO=6O °/ DAC= / DAO / CAO=15 °弦AC与弦AD在直径AB的异侧。此时，/ DAC= / DAO+ / CAO=115 °三、点在直径上的位置不唯一性例4 :已知O O的直径 AB=10cm ，弦CD丄AB于点于点 M。若OM : OA=3 : 5 ,则弦AC的长为多少?分析：垂足M可能在半径 O

5、A上，也可能在半径连接 OC。AB=5cm , 又 OM :BM在半径 OAOA=3 :5,-. OM=3cmOB上。£4-2上。如图4-1。OC=OA=1/2/ AB是直径，弦CD丄ABMC=4cm在 Rt OMC 中，MC2=OC2-OM2=16cm，求得又 AM=OA OM=2cm 在 Rt AMC 中，AC2=AM2+MC2=22+42=2O (cm),求得：AC=4 V5M在半径 OB上。如图4-2.此时，AM=OA+OM=8cm2 2 2 2 2AC =AM + MC =8 +4 =80 (cm)，求得 AC=4 V5.四、弦所对圆周角的不唯一性 例5:圆的一条弦长等于它

6、的半径，那么这条弦所对的圆周角为(B) 60(A)30 °或 60分析：弦(不是直径)所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧,(C) 150(D) 30。或 150 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。如图5。劣弧所对的角为/ ACB，优弧所对的角为/ ADB。由 AB=OA=OB ,/ AOB=60 °/ ACB=1/2 / AOB=30 °故选(D)/ ADB=1/2(360 °-/ AOB) =1/2(360 °- 60 °) =150五、圆与圆的位置关系不唯一性_ 例6 .如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是()。(A) 5cm(B) 11cm(C) 3cm(D)11cm 或 5cm分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。两圆外切。如AB=8+3=11cm图 6-1。共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为(图6-2 O故选(D)、.八、相交位置关的半径4cm ,公分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。02垂直平分公圆心在公共弦的异侧。如图7-1 O 连接0iA, 02A0由圆的对称性，0i共弦 ABo AD=1/2AB=3在 Rt A O1D 中，OiD= O iA2-AD2 =16 , OiD2=42 2 2在 Rt A O2D