全等三角形小结与复习

1、学习好资料欢迎下载全等三角形复习指导考点呈现考点一全等三角形的概念和性质例1下列命题：形状相同的三角形是全等三角形；面积相等的三角形是全等三角 形；全等三角形的对应边相等，对应角相等；经过平移得到的三角形与原图形是全等形其中正确的命题有（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个解析：全等三角形是指两个完全重合的三角形，不仅形状相同，大小也相同，两者缺一不可.互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，平移、翻折、旋转不改变图形 的大小与形状，所以正确.故选B.点评：本题主要考查了全等三角形的概念和性质，注意把一个图形平移、旋转、折叠后得到的图形与原来的图形全等例2如图1, D

2、, E分别为 ABC的AC , BC边的中点， 将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.NCDE =64。，则 NADP等于（A. 42 ° B . 48° C . 52° D . 58 ° 解析：由题意知 CDE P DE,所以 NP DE=NCDE=64。，则 NADP = 180°-NCDE-NPDE =180°-64°-64。= 52°.故选 C.点评：本题以折叠为背景，主要考查全等三角形的性质， 运用全等三角形的对应角相等结合平角的概念解决问题考点二 三角形全等的判定例3（2010年四川巴中）如

3、图2, AB = AC ,要说明 ADCN AEB, 需添加的 条件）不能是A . / B =/ CB. AD = AEC./ ADC = / AEBD. DC = BE解析：已知AB=AC，还有一个公共角/ A,具备了一边一角的条件，可根据“ SAS”添加AD=AE ;可根据“ ASA ”添加/ B=/ C;可根据“ AAS ”添加/ ADC = / AEB ;若添加DC = BE，则是“SSA ”不能判定两个三角形全等 .故选D.点评：本题目是一道条件开放型问题，判定三角形全等的方法有“SSS、SAS、AAS、ASA :要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可,时，不能构成

4、“SSA”的形式学习方法报社页学习好资料欢迎下载学习方法报社第10页共7页例4（2010年四川凉山州）如图3,已知/ E =/ F = 90° / B = / C, AE = AF.有下列结论： EM = FN : CD = DN ;/ FAN =/ EAM :厶ACNABM.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：因为/ E=/ F = 90° / B = / C, AE = AF，所以 AEB AFC.所以 AC = AB, / EAB =/ FAC.在 ACN 和 ABM 中，/ C = / B , AC = AB，/ CAB = / BAC，所以 AC

5、N ABM，正确；因为/ EAB = / FAC,所以/ EAB-/ CAB=/ FAC-/ CAB，即 / EAM =/ FAN,正确；在 EAM 和 FAN 中，/ EAM = / FAN, AE = AF，/ E =/ F = 90 °所以 EAM BA FAN.所以EM = FN，正确；由已知条件不能判断出 CD = DN.故正 确的有3个，应选C.寻求三点评：本题主要考查三角形全等的判定，求解时应同时从题设条件和图形出发,考点三 运用三角形全等证明线段（或角）相等角形全等的条件，准确判定例5（2010年呼和浩特）如图4,点A，E，F，C在同一条直线上，AD / BC, AD

6、=CB, AE=CF.求证 BE=DF .分析：要证明的两条线段 BE和DF分别为 CBE和 ADF中 的边，可以考虑通过证明 ADF CBE来解决.证明：/ AD / BC,/ A =/ C ./ AE= FC, AF = CE.在 ADF 和 CBE 中，AD = CB,/ A=/ C, AF = CE , ADF CBE. BE= DF.通常可以尝试通过三角形全等点评：如果要证明的两条线段分别是两个三角形的边时, 进行证明.例6（2010年北京，改编）如图5,点A，B，C，D 在同一条直线上，EA丄AD , FD丄AD , EC=BF ,AB=DC .求证/ ACE=/ DBF .分析：

7、要使 / ACE= / DBF , 只要 RtA EAC也Rt FDB即可，两个三角形显然满足 “ HL ”.证明：/ AB=DC, AC=DB./ EA丄 AD, FD 丄 AD, / A= / D=90 ° .在 Rt EAC 和 Rt FDB 中，EC=FB , AC=DB , Rt EAC也 Rt FDB. / ACE= / DBF .点评：注意hl”只适用于直角三角形，而“ SSS、SAS、ASA、AAS ”适用于所有的三角形.考点四 三角形全等的实际应用例7 （2010年广安）某学校花台上有一块形如图6所示的三角形ABC地砖，现已破损.管理员要对此地砖测量后再去市场加工

8、一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，现只有尺子和量角器， 请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由 解析：本题是要利用尺子和量角器测量得到的数据作一个三角形与 全等三角形的判定可以有多种测量方案.女口：用量角器分别量出尺子量出AB的长，根据这三个数据，按照原来的位置关系加工地砖AABC全等，根据/A、/B的大小；用点评：本题是一道方案设计问题， 主要考查运用三角形全等解决实际问题的能力,具有定的开放性，主要依据“ SAS、ASA、AAS、SSS ”设计测量方案.考点五角的平分线的性质例8有下列说法：角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这

9、个角的平分线上；三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中正确的有（）A.B. 2个C. 3个D. 4个解析:由角的平分线的性质可知 正确.故选C.点评:解题时要注意用角的平分线的性质，不要总是用全等去证明（2010年曲靖）如图7,在Rt ABC中，/ 0= 90°若 BC= 10, AD 平分/ BAC交BC于点D，且BD : CD = 3 : 2,则点D到线段AB的距离为解析：要求点D到AB的距离，过点 D作DE丄AB于点E,线段DE长度即为所求.因为AD平分/ BAC,所以DE = CD.因22为 BD : CD = 3 : 2

10、,所以 CD =BC =10=4 .故 DE =55点评：解决本题的而关键是运用角的平分线的性质把求点到线段AB的距离转化为求线段CD的长度.误区点拨误区一 对“对应”二字理解不深、不透例1已知两个直角三角形中，有一锐角相等，又有一边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等.剖析：对全等三角形判定定理中的“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等，如图1，在Rt ABC与Rt EDC中，CD=AB,/ 仁/2,/ C=/ C=90。，显然 ABC 与 EDC 不全等.误区二臆造全等的判定方法例2 如图2, AC和BD相交点于0，且N D =NC

11、 ,AD = BC .求证 DABCBA错解：在 DAB 和 CBA中, A&BC AB=BA /D = / C , 所以 DAB CBA剖析：“ SSA”不能判定三角形全等，属于臆造三角形全等的判定方法导致错误.正解：在 ODA 和 OCB 中，/ D= / C , / AOD = / BOC , A&BC 所以 ODA OCB. 所以 OD=OC,OA=OB.所以 OD+OB=OC+OA ,即 BD=AC.在 DAB 和 CBA中 , AD=BC / = / C , BD=AC,所以 DAB CBA误区三忽视图形的多种情况例 3 已知 ABC 和 ABC'中,AB=

12、 A'B', AC = AC,若 AD, AD 分别是 BC, B'C' 边上的高，且AD = AB.问 ABC与 A B C是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等， 请举出反例.错解：这两个三角形全等.证明如下：如图 3,在Rt ABD和Rt A B D '中，因为AB =A B ', AD = A D',所以 Rt ABD 也 Rt A B D :所以 BD = B D :同理可得 DC = D C '，所以 BC = B C '在 ABC 和 A B C '中，因为 AB = A，B ',AC =

13、A C ； BC = B C '，所以 ABCA，B C，.CD图3剖析：这两个三角形不一定全等.当这两个三角形均为钝角 个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等.（或锐角）三角形时全等；若DB，C，D'正解：这两个三角形不一定全等 .如图4,虽有BD = BD', DC = DC',但BC丰B C因 此这两个三角形不全等.跟踪训练1.如果 AMNP 如 ANMQ，且 MN =8cm , PN =7cm, PM =6cm，则 MQ 的长A. 8cm B. 7cm C. 6cm ABC 尢 ADC2.如图1,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定

14、的是A. CB = CD/ BAC = / DACC. / BCA= / DCAD./ B= / D =90。C图13.如图 2, NCPO =NBOP,PC图2/ OA, PD丄OD ,如果PD = 4，则点P到OB的距离是A. 2 B. 3 C. 4 D.OA, OBP，作射4.尺规作图作NAOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交于C , D，再分别以点C , D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点 2线OP,由作法得OCPODP的根据是A. SAS B. ASAC. AAS D. SSS5.如果 ABCDEF , DEF 周长是 32 cm , DE=9cm , EF

15、=13 cm , / E= / B,则 AC=cm.6如图3,已知AB = AD , Z BAE=NDAC，要使 ABC ADE，可补充的条件是.（写出一个即可）D图47如图4, ABE和 ACD是 ABC分别沿着AB, AC边翻折180形成的，若ZBAC =150，则N0的度数是8.如图5,在RtAABC和RtA BAD中，AB为斜边,AC=BD，BC，AD 相交于点 E .求证 AD=BC 9.如图 6,在人ABC 中，NACB =90。, AC = BC , BE丄CE , AD丄CE，垂足分别为E , D，且AD = 5cm, DE = 3cm，求BE的长度.跟踪训练参考答案B 2.C3.C4.D7. 60106.答案不唯一，如AE = AC或NB=ND等证明：在 RtAABC 和 RtABAD 中,AB=BA,AC=BD, RtA ABC