基本不等式知识点和基本题型

1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b R,则 a2 b2 2ab若a,b R,则ab2、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形I右a,b2.2a b22 . ab(1)若 a,b R ,则(2)若 a,b* 一.R，则 ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件:5、常用结论(1)(2)(3)ab(4)a, b(5)a, b2 （当且仅当x 1时取“=”）R，则ab七当且仅当当且仅当b)2a2 b2x 1时取“=”)a b时

2、取“=”)*dR，人 aab11a b特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6、柯西不等式(1)(2)(3)a,b,c,d R,则(a2 b2)(c2 d2)2a1,a2,a3,bi,b2,b3 R,则有：(a1a1，a2, ,an 与 b1，b2, ,bn 是两组实数,(ac2 a2则有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式21、设a,b均为正数，证明不等式 7ab >12、已知aa,b,c为两两不相等的实数，求证：1ba23、已知2-2a b4、已知a,b,cc 1,求证：（1已知a,b,c R1,求证:6、选,修4 5:不等式选设a,b,c均为正数，且a1,证明：（

3、I)ab7、选/啰4 5:不等式选耕:已知a b题型二：利用不等式求函数值域bd)222a3 )(1 b1b222a21 2、b3 ) (a1b1222an )(b1 b2a2b2bn2)a3b3)22(aq a2b2anbn)b2c2ab bccaa)(11bbcb)(11ca2a3c)3b38abc2 a n) 2ab2b21.c2b1、求下列函数的值域21(1) y 3x222x2题型三：利用不等式求最值(2) y x(4 x)，、1 ， c、(3) y x (x 0) x(4) y1(x 0) x1、已知求函数y 2x变式1:已知x2,求函数2x(凑项)4，一的取小值；2x 44，的取

4、小值;变式2:已知x2,求函数2x练习：1、已知x4x2x 44，一的最大值；2x 421 的最小值;4x 52、已知x ,求函数y4y题型四：利用不等式求最值4x1的最大值;4x 5(凑系数)1、x(8 2x)的最大值;变式1:C/44时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式2:求函数y 4x(3 2x)的最大值。2、若0变式：若0x 4,求、；x(6 3x)的最大值；y Jx(8 2x)的最大值;3、求函数y2x 115 2x( x2变式： 求函数y J4x 3 <11 4x(-4司的最大值；(提示：平方，利用基本不等式)2x H)的最大值；题型五:巧用的代换求最值问题1、已知a,

5、b0, a2b1 ，一 ，一的最小值; b法一:法二:变式1:已知a,b0,a2b2,1 ，一，一1的最小值;b变式2:已知x, y20,一 x变式3:已知x, y0,且变式4:已知x, y0,且变式5:变式6:题型六:求xy的最小值;y的最小值。y的最小值;(1)若 x, y 0且 2x已知正项等比数列an分离换元法求最值(了解)1、求函数y2、求函数y满足：a7 a61 .一的最小值；(2)若a,b,x, y y2a5,若存在两项am, an ,使得R且自 xll,aman1,求xy的最小值;4，一的取小值;n2x2 7x 10/ 八(x1)的值域；x 1.x 2 一 .的取大值；(提不：

6、换兀法)2x 52 x 变式：求函数y x变式：求函数y题型七：基本不等式的综合应用1、已知log 2 a log 2 b 1 ,求3a 9b的最小值81(x1)的值域;x 1 4的取大值;4x 92、（2009天津）已知a,b 0,求J1 2fm的最小值；a b11变式1： （2010四川）如果a b 0,求关于a,b的表达式a2 的最小值；ab a（a b）变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 a 0,a 1时，函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点 A,若点A在直线 mx y n 0上，求4m 2n的最小值；3、已知 x, y 0 , x 2y 2xy 8,求 x 2 y 最

7、小值；变式1:已知a,b 0 ,满足ab a b 3 ,求ab范围；1 11变式2： （2010山东）已知x,y 0 , -,求xy最大值；（提小：通分或二角换兀）2 x 2 y 3变式3： （2011浙江）已知x,y 0 , x2 y2 xy 1,求xy最大值；4、（2013年山东（理）设正实数x, y,z满足x2 3xy 4y2 z 0,则当 上取得最大值时，2 1 2的最大值为（1） zx y z（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0,求 L的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围1 a、_1、（2012沈阳检测）已知x,

8、 y 0,且（x y）（ ） 9恒成立，求正实数a的最小值；x y11 n2、已知x y z 0且 恒成立，如果 n N ,求n的最大值；（参考：4）x y y z x z（提示：分离参数，换元法）-14变式：已知a,b 0酒则一 一2 ,若a b c恒成立，求c的取值范围； a b题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式2(ac bd)（a,b,c,d R,当且仅当 a b;即ad bc 时等号成立）若 a,b,c,d R,则（a2 b2）（c2 d2） c d2、二维形式的柯西不等式的变式;即ad bc时等号成立）d;即ad bc时等号成立）d(1)Va2 b2 vc2 d2 ac

9、bd , (a,b,c,d R,当且仅当 a c(a b)(c d) ("Gc 屈)2 , (a,b,c,d 0,当且仅当 a c3、二维形式的柯西不等式的向量形式6,（当且仅当0,或存在实数k,使ak时，等号成立）b32)(aha2b2a3b3)2纵2)(匕2 b22bn2)(明 a2b2a b )2n n /4、三维柯西不等式 2222,2右 a1,a2, a3, bi,b2, b3 R,则有：（a a2a3 ）（14b25、一般n维柯西不等式设a1,a2, a与"b, ,bn是两组实数，则有：（a； a22题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, 析

10、：（x此日x12、设 x,y,z2yy2y,zR,若2z)22x(x2Z2R,122xAns： m 4; (x, y,z)2y2 y6z24,z2)12_ 22 2(2)2y 2z 6 ,x2)22y 2z的最小值为22 4 9 362时，（x, y, z）, x 2y 2z最小值为3求x243, z并求此时x, y,z之值。424(二，二，二)3333、设 x, y, z R , 2x （析：2x 3y z 34、（2013年湖南卷（理）5、（2013年湖北卷（理）6、求 2sin. 3 cos析：构造法：令a2223y z 3,求 x (y 1) z 之最小值为 ,此时 y 2x 3(y 1) z 0)已知 a,b,c ,a 2b