二次函数专题总复习

1、二次函数专题复习学习目标：1 .经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关 系.2 .能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选 取适当的方法表示变量之间的二次函数关系.3 .会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验.4 .能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.5 .理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.6 .能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测.考点

2、1:二次函数的图象和性质一、考点讲解：2.1,二次函数的定义：形如 y ax bx c （aw 0, a, b, c为常数）的函数为二次函数.2.二次函数的图象及性质： 二次函数y=ax2 （aw。）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大.y=a（xh）2+k的对称轴是x=h, 顶点坐标是（h, k）。.一一2,-一，一 一. 二次函数y ax bx C的图象是一条抛物线.顶点为（一丝土上_）,对称轴x=-b-；当a>0时，抛物线开2a 4 a2a口向上，图象有

3、最低点，且 x>- , y随x的增大而增大,2ax<- , y随x的增大而减小；当 a<0时，抛物线 2ax< - , y随x的增大而增大.2a开口向下，图象有最高点，且 x> - , y随x的增大而减小, 2a注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧， 然后再根据具体情况分析其大小情况。解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1, y ）, （ x2, y ）,即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线x xi x2。222当a>0时，当x=巨时，函数有最小值 "一；当a<0时，当x=2时，函数

4、有最大值2a4a2a4a3.图象的平移：将二次函数y=ax2 （aw0）的图象进行平移，可得到y=ax2+c, y=a（x h）2, y=a（xh）2+k的图象. 将丫=2*2的图象向上（c>0）或向下（c< 0）平移|c|个单位，即可得到 y=ax2+c的图象.其顶点是（0,c）,形状、对称 轴、开口方向与抛物线y=ax2相同. 将丫=2*2的图象向左（h<0）或向右（h>0）平移|h|个单位，即可得到 y=a（x h）2的图象.其顶点是（h, 0）,对称轴 是直线x=h ,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.将y=ax2的图象向左（h<0）或向右（h>

5、0）平移|h|个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位，即可得到 y=a（x -h）2 +k的图象，其顶点是（h, k）,对称轴是直线 x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.注意：二次函数y=ax2与y= ax2的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“ 上加下减，左加右减”。一、经典考题剖析：【考题1】（2009、贵阳）.抛物线y= 4（x+2）2+5的对称轴是 【考题2】（2009、宁安）函数y= x24的图象与y轴的交点坐标是（）A. （2, 0）B. （2, 0） C. （0, 4）D. （0, 4）【考题3】在 平面直角坐标系内，如果将抛物线y 2x2

6、向右平移2个单位，向下平移 3个单位，平移后二次函数的关系式是（）A. y 2（x 2）2 3 B.y2（x 2）2 3 c.y 2（x 2）2 3D. y 2（x2）23【考题4】（深圳）二次函数Vax2 bx c图像如图所示，若点A （1, y1）, B （2, y2 ）是它的图像上两点，则yi与y的大小关系是()A. Yi< yB yi = y22xc . y1 > y2d .不能确定 三、针对性训练：1,已知直线y=x与二次函数y=ax2 -2x-1的图象的一个交点M的横标为1,则a的值为()A、2 B、1 C、3 D、42.已知反比例函数 y= k的图象在每个象限内y随x

7、的增大而增大，则二次函数 y=2kx2 x+k2的图象大致为图12x-3中的()3.抛物线y=x24 x+5的顶点坐标是()A. ( 2, 1)B. (2, 1)C. (2, l)D, (2, 1)4.二次函数 y=2 (x-3) 2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为()A.开口向下，对称轴 x= -3,顶点坐标为(3,5)B.开口向下，对称轴 x=3,顶点坐标为(3, 5)C.开口向上，对称轴 x=-3,顶点坐标为(一3,5)D,开口向上，对称轴 x=-3,顶点(一3,5) 25 .二次函数y x bx c的图象上有两点(3, 8)和(一5, 8),则此抛物线的对称轴是(A. x

8、4C. x 5B. x 3D. x 17所示，能使y1>y2成立的x取值范围是9.(襄樊)抛物线 y26 .在平面直角坐标系内，如果将抛物线y 3x 向右平移3个单位，向下平移 4个单位，平移后二次函数的关系式是()2222.A. y 3( x 3)4 B.y 3( x 3)4 c.y 3( x 3)4 D. y 3(x 3)47.已知，点A (1, y1)，B (J2, y2), C(5,y3)在函数yx2的图像上，则y1，y2, y3的大小关系是()a .y>y2>y3b.y>y3>y2c. y3>y2>y1d. y2>yI>y38,已

9、知二次函数y1ax2bxc(aw0)与一次函数y2=kx+m(k w0)的图象相交于点A (2,4),B(8, 2),如图12bx c的图像如图所示，则抛物线的解析式为210.若二次函数 y x bx c的顶点坐标是(2, 1),则b=, c=考点2：二次函数的图象与系数的关系1、考点讲解：a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定.抛物线开口向上，则a>0;抛物线开口向下，则2、b的符号由对称轴决定， 若对称轴是y轴，则b=0;若抛物线的顶点在 y轴左侧，顶点的横坐标一a< 0.<0,即上 >0,2a2a则a、b为同号；若抛物线的顶点在 y轴右侧，顶点的横坐标一 -b-

10、>0,即上<0.则a、b异号.间“左同右异”2a2a3.4.5、c的符号：c的符号由抛物线与 y轴的交点位置确定.若抛物线交y轴于正半，则c> 0,抛物线交y轴于负半轴.则c<0;若抛物线过原点，则 c=0.的符号：的符号由抛物线与x轴的交点个数决定.若抛物线与x轴只有一个交点，则 =0；有两个交点，则4>0.没有交点，则< 0 .a+b+c与a b+c的符号：a+b+c是抛物线y ax bx c(aw0)上的点(1, a+b+c)的纵坐标，a b+c是抛物线- 2y ax bx c(aw0)上的点(一1, a- b+c)的纵坐标.根据点的位置，可确定它们的

11、符号 二、经典考题剖析：【考题1】(2009、潍坊)已知二次函数y2 axbxc的图象如图B.C.D.a< 0, a< 0, a< 0, a> 0,b<0, b<0, b>0, b<0,c> 0c< 0c> 0c> 01 2 2所示，则a、b、c满足(【考题2】(2009、天津)已知二次函数 y2axbx2.3.A. b24ao0B. b2 4ac= 0C.c (a w且 b2 4ac< 0a< 0, ab+c> 0,则一定有()D . b2 4ac< 0【考题3】(2009、重庆)二次函数A.第一

12、象限C.第三象限、针对性训练:已知函数V0, 2a+bB.第二象限D.第四象限2,一一 八,一ax bx c的图象如图4.5.6.2y axbx c的图象如图1-2-10,则点(b,0)在() a '''1 211所示，给出下列关于系数<0,a+ b+c> 0.其中正确的不等式的序号为已知抛物线y2抛物线y axa、b、c的不等式：a< 0,2,一ax bx c与x轴交点的横坐标为一1,则a+ c=图 12 26,则此抛物线的解析式为图 1 2-Hbx c中，已知a： b: c=1: 2： 3,最小值为已知二次函数的图象开口向下，且与2抛物线y axA

13、. b2-4ac<0b<0,c>y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式:bx c (a> 0)的顶点在x轴上方的条件是B. b24ao 0二次函数y=3x2;y=A. (1) > ( 2) > ( 3)C. > (3) > ( 1)一、考点讲解：1.二次函数的三种表示方法:)C. b2-4ac> 0D. c <02 x2；丫=4 x2的图象的开口大小顺序应为(33B. (1) > ( 3) > ( 2)D. (2) > ( 1) > ( 3)考点3:二次函数解析式求法表格法：可以清楚、直接地表示

14、出变量之间的数值对应关系；图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系.2.二次函数表达式的求法：2一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得 y ax bx c;将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。2顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：y a(x h) k其中顶点为(h, k),对称轴为直线x=h;交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：y a(x x1)(x x2),其中与x轴的交点坐标为(xi, 0), (x2, 0)。

15、解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设y ax2；已知顶点(0, c),即在y轴上时可设y ax2 c；已知顶点(h, 0)即顶点在x轴上可设y a(x h)2.注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。、经典考题剖析：【考题1】在直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为 A (0, 2), O (0, 0), B (4, 0),把 AO瞰。点按逆时针方向旋转90°到 CODC点。点A,C的坐标分别是(一1,(1)求C, D两点的坐标；(2)求经过C, D, B三点的抛物线解析式。【考题2如图，抛物线

16、的对称轴是直线x=1 ,它与x轴交于A,B两点，与y轴交于0), (0, 3)。2(1)求此抛物线对应的函数解析式；(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求 ABP的面积的最大值。【考题3】(2009、南宁)目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥一一永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分(如图1 218),在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为 350米，拱高为8. 5米。在所给的直角坐标系中 (如图1 219),假设抛物线的表达式为 y ax2 b ,请你根据上述数据求出 a、b的值,图 1-2-18并写出抛物线的表达式(不要求写自变量的取值范围，a、b的值保留两个有

17、效数字)。七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多大？(结果保留整数)【考题4】(2009、海口)已知抛物线 y=x2+(2n1)x+n21 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于 x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另点D,再作AB，x轴于B, DCx轴于C.* i图 1-2-21当BC=1时，求矩形 ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标

18、；如果不存在,请说明理由.【考题5】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与二次函数的图像交于 A、B两点，其中A点的坐标为(3,4), B点在y轴上。(1)求m的值及二次函数的解析式；(2) P为线段AB上的一个动点(点 P与A,B不重合)，过点P做x轴的垂线与二次函数图像交于点E,设线段PE的长度为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(3) D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段 AB上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP是平行四 边形？若存在，请说明理由。考点4:根据二次函数图象解一元二次方程的近似解、考点讲解

19、:1 .二次函数与一元二次方程的关系：2(1) 一元二次方程ax2 bx c 0就是二次函数丫 ax bx c当函数y的值为0时的情况.2(2)二次函数y ax bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数2y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0时自变重x的值，即一兀二次方程 ax2 + bx+c=0的根.22(3)当二次函数y ax bx c的图象与x轴有两个交点时，则一兀二次万程y ax bx c有两个不相等的实数根；一一2当二次函数y ax bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次万程ax2+bx+c=0有两个相等的实

20、数根；当二2次函数y=ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程 V ax bx c没有实数根.解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| xix2|来表示。二、经典考题剖析：2【考题1】(2009、湖北模拟)关于二次函数y ax bx c的图象有下列命题：当 c=0时，函数的图象经过原点；当c>0且函数的图象开口向下时，ax' + bx+c=0必有两个不等实根； 函数图象最高点的纵坐标是4ac b2 ;当4ab=0时，函数的图象关于 y轴对称.其中正确的个数是()A. 1B. 2 C. 3 D. 4【考题2】(2009、青岛模拟，8分)已知二次函数 y=x

21、2 6x+8,求：(1)抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；(2)抛物线的顶点坐标；(3)画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：方程x2 -6x + 8=0的解是什么？x取什么值时，函数值大于 0?x取什么值时，函数值小于 0?【考题3】(2009、天津)已知抛物线 y = x2-2x- 8,(1)求证：该抛物线与 x轴一定有两个交点；(2)若该抛物线与 x轴的两个交点分别为 A、B,且它的顶点为 P,求4ABP的面积. 三、针对性训练：已知函数y=kx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()A.kC.k7474B .kD.k2.直线A. 0y=3x 3与抛物线B. 13.4.7且k47

22、且k4y=x2C. 2x+1的交点的个数是()D.不能确定不论m为何实数，抛物线 y=x2mx+m 2 ()A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方画出函数y =x22x3的图象，利用图象回答:(1)方程x2 2x3=0的解是什么？(2) b取什么值时，函数值大于 0?(3) b取什么值时，函数值小于 0?考点5:用二次函数解决实际问题一、考点讲解：1 .二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的 知识解决实际问

23、题中的最大（小）值.注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面 . 入.1, ,_,积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形S=-hl ,我们要用x分别把h, l表示出来。经济问2题：总利润=总销售额-总成本；总利润 =单件利润x销售数量。 解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分 为三类：对称轴在取值范围内；取值范围在对称轴左边；取值范围在对称轴右边。2 .解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结

24、果的合理性，对问题加以拓展等.二、经典考题剖析：【考题1】（2009、贵阳，12分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品白日销售量 y （件） 之间的关系如下表：N元）&20和 %件）25ao10若日销售量y是销售价x的一次函数；（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元?【考题2】学校要建造一个圆形喷水池 ，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA.。恰好在水面中心， 安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.且在过OA

25、的任意平面上的抛物线如图12 36所示，建立平面直角坐标系（如图1237）,水流喷出的高度 y（m）与水面距离x（m）之间的函数关系式是y x2 5x 3，请回答下列问题： 22（1）花形柱子OA的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？【考题3】（2009、青岛）某工厂现有 80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品. （1）如果增加x台机器，每天的生产总量为 y件，请你写出y与x之间的关系式；。 （2）增加多少台机器，

26、可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？、针对性训练:1.图1 2 38所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和Ai,点B和Bi分别关于y轴对称，隧道拱部分 BCBi为一段抛物线，最高点 C离路面AAi的距离为8米，点B离路面AA i的距离为6米，隧 道的宽AAi为i6米. 求隧道拱抛物线 BC Bi的函数解析式； 现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为 4米，车载大型设备的顶部与路面的距离为7米，它能否安全通过这个隧道？说明理由.（2）求经过点A.。B的抛物线的解析式;2. （20i0、河南，ii 分）如图 1 2 48, RtAPMN中，/ P=90 ,

27、PM=PN, MN=8cm ,矩形 ABCD的长和宽分别为8cm和2cm, C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令 RtA PMN不动，矩形 ABCD沿MN所在直线向右以 每秒icm的速度移动（图1 249）直到C点与N点重合为止.设移动 x秒后，矩形 ABCD与 PMN重叠部分的面积为y cm2 ,求y与x之间的函数关系式.3 . （20i0、河北，i2分）某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家.经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为 7角时，每天卖出i60个.在此基础上，这种面包的单价每提高i角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.设这种面包的单价为 x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）