2019-2020年高三复习理科数学(人教A)三管齐下：72数系的扩充与复数的引入含解析

1、20192020年高三复习理科数学(人教A)三管齐下：72数系的扩充与复数的引入含解析导学目标：1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.课前准备医回扣教材 穷实基础自主梳理1 .数系的扩充数系扩充的脉络是：一一,用集合符号表示为?,实际上前者是后者的真子集.2 .复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,bCR)的数叫复数，其中a,b分别是它的和.若,则a+bi为实数，若,则a+bi为虚数，若,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等：a+bi=c+di?(a,b,c

2、,dCR).(3)共轲复数：a+bi与c+di共轲？(a,b,c,dCR).(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做虚轴.实轴上的点表示;除原点外，虚轴上的点都表示;各象限内的点都表示复数集C和复平面内组成的集合是对应的，复数集C与复平面内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的.(5)复数的模向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记作或,即忆|=|a+bi|=.3 .复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dCR),则加法：4+z2=(a+bi)+(c+di)=；减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

3、;乘法：Z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法：Z1=a+bi=(a+bi(c-di)Z2c+di(c+dijcdi)=(c+diw0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1、Z2、Z3C,有Z+Z2=,(Z1+Z2)+Z3=.自我检测2i1. (2011山东)复数z=2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. (2011广东)设复数z满足(1+i)z=2,其中i为虚数单位，则z等于()A.1+iB.1-iC.2+2iD.2-2i3.(2011大纲全国)复数z=1+i,z为z的共轲复数，则zzz1等

4、于()A.2iB.iC.iD.2ii2+i3+i4生=4. (2011重庆)复数1T等于()1111A.5iB-2+2i1 11,1C.2-2iD.2+i)，则z的实部是5. (2011江苏)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i为虚数单位课堂活动区突破考点研析祗点探究点一复数的基本概念例1设mCR,复数z=(2+i)m23(1+i)m2(1i).6. )若z为实数，则m=;7. )若z为纯虚数，则m=.a分别取什么值时,a27a+6变式迁移1已知复数z=a2_1+(a2-5a-6)i(aR)，试求实数z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.探究点二复数的四则运算例2(2010全国复

5、数斤I2等于()A.34iB.变式迁移2计算：一3+4iC.3-4iD.3+4i(2)(1+2i2+3(1i2+i012 + (4-8i 卜(-4+8i 2 肝甲i例3(2011唐山*II拟)计算：2寸，i+1+2/3i变式迁移3(1)(2010四川)i是虚数单位，计算i+i2+i3等于()A.1B.1C.iD.i(2)(2010福建)i是虚数单位，(产)4等于()1 iA.iB.iC.1D.-1、1+i1i小(3)i是虚数单位，(1_i2+(1+i2等于()A.iB.iC.1D.-1探究点三复数的点坐标表示2+4i,试求:例4如图所示，平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,

6、(1)aO所表示的复数，BC所表示的复数;(2)对角线CA所表示的复数；求B点对应的复数.变式迁移4(2011江苏苏北四市期末)复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若/BAC是钝角，则实数c的取值范围为.实数（b=0）1 .复数咿纯虚数”）2.乘法法则：(a+bi)(c+ di)= (acbd)+(ad+bc)i ；除法法则:a + bic+ di(a + bi jc di)c2+d2ac+bdbcad22222i(c+diw0).特别地：(aibi)=a±2abi-b=ab±2abi,(a+bi)(abi)=a2+b2.

7、3.进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：i4n=1,严+=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,in+in+1+in+，in+3=0(nCN);(2)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,士=i,=-i.1-i1+i精题篇练规范答题（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2011江西）若z=2,则复数"T等于（）A.-2-iB.2+iC.2-iD.2+i2. （2010北京）在复平面内，复数6+5i,2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A.-4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i3. （2011平顶山调研）

8、若（3j,星,则复数（cos0+sin（）+（sin0-cosi在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2i4. （2011课标全国）复数二五的共轲复数是（）A-li；5iC.-iD.i5.下面四个命题：0比一i大；两个复数互为共轲复数，当且仅当其和为实数；x+yi=1+i的充要条件为x=y=1;如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集对应.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（每小题4分，共12分）Z16,已知z1=2+i,Z2=1-3i,则复数1dL劣的虚部为.7,已知复数zi=m+2i,Z2=34i,若引为实数，则实数m=.Z2

9、8. (2011上海九校联考)复数z=x+yi(x,yCR)满足|z1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为.三、解答题(共38分)9. (12分)已知Z|z=1-2i,求复数z.10. (12分)(2011上海)已知复数Z1满足(z1一2)(1+i)=1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且Z1Z2是实数，求z2.11. (14分)已知mCR,复数z=m(m,2L(m2+2m-3)i,当m为何值时，(1)zCR；(2)zm1是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x+y+3=0上.72数系的扩充与复数的引入自主梳理12. 然数系有理数系实数系NQR2

10、.(1)实部虚部b=0bw0a=0且bw0(2)a=c,b=d(3)a=c,b=-d(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点O(5)|z|a+bi|Ma2+b23.(a+c)+(b+d)ifac+bdyfbcadJc+d(2)Z2+Z1Zi+(Z2+Z3)自我检测2-i(2-i21. D-.Z=-= 1-i. + i 1-i二2+i(2+ij2i)(a c) + (b d)i (ac bd) + (ad + bc)i d4一 4i 一 1 3 45=5-5i,，复数z对应的点白坐标为(5,5),在第四象限.2. B方法一设z=x+yi,则(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2,x

11、-y=2故应有x+y=0x=1,解得5故z=1-i.N=T，2方法二z=-1+i3. B-Z=1+i,.=1i,.zz=|z|2=2,.zz-z-1=2-(1+i)-1=-i.i+i+i1i+1i(i(1+i)4. C=1-i1-i1-i(1i0+i)1 i11.=2=2-2i.5. 1解析设z=a+bi(a、bCR),由i(z+1)=3+2i,得一b+(a+1)i=3+2i,a+1=2,，a=1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.1(1)1或2(2)-2解析z=(2m2-3m-2)+(m2-3

12、m+2)i.(1)若z为实数，则m23m+2=0；m=1或2.2m2-3m-2=0,(2)若z为纯虚数，则im23m+2”一1解得m=-2.a2-5a-6=0变式迁移1解(1)当z为实数时，则有£,a2-1W0.a=-1或a=6,，a=6,即a=6时，z为实数.、aw小(2)当z为虚数时，则有a25a6W0且a210,aw1且aw6且aw±；aw±且aw6.当aq8,-1)L(-1,1)U(1,6)L(6,+8)时,z为虚数.-a5a6w0a2-7a+6,"一且a"当z为纯虚数时，有a-2_1=0,，a=6:03，不存在实数a使z为纯虚数.例2

13、解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的哥的性质，区分(a+bi)2=a2+2abib2与(a+b)2=a2+2ab+b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轲复数),此时要注意区分(a+bi)(abi)=a2+b2与(a+b)(ab)=a2b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误.A幻1-42_,2-4i)d+i,-2J<2；=(1-2i)2=-34i.(-1+i'(2+i3+i变式迁移2解(1)A膏f=-1-3i.i-i(1+2ij+3(1iJ-3+4i+

14、3-3i(2) 2+i2+iii2-i22+i5-5+5i.-i)1币(m+ij-i)(#+i2(73+i2V3+i41也i4k=1 (其中一4一4i.1 i =-i等运算结果在解题中的应用，运1 + i例3解题导引注意in(nW)的周期性，i4k+1=i,i4k+2=1,i4k+3=-i,k邻)，以及(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,山=i,1-i算的最后结果化为a+bi(a,bm)的形式.原式泞hm。6+(4-81一广1，(2*2w+i)5布i13i13 +1 006 .i 十0=i+(-i)1006=i+i2=i-1=-1+i.变式迁移3(1)A(2)C(3)D解析(1)i+i2

15、+i3=i+(-1)+(-i)=-1.1 + i 41 + i 2 2(2)(工)=(二)=(2i2i)2 = 1.1+i 1-i 1+i(1 i 2 (1 + i 2 - 2i1-i2i一 1 一 i + 1 i 一 2i=1.2i2i例4解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.解 (1),.AO=oA,AO所表示的复数为一32i. .BC=AO,，BC所表布的复数为 3-2i.(2) -.Ca= oaoC,，CA所表示的复数为(3 + 2i) (2 + 4i) = 5 2i. 广 广(

16、3) QB = OA + AB=OA+OC,OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)= 1 + 6i,即B点对应的复数为1 + 6i.、，一 ，49一变式迁移4 c>77且cw911解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4) , B(0,0), C(c<0 且 B、A、C 不共线，由(一3, 4)(c 3,2c10)<0,解得2c6),由/BAC是钝角得ABaC49 ，、，. 一， Yc>不，其中当c= 9时，AC =(6,8)=2AB,三点共线，故 cw 9. 课后练习区1. D -.Z = 1 2i 1 2i i= 2-i,.z=2+i.2. C复数6+5i对应A

17、点的坐标为(6,5),2+3i对应B点的坐标为(一2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),点C对应的复数为2+4i.3. B由三角函数线知识得当oq竽5时,sin0+cos0<0,sin0cos0>0,故选B.4. C 方法2+i(2+i(1+2i)2+i+4i21-2i(1-2ij1+2i)52+i.：的共轲复数为一i.1-2i2+i-2i2+ii(12i方法二./=1-2i1-2i1-2i2+i：的共轲复数为一i.12i5. A(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轲复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轲复数；(3)x+yi=1+i

18、的充要条件为x=y=1是错误的，因为没有标明x,y是否是实数;(4)当a=0时，没有纯虚数和它对应.6. 1解析i + Z2i + 1 3iZ12+i(12乎i)=_i5 i故虚部为1.7.解析Z1m+2iz23-4i(m+2i j3+4i)25=3m-8+(6+4m)是实数，.6+4m=。，故m=3.25228. y=2x-1解析由Z1|=x得|(x1)+yi|=x,故(x1)2+y2=x2,x>0,整理得y2=2x1.9 .解设z=a+bi(a、bR),则Aja2+b2-(a+bi)=1-2i.(5分)由两复数相等的充要条件得|-b=- 2,a=3解得$.(10分),b=2,3所以所求复数为z=2+2i.(12分)10 .解(zi2)(1+i)=1i?zi=2i.(4分)设Z2=a+2i,a田，则ziz2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.,.ZiZ2R,.a=4.Z2=4+2i.(12分)11 .解(1)当z为实数时，则有m2+2m3=0且m10得m=3,故当m=3时，zm.(2分)；