2019-2020年高三第二次联考(数学理)

1、2019-2020年高三第二次联考（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150，考试时间120分钟，答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上，否则答案无效.第一部分选择题（共40分）选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项写在答题卷上）1 .已知集合A=y|y=2x,xwR,集合B=y|y=x2,xwR,则()A.aP|B=2,4B.aP|B=4,16C.A=BD.A£B2 .等差数列an中，若ai+a4+a7=39,a3+a

2、6+a§=27,则数列前9项之和&=()A.66B.99C.144D.297TTTT3 .已知向量OA=(2,2),OB=(4,4),在x轴上一点P使APBP有最小值，则点P的坐标是()A.(3,0)B,(2,0)C.(3,0)D.(4,0)x-a24.已知函数y=a23(aa。,且a=1)在(1,依)上是增函数，则不等式<0的解集x-a是()A.x|x<-ab.*|*<22或*>2C.x|a<x<a2D.x|a2<x<a5.长方体的一个顶点上三条棱长分别为这个球的表面积是（）3,4,5,且它的八个顶点都在同一球面上,7的倍数的

3、概率是（7A.一50B.1007C. 48D.15100A.20,2nB.25缶C.50nD.200n6 .有100张卡片（从1号到100号）,从中任取1张，取到的卡片号是7 .已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a,焦距为2c.当静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直击出，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是B.2(ac)C.2(a+c)d.以上三种情况都有可能8 .函数f(x)=ax3+(a1)x2+48(a2)x+b的图象关于原点中心对称，则f

4、(x)()a.在hJ3,4，3上为增函数；b.在h，3,4J3上为减函数；C.在4J3,+g)上为减函数，在(-8，-4J3上也为减函数；D.在(-叼-4/3上为增函数，在4J3,+=c)上也为增函数。第二部分非选择题(共110分)二.填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷相应的横线上.)9 .已知zWC且zz-3iz=1+3i,则z=。y2|x|x/10 .直线y=x+3与曲线工-匚二=1有个交点。9411 .已知函数f(x)=-lnx,若f(x)1-ax在区间(1,七W)恒成立，则实数a的取值范围是。12 .在平面几何三角形中有如下性质：“三角形的三条边长分别是a

5、、b、c,若其内切圆半1，径为r,则此二角形的面积S=-(a+b+c)r”.类比上述性质，在立体几何四面体中有2如下性质：三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16、(本题满分14分)已知A(3,0),B(0,3),C(cos:,sin:)(1)若ACBC=1,求sin2a的值;(2)若 |OA OC|-<13oB与oC的夹角。17、(本小题满分12分)某地区在抗洪抢险中接到预报，24小时后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，决定在24小时内筑起一道堤作为第二道防线，如果有25辆汽车同时作业20小时可以完成，但现在除一辆汽车可以立即

6、投入作业外，其余车辆需从各处抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作，问至少还需组织多少辆汽车这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防堤？18、(本题满分12分)xea设a>0,f(x)=+是R上的偶函数ae(1) 求a的值；(2) 证明f(x)在(0,收)上是增函数。19、(本小题满分14分)下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面(1)四棱锥中是否存在一条侧棱垂直于底面？若存在，请给出证明；(2)若SA_L平面ABCD,E为AB的中点，求二面角ESCD的大小;(3)求点D到平面SEC的距离。a20、(本小题满分14分)已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y1=0相交于A、

7、B两点。1(1)当2=时，求实数b的取值范围;42 2 (2)当 | AB|=一,3且AB中点M与椭圆中心连线的斜率为1,，、土-时，求椭圆的方程。521、(本题满分14分)32已知过函数f(x)=x+ax+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为一3。(1) 求a、b的值；(2) 求A的取值范围，使不等式f(x)WA1990对于xC1,4恒成立；(3) 令g(x)=f(x)3x2+tx+1。是否存在一个实数t,使得当xw(0,1时，g(x)有最大值1?高三联考2数学(理科)参考答案：选择题题号12345678答案代号DBCDCADD：填空题9T或T+3i103111尸)12四面体的四个面的面

8、积分别为、，1，-一§、%s3、s4若其内切球的半径为r,则此四面体的体积v=_(g+S2+S3+S4)r_:_：_L313 314 38； 15分析:1,；A=y|y0B=y|y之0二A=B?2,a1a4a7厂a3a6a9=3927,.3a1a9=66.ai a9 =22,. S9 =9 & a99 22二二 993,设 P(x,0，则 AP= (x-2,-2 ),BP =(x -4), AP BP =( x - 2 * x - 4 )+8 22二(x -6x 16 = x - 37当x =3时,AP BP有最小值7,故P(3,0 )4,7 x 1,. x -1 0,. y

9、 = a'=1 axI1 ，在(1,十好)上递增，则0 < a <1. a2 <a,. a2 <x <a,故选(D )2 .22505 .设球半径为R,则2R = x3 +4 +5 =J50,所以R =22S求=4-：R = 50-：6 .因为 7,14,21，98 是 7 的倍数，由 98=7+(n 1)7 得 n =14,14710050所以选A7 .击出后第一次触壁可以是近焦点的一长轴端点，也可以是远焦点的一长轴端点，还可以是异于端点的一个点，三种情况下分别为2(a-c)、2(a+c)和4a,所以选D8 .依题意:a -1 = 0； 二b =0a =

10、 1,所以 f (x) = x -48x , b =0由 f (x) = 3x2 -48=0得* = ±4。令 f'(x)A0 得 xH4 或 x>4 故 D 成立9 .设 z =a +bi (a,b R R),则2. 222z z=a +b , 3i z =3i(a-bi) =3b+3ai ，所以 a 十b 3b3ai =1+3i ,所以a2入3b 1a二一1-3a =3b=0a - -1 一，、或 < ，所以 z = 1 或z = 1 + 3ib = 3222210.x0时，曲线方程为匕土=1,xM0时，曲线方程为匕+土=19494数形结合有3个交点11nx1

11、1nx11.命题等价于a>在(1,收)恒成立，记g(x)=xx1nx因为g(x)=1-且x>1,所以InxA0,g'(x)<0,所以g(x)在(1,+£)递减，所以xg(x)<g(1)=1故a之1_2-：13.由参数方程得：y2=Y3(x1)。由tan6=%；3(0=6父豆)得日=314、由弦切角定理得/DAC=/B=40：所以.D=180DACACD=180-40-(180-78)=3815、工+1=(a+b出，+1)+1+上+a二+亚2ab2ab22ab2三.解答题16解：(1)由已知得AC=(coset3,sina),BC=(cosa,sina一

12、3).2分因为ACBC=-1,所以(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=-14分222所以cos2a+sin2a_3(sina+cosot)=1,sina+coset=一345两边平方得1+sin2a=所以sin2=-.7分99(2)因为oA+oC=(3+cosa,sina),OA+OC=Vi38分所以(3+cosa)2+sin2a=139分1 一一二.所以6cosa=3,cosn=,而口=(0,兀)所以口=一11分2 3所以C(1，0，所以OB=(0,3),OC=(工，)12分222233OBOC23cos<OB,OC>=13分|OB|OC|32,-it又<O

13、B,OC>w0,码，所以<OB,OCa14分617.解：由题意可知，从现有的第一辆车投入工作起，各车的工作时间依次组成数列an则 a = 24 an i an1-所以数列an成等差数列3若至少还需组织（n1）辆车，则_n（n-1）,1.a1+a2+a3+an=n,24+-（一一）之25X202325<n<120nmin=25,而n1=24（辆）11分12分18 解(：x即 a1)依题意1x aexae.至少还需要组织24辆车这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防线。所以12分(2)证明:由（1）xx =e1, f, N 贝 U f x = ex e11分x 2ex-1

14、,所以f (x )在(0, +如)上是增函数12分19、解:依侧面与底面图可得四棱锥S-ABCD的直观图如图示（1 VSA _ AB,SA_ AD, AD T AB = A二SA_L面ABCD,二存在棱5颂直于底面.IIWI9 分4分x e(2)分别取SCGFSA EA , GF1 面 ABCD,SD的中点 G,F, 连结= EA , . AF _ EGSA CDGE,GF,FACD面 ABCDCD AF,又AD，又SAAD , F是中点AFEGEGSD面面，且SCDSEC所以二面角CDD - AF _L 面 SCD，二面 SEC 1 面 SCD- SCD的大小为 90 00,-xR,:se=

15、ce=FP咚SC=a22a2=、3a二EG=JSE2-SE2C17一1二2.62Ssec=SC|_EG=一3aa=a2224设点D到平面SEC的距离为d,由VS_ECD=VD_SEC,得点D到平面sEC的距离为一6a3.1,一、2.2320.解(1)当a=一时，椭圆万程为X+by=一44.1分lx2-by2=.口21由y4消去X得(1+b)y-2y+-=04xy-1=0.4分=4(1+b)>0得b<3。又方程是椭圆，所以b>0所以实数b的取值范围是(0,1)2(13)(2)设A(X1,yi)B(X2,y2)，代入椭圆方程相减得:(xiX2)(X1-X2)b(y1y2)(y1-

16、y2)=0设M(X0,y0),则x0=，vl宁所以x0+by1-y2=0,因为y1-y2=-1V。X1-X2X1-X2y0一0X0-0所以5+b(1)=0，所以b=510分/21f.2-x5y=3a消去y得6x2-10x+5-3a=0,所以x+yT=055-3aXX2二一XX2;3611分|AB|=1k2X1X2)2-4X1X2=2(5)2-45一3a，3613分/曰1得a=23所以，椭圆方程为x2+5y2=314分22一.一,、一21解：(1)f(x)=3x+2ax,依题息得32k=f(1J=3+2a=-3,.a=-3,?.f(x)=x-3x+1，把B(1,b)代入得b=f(1)=11 &#

17、39;a=-3,b=13分(2)令f(x)=3x26x=0得x=0或x=24分,.f(0)=1,f(2)=23-3X22+1=-3,f(1)=-3,f(4)=172 .x-1,4,3<f(x)&177分要使f(x)WA1990对于xC1,4恒成立，则f(x)的最大值17WA1990.,.A>2007o8分(1)已知g(x)=(x3-3x2+1卜3x2+tx+1=-x3+txg'(x)=-3x2+t/0<x<1,3<-3x2v0,当t>3时，t3x2>0,即g(x)A0,，g(x)在(0.1上为增函数，g(x)的最大值g(1)=t1=1，得t=2(不合题意，舍去)10分t=1当0wtw3时，g'(x)=3x2+t，令g'(x)=0x=27 33 2 0. .t= 3 - v 3,rx=3<112分x7)1心g/(x)十0一g(x)极大值列表如下：g(x)在x=