2019-2020年高二下学期4月月考数学试卷(理科)含解析

1、20192020年高二下学期4月月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1 .若复数z=（3-i）?（2-i）,则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .复数一7的共轲复数是（）31413 434A.3-4iB.C.3+4iD.三一三55553 .菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（）A.推理形式错误B.结论错误C.小前提错误D.大前提错误4 .用反证法证明命题若a2+b2=0,则a、b全为0（a、bCR）”，其反设正确的是（）A.a、b至少有一个不为0B.a、b至少有一个

2、为0C.a、b全不为0D.a、b中只有一个为05 .J：（巳宜+2k）dx等于（）A.1B.e-1C,e+1D.e6 .计算J；（1+J1-J）dx的结果为（）nnnA.1B.-C.1+D.1+4427 .一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2-t+2,质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为（A.17TB.14TC.13D.118.在 ABC 中,A. 2/ B. 12已知AB=4,BC=2,/B=60°,贝UAC的长为(C.2=D.289.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）2V3V21A,豆B可，

3、TD10 .函数y=",汽0）的最小值为（KA.2B,4C,5D,311 .函数y=x+sinx,xC-兀，句的大致图象是（3212.已知函数f(x)=x+bx+cx+d(b、c、d为常数)，当xC(0,1)时取得极大值，当(1,2)时取极小值，则(b+工)2+(c-3)2的取值范围是()2A.(工5)B.(加，5)C.(丁，25)D.(5,25)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13 .若z=(1+i)2,则复数z的模为.14 .已知.函数f(x)=xex1,贝Uf'(1)=.15 .在平面几何里，有勾股定理设4ABC的两边AB,AC互相垂直，则AB2+AC

4、2=BC2”,拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：设三锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则.”16 .函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在xC-2,5上有3个零点,则m的取值范围为三、解答题(本题共6道小题，其中第17题10分，其余均为12分)3一217 .已知函数f(x)=x+bx+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调区间.18 .求由曲线y=Vs,y=2-x

5、,y=-=x围成图形的面积.*、19.数歹Uan满足a1=1,an+1=T7(nCN)."%(1)计算a2,83,a4，并由此猜想通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.2220 .已知椭圆)+工=1具有性质：若M(2,无)，N(-2,-/)是椭圆C上关于原164点对称的两个点，点P(x,y)是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关的定值-".(1)试对双曲线上-=1写出具有类似特性的性质.164(2)对(1)问的结论加以证明.21 .设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,xR.(1)求f

6、(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.IT右TT22 .已知函数f(x)=axsinx+cosx,且f(x)在x=j-处的切线斜率为一-.勺Q(1)求a的值，并讨论f(x)在-兀，兀上的单调性；1一工(2)设函数g(x)=ln(mx+1)+,x>0,其中m>0,若对任意的x10,+8)总1+x存在TTx2c0,使得g(x1)>f(x2)成立，求m的取值范围.22015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若

7、复数z=（3-i）?（2-i）,则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.【解答】解：.z=（3-i）?（2i）=55i,.z在复平面内对应的点的坐标为（5,-5）,位于第四象限.故选：D.62复数赤的共轲复数是（3d34A.3-4iB.C.3+4iD.言i5555【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a,beR）的形式，则其共轲复数可求.55（3-4i）15-20i15-20i弋4解答解："始二（3+k）（3-二（余岂+/

8、）2工芯二可可L所以，数的共轲复数是 3+41故选：B.3 .菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（）A.推理形式错误B.结论错误C.小前提错误D.大前提错误【考点】演绎推理的基本方法.【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：二.菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D.4 .用反证法证明命题若a2+b2=0,则a、b全为0（a、bCR）”，其反设正确的是（）A.a、b至少有

9、一个不为0B.a、b至少有一个为0C.a、b全不为0D.a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法.【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设.【解答】解：由于ab全为0(a、bCR)”的否定为：ab至少有一个不为0”,故选A.5 .J；(d+2x)dx等于()A.1B.e-1C.e+1D.e【考点】定积分.【分析】求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差.【解答】解：Jj(ex+2x)dx=(ex+x2)|o1=(e+1)-1=e故选D.6 .计算J；(1+J0dx的结果为()A. 1【考点】定积分.C.D. 1 +n2【分析】由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得.【

10、解答】解：JJ(1+Jl-J)故=J；1dx+j-Jdx=1+f-Jdx由定积分的几何意义可知；:一dx表示圆x2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一,fWl-2dx=1x兀X121.JQ(1+71-)dx=1+T，故选：C7.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()17141311A后B干C.后D.七6J6b【考点】定积分的简单应用.【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移.【解答】解：s=J1(t21+2)dt=(ft3专1姐K=(jX23-x产+2乂2)一铮尹幻丹.故选A8

11、 .在 ABC 中，已知 AB=4 , BC=2, / B=60°,则 AC 的长为()D. 28AC2=AB2+BC2- 2?AB?BC?cos/ B,把条件代入即可得至U答案.A. 2噌 B. 12 C. 277【考点】 余弦定理.【分析】直接根据余弦定理【解答】解：如图所示， ABC 中，AB=4 , BC=2, 由余弦定理得：/ B=60 °,AC2=AB 2+BC2 - 2?AB ?BC?cos/ B=42+22 - 2x4x 2cos60 =12 ,所以AC=2，y 故选：A.9 .四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，AB=BC , AA 1 =2AB ,则

12、CD与平面BDCl所成角的正弦值等于(A :3【考点】【分析】向量，设【解答】(0, 1,)B.率 C ->.>.3直线与平面所成的角.设AB=1 ,则AA1=2,建立空间直角坐标系，求出向量坐标，平面 BDC1的一个法CD与平面BDC1所成角为。，利用向量的夹角公式求出sin。即可.解：设AB=1 ,则AA 1=2,建立如图所示空间直角坐标系，则 D (0, 0, 2), C10),B (1,1, 2), C (0, 1, 2),DE= (1, 1，0),西二(0, 1, - 2), DC=(。，1, 0)，设涓(x, V,z)为平面BDC1的一个法向量,2,1),(x+y=0j

13、y-2z=02?设CD与平面BDC1所成角为0,则sin9=|-|=4,故选：A.210 .函数y=*+3,(x>0)的最小值为()KA.2B.4C.5D.3【考点】函数的最值及其几何意义.2【分析】由基本不等式得：y='+3肝1=*+2+3跳2+3=5,即可得出结论.【解答】B：.x>0,.-.1>0,2由基本不等式得：y=工+3k+1=x+Jl+3>2+3=5当且仅当x=工，即x=1时取等号，X2勺，当x=1时，y=",(x>0)的最小值为5,故选：C.11 .函数y=x+sinx,xC-兀，句的大致图象是()【考点】函数的图象.【分析】利用

14、函数的奇偶性，函数的单调性，即可得到选项.【解答】解：函数y=x+sinx,xC-兀，兀是奇函数，B、C的图象不满足奇函数的定义，函数y=x是增函数，y=sinx在xC-兀，兀是增函数，函数y=x+sinx,xC-g兀是增函数，.D不正确，A正确.故选：A.12 .已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数)，当xC(0,1)时取得极大值，当x(1,2)时取极小值，则(b+3)2+(c-3)2的取值范围是()r-37A.(岩,5)B.(代，5)C.(丁25)D.(5,25)【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为

15、正得a,b的约束条件，据线性规划求出最值.3-2【解答】解：=f(x)=x+bx+cx+d,f'(x)=3x2+2bx+c,函数f(x)在xC(0,1)时取得极大值，当xC(1,2)时取极小值，.f(x)=3x2+2bx+c=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根，f'(0)>0,f'(1)v0,f'(2)>0,fc>0即“3+2b+c<0,12+4b+c>0I在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图,(b+工)2+(c-3)2表示点A(-1,3)与可行域内的点连线的距离的平方,22点A(-1,3)到直线3+2b+c=0的距离为2由1

16、2+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为(-4.5,6),与点A(-,，3)的距离为5,.(b+力)2+(c-3)之的取值范围是(5,25),二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13 .若z=(1+i)2,则复数z的模为2.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：z=(1+i)2=1+2i+i2=2i,则复数z的模为：2.故答案为：2.14 .已知.函数f(x)=xex1,贝Uf'(1)=2.【考点】导数的运算.【分析】先对函数求导，然后把x=1代入导函数中即可求解【解答】解：由题意

17、可得，f'(x)=ex1+xex1,f'(1)=1+1=2,故答案为：2.15.在平面几何里，有勾股定理设4ABC的两边AB,AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：设三锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S.AABC2+SAACD2+SAADB2=SABCD2【考点】类比推理.【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：SABC2+SACD2+SADB2=SBCD-故答案为：SaABC2+SaACD2+SaAD

18、B2=SaBCD2.16.函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在xC-2,5上有3个零点，则m的取值范围为1,8).【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点.【分析】利用导数的运算法则可得f(x),列出表格即可得出函数f(x)的单调性极值与最值，再画出函数y=f(x)与y=m的图象，即可得出m的取值范围.【解答】解：f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x3)(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1或3.其单调性如表格:x-2,-1)-1(-1,3)3(3,5f'(x)+0一0+f(x)单调递增极大值单调递减极小

19、值单调递增可知：当x=3时，函数f(x)取得极小值，f(3)=33-3X32-9X3+3=-24,又f2)=(2)3-3X(2)29X(2)+3=1,可知最小值为f(3),即一24.当x=-1时，函数f(x)取得极大值，f(1)=(-1)3-3X(1)29X(1)+3=8,又f(5)=533x529x5+3=8,可知函数f(x)的最大值为f(5)或f(1),即为8.画出图象y=f(x)与y=m.由图象可知：当me1,8)时，函数y=f(x)与y=m的图象有三个交点.因此当m1,8)时，函数g(x)=f(x)-m在x-2,5上有3个零点.故答案为：1,8).|Vr三、解答题(本题共 6道小题，其

20、中第17题10分，其余均为12分)3一217.已知函数f(x)=x+bx+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调区间.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法.【分析】(1)根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b,c,d,即可求函数f(x)的解析式；(2)求函数的导数，即可求函数f(x)在定义域上的单调性.【解答】解：(1)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,贝Uf(x)=3x2+2bx+c.由

21、在M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知6f(1)+7=0,即f(T)=1,f(T)=6f3-2b+c=61 -1+b-c+2=l'解得b=c=-3,故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.2 2)f(x)=x3-3x2-3x+2.f'(x)=3x2-6x-3=3(x2-2x-1).由f'(x)=3(x2-2x-1)>0,解得x>1+班或x<1-加，此时函数单调递增，由f'(x)=3(x2-2x-1)<0,解得1-求vxv1+%G此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为为(1-加，1+4年)，函数的单调递增区间为

22、为(-1加)，(1+匹，+8).18.求由曲线y=V,y=2-x,y=-<x围成图形的面积.【考点】定积分在求面积中的应用.【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出由曲线y=Vs,y=2-x,y=-2x围成图形的面积，即可求得结论.【解答】解：由题意，由y=F，y=2-x,y=-%可得交点坐标(1,1),(0,0),(3,-1),则s=i；岁-=.1Ju：/：J，.匕3 13 1二T3=（2i）19.数列an满足*、ai=1,an+i=(nCN).2+%（1）计算a2,a3,期,并由此猜想通项公式方;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【考点】数学归

23、纳法；数列递推式.【分析】（1）根据递推式计算，猜想；（2）检验n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，证明当n=k+1时猜想也成立.解：（1）a2=5*q, 士+1 J猜想：an=.n+10证明：（2）当n=1时，a1=m=L结论成立,9假设n=k时猜想成立，即2<=旨，4+4=；匚诟=京=存而即当n=k+1时，猜想成立.2对一切neN,者B有an=.n+120.已知椭圆-+4=1具有性质：若M（2,加），N（-2,-加）是椭圆C上关于原164点对称的两个点，点P（x,y）是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kpM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关的

24、定值-1.22（1）试对双曲线工-2=1写出具有类似特性的性质.164（2）对（1）问的结论加以证明.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)直接类比椭圆的性质得到双曲线的性质;(2)设P(x,v)是双曲线三-二=1上的任意一点，M(X0,yo),N(-xo,-yo)是164双曲线上的关于原点对称的两个点，把P,M的坐标代入双曲线方程，得到y2-yQ2,再求出kpM、kpN,求其乘积得答案.【解答】(1)解：类比椭圆可得，双曲线/-d=1具有性质：若M(Xo,yo),N(-Xo,164-yo)是双曲线上关于原点对称的两个点，点p(x,v)是双曲线上任意一点，当直线pm、PN的斜率都存在，并记为k

25、PM、kpN时，那么kpM与kpN之积是与点P的位置无关的定值;(2)证明：设P(x,y)是双曲线=12=1上的任意一点,164M(xo,yo),N(-xo,-yo)是双曲线上的关于原点对称的两个点.2犬2y2=4仔二1)1v2=4(-1)，16116则/_端二式普-1)-奴*-1)=*/、/)kPM?kPN =厂X 口21.设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,xCR.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2-1且x>o时，ex>x2-2ax+1.【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用.【分析】(1)由f(x)=ex-2x+

26、2a,xCR,知f'(x)=ex-2,xR.令f'(x)=o,得x=ln2,列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值.(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g'(x)=ex-2x+2a,xCR.由(1)知当a>ln2-1时，g'(x)最小值为g'(ln2)=2(1-ln2+a)>o.于是对任意xCR,都有g'(x)>o,所以g(x)在R内单调递增.由此能够证明ex>x2-2ax+1.【解答】(1)解：.f(x)=ex-2x+2a,xCR,f'(x)=ex-2,xCR.令f'(x)=o,得x=

27、ln2.于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：x(-8,1n2)1n2(1n2,+8)(x)一0+f(x)单调递减2(1-1n2+a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(-8,成)，单调递增区间是(ln2,+8),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(哈=e1n2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值.(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1,xCR,于是g'(x)=ex-2x+2a,xCR.由(1)知当a>1n2-1时，g'(x)最小值为g'(1n2)=2(1-1n2+a)>0.于是对任意xCR,都有g

28、9;(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>1n2-1时，对任意xC(0,+8),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意xC(0,+8),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.n汨jr22.已知函数f(x)=axsinx+cosx,且f(x)在x=处的切线斜率为.48(1)求a的值，并讨论f(x)在-0兀上的单调性；1-V(2)设函数g(x)=1n(mx+1)+,x>0,其中m>0,若对任意的x10,+8)总1+k存在x2C0,使得g(x)>f(x2)成立，求m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求a的值，并讨论f(x)在-兀，兀上的单调性；1-x(2)设函数g(x)=1n(mx+