中考数学专题讲练 韦达定理与整数根问题 解析版

1、韦达定理与整数根问题知识精讲一韦达定理与代数式求值如果的两根是，则，（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值二韦达定理与根的分布在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二次方程

2、有一根，则必有一根（，为有理数）若，则方程必有实数根若，方程不一定有实数根若，则必有一根若，则必有一根三整数根问题 对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：1. 为完全平方数；2. 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)三点剖析一考点：1韦达定理与代数式求值；2韦达定理与根的分布；

3、3整数根问题二重难点：韦达定理与根的分布；整数根问题三易错点：1含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件题模精讲题模一：韦达定理与代数式求值例 设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）2（2）（3）（4）（5）（6）【解析】 由韦达定理可得，然后对各式进行适当变形（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式例 设实数分别满足，并且，求的值【答案】 【解析】 由可知，故又，故、是方程的两根，从而可知

4、，故注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知，故例 已知，是一元二次方程的两个根，求的值【答案】 【解析】 因为是方程的根，所以，即同理所以题模二：韦达定理与根的分布例 已知一元二次方程（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？【答案】 （1）；（2）不可能，因为若、，则与矛盾【解析】 不妨设方程的两根为、，由韦达定理可知，例 实数k为何值时，关于x的一元二次方程（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？（3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）（2）

5、（3）【解析】 ，故或（1）若两根均为正，则，故；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则，故；（3）由可知，题模三：整数根问题例 已知：关于的一元二次方程 (为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根【答案】 （1）的取值范围是且；（2）见解析（3）或【解析】 (1) 方程有两个不相等的实数根，且且 ， 的取值范围是且；证明：由求根公式 无论为何值，方程总有一个固定的根是1；(3)为整数，且方程的两个根均为正整数，必为整数，或当时, (舍去);当时, 当时,;当

6、 时, 或例 已知关于的方程的两根都是整数，求的值【答案】 或【解析】 设两个根为，由韦达定理得从上面两式中消去得或即或所以或例 求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a【答案】 【解析】 当时，方程变为，得，符合要求；当时，设方程的两个整数根为，则由韦达定理，得因为都是整数，所以均为整数即也应为整数，由整除性可知随堂练习随练1.1 已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值【答案】 （1）m1（2）【解析】 （1）方程x2-2x+m=0有两个实数根，=（-2）2-4m0，解得m1；（2）由两根关系

7、可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组，解得，m=x1x2=随练1.2 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值【答案】 （1）x2+x+=0（2）-47（3）4【解析】 （1）设方程x2+mx+n=0，（n0）的两个根分别是x1，x2，则：+=-，若一个一元二次

8、方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，a，b是x2-15x-5=0的解，当ab时，a+b=15，ab=-5，+=-47当a=b时，原式=2；（3）a+b+c=0，abc=16，a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，c2-40，c2-0，c是正数，c3-430，c343，c4，正数c的最小值是4随练1.3 若，且有及，则 ，_【答案】 ；【解析】 ，又，所以，可以看作是方程的两个根由韦达定理，得：，随练1.4 已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求： 的值； 的值【答

9、案】 ，【解析】 ，又是整数，故，又、是的两个实根，故，故故随练1.5 已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围【答案】 【解析】 设，是方程的两根，且，即，因此，解得随练1.6 已知关于x的方程（m0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值【答案】 （1）见解析（2）或【解析】 （1）证明： m0， 是关于x的一元二次方程，1分=90. 方程总有两个不相等的实数根2分（2）解：由求根公式，得，.4分方程的两个实数根都是整数，且m是整数，或5分随练1.7 求出所有正整数，使方程至少有一个整数根【答案】 ，【解析】 由原方程知，

10、不妨将方程整理成关于的一元一次方程，得（因为为正整数），解得，因此只能取，分别代入的表达式得所求的正整数的值是，随练1.8 设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值【答案】 ，6，3【解析】 原方程可化为，即，解得由于，则有两式相减，得，即由于，是整数，故可求得，或，或，分别代入，易得，6，3自我总结 课后作业作业1 ，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）【答案】 （1）；（2）；（3）原式【解析】 （1）；（2）；（3）原式作业2 已知关于的方程的两根、满足条件，求的值【答案】 30【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得，与联列方程组，解

11、得，所以作业3 已知方程的根是和，方程的根是和其中，、为不同实数，求、的值？【答案】 ，或，【解析】 方程的根是和，的根是和，（1）若，则由知由知，由知，解得当时，得；当时，得经验证，是符合条件的两组解（2）若，则，由知，由知若，则，这与、是不同的实数矛盾若，则，再由知，从而经验证，也是符合条件的解作业4 已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，求的值？【答案】 ，【解析】 根据题意，对方程有对方程有又，由得：，代入得：又，对两边平方得：，即：，整理得：解得：，当时，与矛盾，舍去当时，此时，作业5 已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围【答案】 【解析】 设，是方程的两根， ，解

12、得作业6 已知方程的两实根为、，方程的两实根为、（1）若、均为负整数，且，求、的值；（2）若，求证：【答案】 见解析【解析】 由题意得，由又、均为负整数，所以，故， 因为，所以从而，即当时，由，即当时，因为，所以作业7 已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值【答案】 【解析】 当时，原方程化为，解得故当时，原方程的解都是整数当时，原方程化为，解得，故当时，原方程的解都是整数当且时，原方程化为解得，由，得把代入中，得故因为、为整数，所以、也均为整数于是，有或或或分别解得或或或(舍去)故综上，的值为作业8 已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根【答案】 当时，方程的三个根为，和；当时，方程的三个根为，和【解析】 观察易知方程有一个整数根，将方程的左