导数运算-家教讲义

1、美博教育1对1个性化辅导教案提纲教研组： 美博教育 肖晨星1对1 辅导讲义变化率和导数学生姓名年级科目教学内教帅授课日期T时段与课时1高数学20 13.12.15知识教学课题的平土勺变化率和瞬时变化率变化率与导数目标及重难点瞬时变化率和导数关系、导数的几何意义的理解教学过程：一、考纲分析，作业点评二、考点分类解析1、平均速度与瞬时速度2、函数的平均变化率和瞬时变化率3、导数的概念4、导数和导函数的定义5、导数的几何意义（导数与切线斜率）四、针对性题型练习五、课堂小结备注：作业布置详见讲义课后针对性作业学习反馈及 调整方案班主任签字：学员评价O特别满意O满意O 般O差学员签字：教师评价上次课作业

2、：O好 O较好O 般O差本次课堂表现：O好 O较好O 般O差教师签字：1、 函数y二f(x)的平均变化率：当自变量x从X!变为X2，函数值从 f(xj变为，它的平均变化率为：.y，用它可以刻画。X2、通过减小自变量的改变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率：sAs对平均速度一而言，当时间的改变量t2 -鮎趋于0(无限缩小)时，比值会趋于一个定值，这个定值称为t = t!At2 1At- -1时的瞬时速度，这是我们在物理学里已经熟知的。类此，我们可以概括出一般函数y = f (x)的瞬时变化率：在自变量x从x0变为x1的过程中，若设x x0,.y f (x：x) - f (x0)，则函数的平均变化

3、率又可表示为 =.x当tx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是。3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当X2 - Xi很小时，这种量化便有由“粗糙”逼近“精确”的趋势。题型分析：平均速度：1 2例1:物体自由落体的运动方程为 S = gt ,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段时间内的平均速度(位移 s的2单位为m瞬时速度：设物体运动的位移与时间的关系是s= f(t)，当厶t趋近于0时，函数f(t)在t0到t t这段时间内的平均变化率空 =f (t +用)-f (t)趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度。.

4、：t氏1例2:物体自由落体的运动方程是 s gt2(g =9.8m/s2)，求物体在t = 3s这一时刻的速度。2平均变化率：例1在经营某商品中，甲挣到 10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式1在经营某商品中，甲用 5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式2求函数y =5x2 6在区间2,2，二x内的平均变化率瞬时变化率：例3某个物体走过的路程 s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s = t2 - 1，通过平均速度估计物体在下列 各时刻的瞬时速度：(1) t=0 ; (2) t=2 ; ( 3) t=4.例4、

5、已知函数y = f (x) - -2x - 1(1 )当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时函数值 y关于x的平均变化率是多少？(2) 当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时函数值y关于x的平均变化率是多少？(3) 这个函数变化的快慢有何特点？求这个函数在x =1, x = 3处的瞬时变化率。例5、设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数 3t2 2t 1。(1) 求从t =2到t =2 氏的平均速度，并求当 迸=1, 4 = 0.1r 4 =0.01时的平均速度；(2) 求当t =2时的瞬时速度。例6、求函数y = 3x2 x在x = 1处的瞬时变化率知识点二导数的概念复习：设函

6、数y = f(x)，当自变量x从xo变到xi时，函数值从f(x0)变到f(xj，函数值y关于x的平均变化率y _ f (xj - f (Xo) _ f (Xo：x) - f(X。)xXiX。x当Xi趋于Xo,即厶X趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值(这个值称为：当Xi趋于Xo时，平均变化率的极限)，那么这个值就是函数 y = f (X)在点xo的瞬时变化率。导数的定义：在数学上，称瞬时变化率为函数y = f (X)在点Xo的导数，通常用符号(X。)表示，记作f(Xi)-f(Xo)f(Xo：X)-f(Xo)f (Xo) = xmxo 二iim。例1、一条水管中流过的水量 y (单位：m3)

7、是时间X (单位：S)的函数y=f(x)=3x。求函数y = f (x)在x=2 处的导数f (2)，并解释它的实际意义。例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y (单位：kg)是其工作时间x (单位：h)的函数y = f(x)。假设函数y = f(x)在x=1和x=3处的导数分别为f (1) = 4和f (3) = 3.5，试解释它们的实际意义。例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度 y(单位：卩g/mL)是时间t (单位：min)的函数y=f(t)，假设函数y = f (t)在t=10和t=100处的导数分别为f (10) =1.5和f (100) =0.6，试解释它们

8、的实际意义。总结：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤:1、求函数的变化率Ly二f(X。，_x) - f (Xo)2、求函数的平均变化率知识点三3、求极限设函数y二f (x)在Xo, Xo+ X的平均变化率为二，如右图所示，它是过A (Xo， f (Xo) )和 B (xo + x,f (xX)两点的直线的斜率。这条直线称为曲线y = f(X)在点A处的一条割线。如右图所示，设函数 y = f (x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当 x取不同的值时，可以得到不同的割线；当 x趋于0时，点B将沿着曲线y二f (x)趋于点 A害熾AB将绕点A转动最 后趋于直线l。直线I和曲线y二f (

9、x)在点A处相切”，称直线I为曲线y二f (x)在点 A处的切线。该切线的斜率就是函数 y = f (x)在xo处的导数f (x0)。函数y = f (x)在xo处的导数，是曲线 y二f (x)在点(xo, f (x0)处的切线的斜率。 函数y二f (x)在xo处切线的斜率反映了导数的几何意义。1、导数的几何意义：f (x + Ax) f (x )函数y=f(x)在x=xo处的导数等于在该点(X), f(X)处的切线的斜率，即f(xo)= |jm.=k-0求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求出P点的坐标；求出函数在点xo处的变化率f (xo) = lim f (Xo *x) 一 f (Xo)二

10、k ，得到曲线在点(x(), f (x0)的切线的斜率;利用点斜式求切线方程2、导函数：由函数f(x)在x=xo处求导数的过程可以看到，当时,f (xo)是一个确定的数，那么，当x变化时 便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数记作：f (x)或y ,f(X Ax) - f (x)即：f (x) =y m注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.3、函数f(x)在点Xo处的导数f (Xo)、导函数f (x)、导数之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数 f (Xo)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不 是变数。(2) 函数的导数，是指某一区间内任意点x而言

11、的， 就是函数f(x)的导函数(3) 函数f (X)在点Xo处的导数f(Xo)就是导函数f(X)在X=Xo处的函数值，这也是 求函数在点Xo处的导数的方 法之一。22例1、已知函数y = f(X)二X , X0= 2。( 1)分别对 x=2, 1, 0.5求y = X在区间Xo, Xo+ x上的平均变化 率，并画出过点(Xo, f (Xo)的相应割线；(2)求函数y =x2在xo = 2处的导数，并画出曲线2y = X在点(一2, 4)处的切线。3例2、求函数y二f (x) = 2x在x=i处的切线方程。切线与导数:1 .割线及其斜率：连结曲线 C上的两点的直线 PQ叫曲线C的割线,设曲线C上

12、的一点P(x, f (x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x =x, f(x rx)，则割线PQ的斜率为,f(x+x) f(x)f(x+Ax) f(x)kpQ =(X。+Ax) -Xo切线的定义：随着点Q沿着曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线 C。当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点 P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点 P处的切线;切线的斜率：当点 Q沿着曲线C向点P运动，并无限靠近点 P时，割线PQ逼近点P处的切线丨，从而割线的斜率逼近切线丨的斜率，即当 伙无限趋近于0时，-f (xx f (x)无限趋近于点P(x, f(x)处的切线的斜率.例1.

13、已知曲线y =x2, (1)判断曲线P(1,1)在点P处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程.(2)求曲线y = f(x)在x=2处的切线斜率。例2 .已知f(x)i2x_2，求曲线y二f(x)在x=1处的切线的斜率.例3 已知曲线方程，求曲线在P(2, -1)处的切线方程.1 -x知识点5导数的几何意义专题训练例1、在曲线y= 3上求一点P使得曲线在该点处的切线满足下列条件：x（1）平行于直线 y = x + 1;（2）垂直于直线 2x 16y + 1 = 0;（3）倾斜角为135。例2、求曲线y = f （x） = x3 1过（1, 1）点的切线的斜率。总结：利用导数的几何

14、意义求曲线y = f （x）在x =x0处切线方程的步骤：（1 ）已知曲线的切点 P（xo，y。）求出函数y二f（x）在点X。处的导数f（x。）；根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0 = f（X0）（X-X。）。（2）过曲线外的点P（X1，yJ设切点为（Xo,y。），求出切点坐标； 求出函数y二f（x）在点X。处的导数f（X。）； 根据直线的点斜式方程，得切线方程为yy。二f（X0）（X - X。）。课后作业课后训练与提咼1、在平均变化率的定义中，自变量的增量 次是（ ）A . LX 0 B . L x :： 0C. = x=0D .二 x=02、 设函数y = f x，当自变量x由x0改变到x。,x时，函数的改变量y是（ ）A . fX。二X B. fX。：=XC. fX。：=XD. fX。二X - fX。3、 已知函数f X；=2