2019-2020学年南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)+参考答案

1、第11页，共11页2019-2020学年南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)题号一-二二三总分得分、选择题(本大题共12小题，共60.0 分)1. 已知集合. - ：! :，B=XX 0则 A B=（）A. x0vx 3 B. x0 3C. x1vx 3D. x1vXV32. 设复数Z= （i为虚数单位），则复数Z的虚部为（）3. 在一个不透明的容器中有 6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为()?14. 已知函数f (x) =2sin ( x+1)( > 0)的最小正周期为 则下列选项正确的是( )A. 函数f (X

2、)的图象关于点(，0)对称非IB. 函数f (x)的图象关于点(-辽,0)对称C. 函数f (x)的图象关于直线 X=对称D. 函数f (X)的图象关于直线 x=-对称5. 甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N ( , 2), N ( , 2),其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A. 甲类水果的平均质量1=0.4kgB. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数=1.996. 函数f (x) =|x-1|+e|lnx|的大致图象为()7. 已知 U E （Ob A

3、X=Ioga （2a）, y=loga+a,=°町十扌（2a）,则（）D. ZV yv XA. X V yv ZB. yv XV ZC. XV ZV y8. 在如图算法框图中，若 a=6 ,程序运行的结果 S为二项式（2+x）5的展开式中X3的系数的3倍，那么判断 框中应填入的关于k的判断条件是（）A. k V 3B. k> 3C. kV 4D. k > 4LSX49. 已知Sn是等差数列an的前n项和，若S7V SioV S8,设bn = anan+ian+2 ,则数列 bn 的前n项和Tn取最大值时n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 910. 十八世纪，函数y=

4、X （X表示不超过X的最大整数）被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程2019x2-2020=0的所有实数根的个数为A. 0B. 1C. 211. 某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 23 B. ID. 3)C. 64 12. 已知函数f (x) =1+x冷+¥+.”_缶+詁，若函数f (X)的零点均在区间a,b (avb, a, bZ)内，贝U b-a的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题(本大题共 4小题，共20.0分) 13已知向量y I)，;

5、 Wx若吩丄(： + ?，则实数的值为14. 学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有 种(用数字作答)15. 已知双曲线一，一 1 ：i ' f的左右两个焦点分别为F1, F2, A, B为其左、右两个顶点，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 且ZAMB=30° ,则该双曲线的离心率为 .16.a为常数)有三个已知函数f (x) = (x2-ax) ex-ax+a2 (e为自然对数的底数，aR, 不同的零点，则实数 a的取值范围为 .三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分

6、)17. 如图，在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,(Sin B+cosB).(1) 求ZACB的大小；(2) 若 ZABC=ZACB , D 为 ABC 外一点，DB=2, DC=1 ,边形ABDC面积的最大值.18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD , ： T二1丄，PA=2, E是PC上的一点，PE=2EC .(I )证明：PC 平面BED ;( )设二面角A-PB-C为90°求PD与平面PBC所成角的大小.19. 设直线l与抛物线x2=2y交于A, B两点，与椭圆交于C D两点，设直线OA, OB, 0C, OD (O为坐

7、标原点)的斜率分别为 k1, k2, k3, k4,若OAIOB.(1) 证明：直线I过定点，并求出该定点的坐标；(2) 是否存在常数 满足k1+k2= ( k3+k4)?并说明理由.20. 已知函数f (x)=.(1)若函数y=f (x) -k有2个零点，求实数 k的取值范围;(2)若关于X的方程f (x) =m-有两个不等实根x1, 2,证明:> 2.21. 种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、第100站,共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn, 一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次 硬币，棋子向前跳动一次若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子

8、向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束.(1) 求 Pi, P2, P3;(2) 求证：数列Pn+i-Pn (n=l , 2, 3, 98)为等比数列；(3) 求玩该游戏获胜的概率.22. 在直角坐标系Xoy中，曲线Ci的参数方程为 f = rsina( 为参数)，以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：令，且曲线Ci与C2恰有一个公共点.(I )求曲线Ci的极坐标方程；()已知曲Ci上两点，A, B满足,求AOB面积的最大值.23. 若关于X的不等式x-i-x+4 +i有解，记实数t的最大值为 T(1) 求T的值；(2)

9、若正数a, b, C满足a+2b+c=T,求的最小值.答案1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】C9. 【答案】D10. 【答案】C11. 【答案】D12. 【答案】A13. 【答案】14. 【答案】15015. 【答案】:16. 【答案】（J 0）17. 【答案】解：（1 ）在厶 ABC 中，. a=c （SinB+cosB）, . SinA=sinC （SinB+cosB）,（ 1 分）. Sin （ B-C） =SinC （SinB+cosB）,.Sin （B+C） =SinC （SinB+cosB）

10、,（ 2分）.SinBcosC+cosBsinC=SinBsinC+sinCcosB,（ 3 分）.cosCsinB=SinBsinC,又. B （ 0, ,故 SinB 0 （4 分）.COSC=SinC,艮卩 tanC=1.（ 5 分）又 C（ 0, ,.C=I.（ 6 分）（2）在厶 BCD 中，DB=2 , DC=1 ,.BC2=12+22-2 ×>2 ×cosD=5-4cosD . （ 7 分）制又 ABC= ACB ,由（1）可知 ACB=,. ABC为等腰直角三角形，（8分）LI O 5.SABC=E×BC×,×BC=BC

11、=I-CoSD,（ 9 分） 又T S BDC= XBD XDC ×SinD=SinD, （ 10 分）.S四边形 ABDC= I-COSD+sinD=,+2sin ( DP ) .( 11 分).当D斗时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为 冷 .( 12 分)【解析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得COSCSinB=sinBsinC,结合SinC0可求tanACB=1 ,结合范围ZACB (0, ,即可求得 ZACB的值.(2)由已知利用余弦定理可得BC2=i2+22-2 × ×2 >CosD=5-4cosD ,由已知及(1)可

12、知ZACB= 利用三角形面积公式可求SABC, SBDC ,从而可求 S四边形，根据正弦函数的性质即可得解四边形 ABDC面积的最大值.本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应 用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题18. 【答案】解：(I)以A为坐标原点，建立如 图空间直角坐标系 A-Xyz,设 D (, b, 0),贝U C (2詞，0, 0), P (0,0, 2), E (岂 0, £), B (Q -b, 0)T C= (2 2, 0, -2),疔(£, b, ), % =(£,-b,

13、)PC IBE, PCIDE , BE DE=EB(ii ) = ( 0, 0 , 2),取和=(b, 2, 0)Jrl= (X, y, z),则r" =2a = 0m AP, = '2-by = 0Lm ABM= ( P, q, r),则"= 2¾-2r= 0IIPC _* f 农 I J IE f=W -b, O)设平面PAB的法向量为设平面PBC的法向量为PC 平面 BED.平面 PAB平面 PBC, 9j=b=0.故 b=j2 = (1,-1, %?), w= (-2,品,2)*1 T b'j>f I 1 COSV 彌,H> =

14、 j=2H fi IJTI设PD与平面PBC所成角为, 0 ,引,则Sin 亍. =30 °PD与平面PBC所成角的大小为30 °【解析】(I)先由已知建立空间直角坐标系，设 D C , b , 0),从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PCBE , PC DE ,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；(II)先求平面PAB的法向量，再求平面 PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即 可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，

15、空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19. 【答案】解：(1)证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点，故设 y=kx+b(b0 ， A(x, y), B(x', y'),联立直线 I 与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0, +x'=2k, xx'=-2b,yy'=二=b2,OA IOB . =0, b2-2b=0 ,解得 b=2,所以直线I的方程为：y=kx+2故直线恒过定点(0, 2).(2)由(1)知 x+x'=2k. xx'=-4 *1+k2仝十?=血* 八=2k+T -=k；设C (m, n), D ( a, t),

16、联立直线与椭圆的方程整理得：(1+2k2) x2+8kx+4=0,'m+a , ma=R7 ,I I Tl F Jrnj 4 1 肪 F J *(砸 Hn) Ik3+k4=2k+=-2k, 'k1 + k2- ( k3+k4),即存在常数=满足条件.【解析】(1)设直线I的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由OAOB,求出过定点，(2)由(1)得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出k1+k2 ,同理联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出k3+k4 ,从而得出存在常数满足条件.考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题20. 【答案】解：(1)由题知，

17、y=f (X)与y=k有两个交点，(町=二厂(XAIo),由 f,( x)> 0 得 0v XV e；由 f'( X)V 0 得 x> e, (x)在(0, e)上单增，在(e, +)上单减，又 f(1) = 0l FW) = ,且当 x>e 时，f (x)> 0 ,故e(0,；(2)证明：方程孑何=机一!可化为胶=】TtU ,令(x) = I #'(£)= 一下， 所以g (x)在(0, 1)上单增，在(1, +)上单减，又#() = 0不妨设 x1v X2.则-<X1< KX2 ,要证明 x1+x2>2,只需证 x2>

18、;2-X1, X2, 2-X1 ( 1, +)且 g (X)在(1 , +)上单减，所以证 g (X1) =g (X2)V g (2-X1),令ftW = (x)-ff(2-X)F 工Ec 1),皿 iflt2-t(1-I)L + (liJJrLt(2-=JSy则 h3 = ffx) + 0(2-巧=当工 EG 1)时，lnxv 0, ln1- (x-1) 2 V 0,h'( x)> 0,即 h (x)在 G 1)单增，又 h (1) =0,.g (X)V g (2-x)对工1)恒成立，即 g (x) =g (X2)v g (2-xi)成立，即 +2> 2成立；由得 左+

19、“)+#+勺)；.2(巧十可)，即+x2>2 ,命题得证.【解析】(1)依题意，y=f (x)与y=k有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况 即可得解；(2)问题转化为证明 x2>2-xi ,即证g (xi) =g (X2)v g (2-xi),构造函数 h(x)=甘茂)9(2-Xh X E G 1)即可得证；利用的结论容易得证.本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻 辑推理能力，属于中档题21. 【答案】解：(1)棋子开始在第1站是必然事件，Pi=I ;棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为I，IlP2= ；棋子跳到

20、第3站，有两种情况， 第一次掷硬币反面向上，其概率为：； 前两次掷硬币都是正面向上，其概率为IX ,IT s P3=.=；(2) 证明：棋子跳到第 n+2站(1n 97 ,有两种情况： 棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为*Pn； 棋子先跳到第n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为P+i 故 P+2= LPn+1+ Pn;Pn+2十 L=-j ( Pn+1-Pn)； 又 P2-Pi=-盘,数列是以-为首项，-为公比的等比数列，(3) 由(2) 得 P+i-P= (- ) n;.P99= ( P99-P98)+ ( P2-Pi) +Pi=(-)98+ (J) 97+ + ()+1= UT=广

21、帀,所以获胜的概率为1-P99= -【解析】(1)棋子在O站是一个必然事件，得到发生的概率等于1,掷出朝上的点数为1或2 ,棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面 出现的概率得到结果.(2) 由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子 相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列.(3) 写出所有的式子，把所有的式子相加，禾U用累加的方法消去中间项得到首项和末 项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率.本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键 是看出题目中要利用累加的方法.22. 【答案】解：(I)曲线C2的极坐标方程为 P Sirn +) =3 , 可得C2的直角坐标方程为：x+ ； -6=0 ,即曲线C2为直线.曲线Ci是圆心为(2, 0),半径为IrI的圆.2=l因为圆CI与直