广东省广州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)word

1、2019 广州高一数学（下）八区联考2018-2019 学年第二学期期末教学质量监测高一数学本试卷共4 页， 22 小题，全卷满分150 分，考试时间120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题

2、卡的整洁考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A. 出租车车费与出租车行驶里程B. 商品房销售总价与商品房建筑面积C. 铁块的体积与铁块的质量甲组 乙组C. 5,8A. 2,56 组:40,50), 50,60), 60,70),4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成70,80）, 80,90）, 90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）B.

3、 480A. 588C. 450D. 1205.设是两个不同平面，l , m是两条不同的直线，且A.若lB.C.若 1/D./,则 1/m6 .设ABC的内角A.一33C. 一47 .若直线x yA. 3, 18 .已知直线l :ay 1 0(a条切线，切点为A. 2ba,3sin A5sin B ,则角 C =()B.a的取值范围0与圆（x a）yb. 1. 3,1D. ( , 3U1,).过点A（ 4,a）作圆C的一C : x2y4xC. 6B. 4D. 2 10A, B,C所对边的长分别为，b,c ,若若235BCD中，已知所有棱长均为 2, E是AB的中点，则异CE与BD所成角的余弦值

4、A. _3B. 1C. 1D. -166332210 .已知圆C: x 3 y 41和两点A m,0 , B m,0 m 0 ,若圆C上存在点P,使得APB 90 ,则m的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 411 .正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A. 8B. 16C. 9D. 27uuu uur uuur12 .已知点A、B、C在圆X2 y2 1上运动，且 ABC 90o，若点P的坐标为2,0 , PA PB PC 的最大值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.1

5、3 .以边长为1正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是14.若直线l过点3,4 ,且平行于过点M（1,2）和N（ 1, 5）的直线，则直线|的方程为 E、F六点中任意取C的俯角分别为75°,A三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样 100个进行检查，测得每个球的直径 （单位：mm）将数据分组如下表分组频数频率39,95,39,971039,97,39,992039,99,40,015040,01,40,0320合计100。'斜ism嬴鼠叫而前茄而（1）请

6、在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图;（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间中点值（例如区间39.99,40.01的中点值是40.00作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.18 .某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(II )若从抽取的6所学校中随机抽取 2所学校做进一步数据分析,(1)列出所有可能的抽取结果；(2)求抽取的2所学校均为小学的概率.19 .已知圆C经过M 1,0、M2 3,0、M3 0,1三点.

7、(1)求圆C的标准方程;(2)若过点N 2,73 1的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的倾斜角.20.在 ABC中，内角A, B,C对边分别为a, b, c,已知2c acos B cos A 2cos CBiC的中点为。，且AO 平面BBiCiC(1)求c的值; aa1(2)右 cos B , b421 .如图，三棱柱 ABC AB1C1中，侧面BBiCiC为菱形,(1)证明：BC AB ；(2)若AC AB,CBB1 60°, BC 1,试画出二面角 A BC B1的平面角，并求它的余弦值.oO1122 .已知圆 O： x2 y2 1 和点 A( 2,0), B 3,0

8、 ,C(2,0) , D - ,0 .(1)若点P是圆O上任意一点，求|PA|PD|(2)过圆O上任意一点M 与点B的直线,交圆。于另一点N ,连接MC , NC ,求证： MCBNCB2019广州高一数学(下)八区联考2018-2019学年第二学期期末教学质量监测高一数学本试卷共4 页， 22 小题，全卷满分150 分，考试时间120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑

9、色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的1. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A. 出租车车费与出租车行驶的里程B. 商品房销售总价与商品房建筑面积C. 铁块的体积与铁块的质量D. 人的身高与体重【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断【详解】对于A 选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段

10、函数关系；对于B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C 选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；身高与体重之间没有必然联系，对于 D 选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系.故选D.【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生 对这些概念的理解，属于基础题.2.在某次测量中得到 A样本数据如下：43,50,45,55,60，若b样本数据恰好是 A样本每个数都增加5得到，则

11、A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.众数B.中位数C.方差D.平均数【答案】C【解析】【分析】分别计算出A、B两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断.【详解】A样本的数据为：43、50、45、55、60,没有众数，中位数为50 ,平均数为50.6,方差为39.44,B样本的数据为：48、55、50、60、65,没有众数，中位数为 55,平均数为55.6,方差为39.44, 因此，两个样本数据的方差没变，故选 D.【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题.3.以下茎叶图

12、记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x, y的值分别为（甲组9X 27 4乙组52 84,1_ _试题分析：由题意得 x 5, 16.8 -(9 15 10 y 18 24) 5考点：茎叶图4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50), 50,60), 60,70),70,80), 80,90), 90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A. 588B.480C.450D.

13、120【答案】B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，彳导;该模块测试成绩不少于60分的频率是1- (0.005+0.015 ) X 10=0.8,.对应的学生人数是 600 X 0.8=480考点：频率分布直方图5.设 ， 是两个不同的平面，l, m是两条不同的直线，且l , mA.若l ，则B.若 ，则l mC.若 l / ，则 /D.若，则 l/m【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l , l可得考点：空间线面平行垂直的判定与性质6.设 ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b c 2a,3sin A5sin

14、 B，则角 C =A.一32B.一3c. 一4D.6【解析】【详解】试题分析：Q 3sin A 5sin B ,由正弦定理可得3a5_5b即a b ；因为b c32a ,所以 c 7b,32,22所以 cosC a一b一-2ab25 b2 b2 49 b295.2b31591031,而C (0,)，所以C22,故选B.3考点：1.正弦定理;2.余弦定理.7.若直线0与圆(x a)2y2 2有公共点，则实数 a的取值范围是()A. 3,1B. 1,3C. 3,1D.(,3U1,)由题意得圆心为(a,0)，半径为.2 .圆心到直线的距离为d由直线与圆有公共点可得行，即a 1.实数a取值范围是3,1

15、.28.已知直线l ： x ay 1 0(a R)是圆C:x4x 2y 1 0的对称轴.过点A(4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则|AB| ()A. 2B. 4 2C. 6D. 2 10试题分析：直线l过圆心QJ),所以a 1,所以切线长 ab ,( 4)21 4( 4)21 6 ,选C.考点：切线长9.在三黏t A BCD中，已知所有棱长均为 2, E是AB的中点，则异面直线 CE与BD所成角的余弦值1C.一31A.B.一6【答案】A【解析】【分析】 取AD的中点F ,连接CF、EF ,于是得到异面直线 CE与BD所成的角为 CEF ,然后计算出 CEF的三条边长，并利用余弦定理计算出C

16、EF ,即可得出答案.【详解】如下图所示，取 AD的中点F ,连接CF、EF ,1 由于E、F分别为AB、AD的中点，则EFBD,且EF - BD 1,2所以，异面直线 CE与BD所成的角为 CEF或其补角，Q三棱锥A BCD是边长为2的正四面体，则 ABC、 ACD均是边长为2的等边三角形,Q E为AB的中点，则CEab ,且 ce Jac2Ae7 J3，同理可得 cf J3,在CEF中，由余弦定理得cos CEFCE2 EF2 CF22CE EF3 1 32.3 16因此，异面直线 CE与BD所成角的余弦值为、3,故选A.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基

17、本步骤如下:(1) 一作：平移直线，找出异面直线所成的角;（2）二证：对异面直线所成的角进行说明;（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角.，一22_10.已知圆C: x 3 y 41和两点A m,0 , B m,0 m 0 ,若圆C上存在点P,使得APB 90 ,则m的最大值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0, 0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点 P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以m 1 5,故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力11.正四棱锥

18、的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2 ,则该球的表面积为（）A.工B. 16C. 94【答案】A【解析】27 D.【详解】正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O, PO=AO=R , PO1 4 , OO1 =4-R ,Rt AAOO1 中，AO1 72,29由勾股定理R2 24 R得R 一,481 一，球的表面积S ,故选A.4考点：球的体积和表面积uuu uur uuur12.已知点A、B、C在圆x2 y2 1上运动，且 ABC 90°，若点P的坐标为2,0 , PA PB pc的最大值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6由题意可知AC

19、为圆x2 y21的一条直径，由平面向量加法的平行四边形法则可得uur ujir uuu八PA PC 2PO（ O为坐标原点），然后利用平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质可得出uuv uuv uuuvPA PB PC的最大值.【详解】如下图所示:Q ABC 90°，AC为圆x2 y2 1的一条直径,由平面向量加法的平行四边形法则可得uuu uuu uuin 、一2PO PA PC （O为坐标原点），由平面向量模的三角不等式可得uuv uuvPA PBuuu/PCuuu/2POuuvPBuuu/2 POuu/PBuuv4 PBuuiv4 PO 1 7 ,当且仅当点B的坐标为 1,0时

20、，等号成立, uuv uuv uuv因此，PA PB PC的最大值为7.故选：C.【点睛】本题考查向量模的最值问题，涉及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考查数形 结合思想的应用，属于中等题、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13 .以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是【答案】2【解析】【分析】先确定旋转体为圆柱，根据条件得出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案.【详解】由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为r 1 ,母线长为l 1 ,因此，旋转体的侧面积为 2 rl 211

21、2,故答案为2 .【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解本题的关键，意在考查学生对这些公式的理解与运用能力，属于基础题.14 .若直线l过点3,4 ,且平行于过点 M(1,2)和N( 1, 5)的直线，则直线l的方程为 【答案】7x 2y 13 0【解析】【分析】先利用斜率公式求出直线 MN的斜率，由直线l与直线MN平行，得出直线l的斜率，再利用点斜式可得出 直线l的方程.25 7【详解】由于直线l/MN ,则直线l的斜率等于直线 MN的斜率 一，112又由于直线l过点3,4 ,所以直线l的方程为y 4 I x 3 ,即7x 2y 13 0.2故答案为7x 2y 1

22、3 0.【点睛】本题考查斜率公式、两直线的位置关系以及直线方程，关键在于将两直线平行转化为斜率相等， 并利用斜率公式求出直线的斜率，考查推理分析能力与计算能力，属于中等题.15 .如图，00的半径为1,六边形ABCDEF是。0的内接正六边形， 从A、B、C、D、E、F六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为J3的概率是.【解析】【分析】先计算出所有线段条数的总数，并从中找出长度为 J3的线段条数，利用古典概型概率公式计算所求事件的概率.【详解】在A、B、C、D、E、F中任取两点的所有线段有：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF,共 15

23、条，其中长度为 J3的线段有：AC、AE、BD、BF、CE、DF ,共6条，由古典概型的概率公式可知，线段的长为J3的概率是 2,故答案为-.1555【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查概率公式的应用，其中列举基本事件时，可以利用枚举法与树状图法来列举，在列举应遵循不重不漏的原则进行，考查计算能力，属于中等题.16 .如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B, C的俯角分别为75°,30。，则河流的宽度 BC等于 m【答案】120( . 3 1)【解析】【分析】先计算出AC的长度，然后在 ABC中求出 BAC和 ABC,利用正弦定理求出 BC的长度

24、.【详解】在 ABC中，由 ACB 30°得AC 120.又 BAC 75° 30° 45°,ABC 105°,ACsin BAC 120sin45o 24由正弦7E理得 BC - 120 -=一= 120（73 1）.sin ABCsin105o2,26故答案为120 J3 1 .【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用，一般而言，正弦定理解三角形适用于已知两角与一边类型的三角形，同时要分清楚正弦、余弦定理所适用的基本类型，在解三角形时根据已知元素类型合理 选择这两个公式来求解.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明

25、，证明过程或演算步骤.17 .某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径 （单位：mm）将数据分组如下表分组频数频率39,95,39,971039,97,39,992039,99,40,015040,01,40,0320合计100荷布若.20If .103必然投再科叫MUM班MB（1）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图;（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间39.99,40.01的中点值是40.00作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.【答案】（1）见解析；（2） 40.00（

26、mm）【解析】解：（1）频率分布表如下:分组频数频率频率39.95,39.97)100.10539.97,39.99)200.201039.99,40.01)500.502540.01,40.03200.2010合计1001注：频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布直方图方便.频率分布直方图如下：砺25IS (mm3W39.97 3939mai 40 ih "(2)整体数据的平均值约为39.96 X 0.10+ 39.98 X 0.20+ 40.00 X 0.50+ 40.02 X 0.20 =40.00(mm)6所学校对学18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所

27、，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取生进行视力调查.(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(II)若从抽取的6所学校中随机抽取 2所学校做进一步数据分析，(1)列出所有可能的抽取结果；(2)求抽取的2所学校均为小学的概率.【答案】(1)3,2,1 (2) ?i.： '-【解析】从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1, As, A1 ,A6, A2, A3,A2, A4,A2, A5

28、, A2, A6, A3, A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4, A6, A5,A6,共 15 种.从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为A1, A2, A1, A3, A2, A3, 共3种. ,31所以 P(B)=-. 15519.已知圆C经过M 1,0、M2 3,0、M3 0,1三点.(1)求圆C的标准方程；(2)若过点N 2,73 1的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的倾斜角. 22八人【答案】 x 1 y 15；(2) 30o或90o.【解析】【分析】l的倾斜角.(1)设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；(2)讨论

29、直线l的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得直线【详解】(1)设圆C的一般方程为x2 y2DxEyF 0,将点M1、M2、M3的坐标代入圆的方程得所以，圆C的一般方程为x2 y2 2x 2y(2)设圆心C到直线l的距离为d ,则d3DF 0,F 03 0 ,标准方程为2AB21.解得215;当直线l的斜率不存在时，即直线 l:x 2到圆心的距离为1,满足题意,此时直线l的倾斜角为90o;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y k x 2则圆心C 1, 1至ij直线l的距离为d此时，直线l的倾斜角为30°.k 1 2k 工3 1综上所述，直线l的倾斜角为30°

30、或90°.【点睛】本题考查圆方程的求解，同时也考查了利用直线截圆的弦长求直线的倾斜角，一般转化为求圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式以及勾股定理列等式求解，考查计算能力，属中档题.20.在 ABC中，内角A, B,C对边分别为a, b,c,已知 cosB2c acos A2cos C(1)求c的值;a1 (2)右 cos B - , b42,求【答案】(1)2 (2),154(1)在题干等式中利用边化角思:sinC 2sinA,再利用角化边白(2)由(1)中的结果，结合余弓利用三角形的面积公式求出【详解】(1)由正弦定理得比值;的面积S .bc2R,sin A sin B s

31、in C名公式、内角勺平方关系求出sin B ,最后ABC的结合两角和的、式计算出可得出里求出的值，再利用同角三角函皿 2RsinB 4RsinC 2RsinA则cosB cosA 2coscsin B 2sinC sin A所以,cosB cosA 2cosc即 sinB(cosA 2cos C) cosB(2sin C sin A),化简可得 sin(A B) 2sin( B C).又A B C n，所以 sinC 2sin A.所以£ 2亘，即c 2. 2R 2R a2,(2)由(1)知 c 2a. 1由余弦te理 b a c 2accosB及 cosB - , b 4一 22

32、21得4=a 4a 4a 解得a 1,因此c 2 4九所以sin B 1541因此 S acsin B 2【点睛】在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外, 在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用.21.如图，三棱柱ABC AB1C1中，侧面BBCQ为菱形，BC的中点为。，且AO 平面BB1C1C .证明：BiC AB；1 ,试画出二面角A BC B1的平面角，并求它的余弦值.(2)若 AC AB ,CBB1 60°, BC【答案】（1）见证明；（2）二面角图见解析;217【解析】 【分析】(1)

33、由菱形的性质得出BiC BC1，由AO 平面BB1C1C ,得出BC AO,再利用直线与平面垂直的判定定理证明BiC 平面ABO ,于是得出BiC AB ；(2)过点O在平面BCCiBi内作OD人BC ,垂足为点D ,连接AD ,可证出BC ±平面ADO ,于是找出二面角A BC Bi的平面角为 ADO ,并计算出Rt ADO的三边边长，利用锐角三角函数计算出cos ADO ,即为所求答案.【详解】(i)连接BCi ,因为侧面BBiCiC为菱形，所以BiC BCi，且BQ与BCi相交于。点.因为 AO 平面 BBiCiC , BiC 平面 BBiCiC ,所以BiC AO .又BCi I AO O ,所以BiC 平面ABO因 AB i平面ABO,所以BiC AB .(2)作Oda bc ,垂足为D ,连结AD ,i因为 BC OA , BCOD , OAI OD O,所以BC 1平面AOD ,又AD 平面AOD ,所以BC AD .所以ADO是二面角BC Bi的平面角.因为CBB1600,所以CBBi为等边三角形,11又 BC 1 ,所以 OC - BC , 22所以OD30c= 3OC =2411因为 AC AB（所以 OA BC . 22所以 AD . OD2 OA2.4在