数学物理方法大总结

1、数学物理方法1、 填空题1、 函数为：(x)= ；又称为第二类欧拉积分的为：。2、 B函数（又称为第一类欧拉积分）为：；B函数与函数之间的重要关系为：3、 勒让德Pl(x)的母函数：（B卷）4、 贝塞尔Jn(x)的母函数：；其积分形式为：（B卷）5、 球阶函数：6、7、 SL方程表现形式：8、 复数9、10、 复数11、 在可展开为洛朗级数： 12、 函数在z=0处的奇点类型为本性奇点，其留数为： 。13、 已知x为复数，则 0 。14、 函数的傅里叶变换为： 。15、 函数的傅里叶变换为： 。16、 数学物理方程定解问题的适定性是指解的 存在性 ， 唯一性 ， 稳定性 。17、 的模为，主辐

2、角为： -1 。（B卷）18、若解析函数的虚部且，则解析函数为 。19、 0 。20、在的环域上，函数的洛朗级数展开为21、。22、 函数在的奇点类型为 可去奇点 ，其留数为 0 。23、求解本性奇点留数的依据为 洛朗级数展开的负一次项系数 。24、在这个周期上，。其傅里叶级数展开为25、 当时，；当时，；当时，。则函数的傅里叶变换为26、的拉普拉斯变换为。27、 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。28、。29、复数，。30、若解析函数的实部，则虚部 ，若，则实部为。31、 已知，为任一回路，n为任一整数

3、，不在l上，则 2i ( n = -1 且 l 包含) 或者0 (其它情况)。32、 在的环域上，函数的洛朗级数展开为_ 。33、 0 。34、 函数在的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 。35、孤立奇点可分为三类，分别为 可去奇点、极点、本性奇点 。36、的拉普拉斯变换为。37、 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为。二、判断题（1）若函数   f(z )在z 点解析，则函数 f (z)  在z 点可导，反之亦

4、然。  （×）（2）若函数   f(z )在z 点解析，则函数 f (z)  在z 点可导。 （）（3）若函数在点可导，则函数在点必解析。 （×)（4）复通区域上的回路积分不一定为零。同样，单通区域上的回路 积分也可以不为零。  （） （5）设z 为复数，则  。  （×）（6）设z为复数，则 （×）（7）数学物理方程的定解条件可以不含边界条件但一定要有初始条件。 

5、（× ）（8）设z*为z的共轭复数，则。                        （ ）（9）z为复数，。 （×）（10）若函数f(z)在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线，都有ò。           

6、                            （×）（11）是二阶线性齐次偏微分方程。 （×）三、证明题1、 解析函数的实部和虚部都是调和函数，且其梯度向量相互正交。2、 用傅里叶变换方法解泊松方程解：设真空中静电势满足上述方程即 令，并记，对方程进行傅里叶变换的利用变换公式有，故由卷积定

7、理得3、 用格林函数法解泊松方程（B卷）解：其格林函数满足的方程为采用球坐标，并将坐标原点放在源点上的距离，则当时，方程化为齐次的，即，则得，取，不失一般性，得考虑的情况，则，而所以，即，所以四、解答题1、解析函数有几个基本的性质解：解析函数求积分为0（柯西定理）几何性质为保角变换实部和虚部都是调和函数2、奇点分为几类？如何判别？ 解：在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇

8、点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1） 如果展开式中没有负幂项，则Zo为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则Zo为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为m阶奇点。3、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？解：数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。4、写出(x）挑选性的表达式解：函数 函数的性质，即挑选性的表达式为：5、泰勒定理与洛朗定理解：泰勒定理：设在区域内解析，则在该区域

9、内任意一点z=b的领域（含于内），可展开为幂级数：称为泰勒级数。其中系数称为泰勒系数，且此展开是唯一的。洛朗定理在环域内解析的函数必可展开成洛朗级数，其中称为洛朗展开系数，为圆周，且此展开是唯一的。6、 傅里叶变换公式解：7、 函数与B函数解：函数为：(x)= ；又称为第二类欧拉积分的为：。B函数（又称为第一类欧拉积分）为：。8、 三坐标下的拉普拉斯方程表示方式解：柱坐标下极坐标下球坐标下9、 格林两大公式解：格林第一公式：格林第二公式：五、计算题1、 用留数定理计算解：若n则由柯西定理有；若，则为其奇点，于是若，则，为其阶奇点，于是2、 应用泰勒级数求积分正弦 解：或者等于3、 将在复平面中

10、以z=0为中心进行洛朗展开。（B卷）解：在复平面中仅有z=1和z=2两个奇点（1）（2）（3）4、 利用傅里叶变换求无界杆的热传导问题解：对上两式一x为变量分别进行傅里叶变换，并记则有 解得由傅里叶逆变换得而（注：）所以5、 利用格林函数法求二维泊松方程的基本解6、 在匀强电场E0中，放一接地的导电球，球的半径等于a，求球外电场。（B卷）7、 将任意的二阶常微分方程写成施刘型方程（P311P312）6、 论述题1、施-刘本征值的特点解：如果存在一阶极点，则存在无限多本征值所有本征值m0本征函数带权重正交归一本征函数族具有完备性2、各种解数理方程的方法优缺点，适用条件解：行波法：用于解无边限条件的行波问题分离变量法：适用范围广，可解各种定解问题积分变换法：可以减少自变量的个数，