小学尖子生训练之-质数与合数(三)模块练习(含答案)

1、5-3-3.质数与合数（三）5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 3 of 4即叵知识框架1 .掌握质数与合数的定义2 .能够用特殊的偶质数2与质数5解题3 .能够利用质数个位数的特点解题4 .质数、合数综合运用目知识点拨、质数与合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了 1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数 .要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97,共计25个；除了

2、 2其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余的质数个位数字 只能是1, 3, 7或9.考点：值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于 K的质数，用这些质数去除 p,如没有能够除尽的那么 p就为质数.例如：149很接近144 12 12 ,根

3、据整除的性质 149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.例题精讲模块一、质数合数综合【例1】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数.【考点】质数合数综合【难度】2星 【题型】解答【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出 7个连续的合数：90, 91 , 92, 93, 94,95, 96.我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了.用筛选法可以求得在113与127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数： 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126.同学们可以在这

4、里随意截取 10个即为答案.可见本题的答案不唯一.【答案】114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123【例2】 老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找【考点】质数合数综合【难度】3星 【题型】解答【解析】如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第是11的倍数，那么这10个数就都是合数.又 m200个连续的自然数它们个个都是合数.2个是3的倍数，第3个是4的倍数L L第10个2 , m 3, L , m 11是11个连续整数，故只要m是2, 3, L , 11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数.设 m为2, 3, 4, L , 11

5、这10 个数的最小公倍数.m 2, m 3, m 4, L , m 11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数L L 11的倍数，因此10个数都是合数.所以我们可以找出2, 3, 4L 11的最小公倍数27720,分别加上2,3, 4L 11,得出十个连续自然数 27722, 27723, 27724L 27731,他们分别是 2, 3, 4L 11的倍数， 均为合数.说明：我们还可以写出 11! 2,11! 3,11! 4L 11! 11 (其中n!1 2 3 L n)这10个连续合数来.同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3, L ,(m+1)!+m+1是m个连续的合数.那么 200个连续的

6、自然 数可以是：201! 2,201! 3,L ,201! 201【答案】201! 2,201! 3,L ,201! 201【例3】四个质数2、3、5、7的乘积为 ,经验证200到220之间仅有一个质数，请问这个质数【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】四个质数乘积2 3 5 7 = 210; 200到220的质数，因为210= 2 3 5 7 ,所以210 2, 210 3, 210 4 , 210 5, 210 6, 210 7, 210 8, 210 9, 210 10都是合数，所以只需要判断 210 1 中谁是质数即可，209和211中211是质

7、数。【答案】积为210,质数是211【例4】 有人说： W51 7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，就是说它们都不是质数.有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4 ,，(n+1)!+( n+1)这 n 个数分别能被 2、3、4、(n+1)整除，它们 是连续的n个合数.其中n!表示从1 一直乘到n的积，即1X2X3X-nX【

8、例5】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是 几？【考点】质数合数综合【难度】3星 【题型】解答【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8,它们的和是18,则比18小的数一定都是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是 奇数”或者是 偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1) 也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。【答案】17

9、【例6】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=()+()=() + ()=()+() = ()+()【考点】质数合数综合【难度】3星 【题型】填空【解析】首先列出前几个合数 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为 奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29 , 即A的最小值为29。大部分的题考的都

10、是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。【答案】A的最小值为29 【例7】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少.【考点】质数合数综合【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从 2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41。那么这个数一定要比 41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面

11、质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于 2的偶数即可满足条件。答案为 47【答案】47【例8】 求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？【考点】质数合数综合【难度】4星【题型】解答【解析】考虑最小的合数是 4,先把表示方法简化为 4合数 合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4 (2 n)+合数即8n合数(其中n> 1即可)当该数被8整除时， 该数可表示为4 (2n) 当该数被8除余1时，该数可表示为 4 (2n) 当该数被8除余2时，该数可表示为 4 (2n)

12、当该数被8除余3时，该数可表示为 4 (2n) 当该数被8除余4时，该数可表示为 4 (2n) 当该数被8除余5时，该数可表示为 4 (2n)当该数被8除余6时，该数可表示为 4 (2n) 当该数被8除余7时，该数可表示为 4 (2n)8, , n>1,所以大于等于24的8的倍数都可表示9, n>1,所以大于等于25的被8除余1都可表示10, n>1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示27, n>1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示4,所以大于等于 20的被8除余4的都可表示21,所以大于等于 37的被8除余5的都可表示6,所以大于等于 22的被8除余6的都可

13、表示15,所以大于等于 31的被8除余7的都可表示5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 5 of 4综上所述，不能表示的最大的数是43 8 35经检验，35的确无论如何也不能表示成合数【答案】35X合数十合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35。例9 将六个自然数14, 20, 33, 117, 143, 175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成 组。【考点】互质【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第 5题，10分【解析】先将所有数都分解质因数得：14=2 X720=2 X2 >533=3 M1117=3 MM3143=11 M317

14、5=5 >5X7注意到33, 117, 143两两都不互质，所以至少应该分成3组，同样14, 20, 175也必须分为3组，互相配合就行。【答案】3组【例10】 把26, 33, 34, 35, 63, 85, 91, 143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分几组.【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】 要保证每组中的任意 2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.【答案】3【例11】 把40, 44, 45, 63, 65, 78, 99, 105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答【解析】40235 , 442211 , 45 532, 63 732, 65 51 3, 78 2 3 1 3 , 99 32 11 ,105 3 5 7,要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2,第一组含有40,第二组含有 44, 78,再看11,13,第一组应有 40, 99, 65,再看5第二组应有 44, 78, 45, 105, 最后看7,第一组应有40, 99, 65, 63.【答案】40, 99,