切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1 .切线长概念“切线长”是切线切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度,上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2 .切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径;（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角:

2、直线AB切。于P, PG PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5 .弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6 .遇到圆的切线，可联想 “角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7 .与圆有关的比例线段定理相交弦定理图形A已知结论证法中，AR CD为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC、 BD, 证： 于 P.AAP(CDPB.相交弦定理的推论00 中，AB为直径，CDLABPC2=PA PB 于P.用相交弦定理.0圆骞定理PA, CD为弦B0切割线定 理推论切割线定 理00 中，PT切。0 于 T,

3、PT = PA - PB割线PB交。0于APR PD为。0 的两条害U线，PA- PB= PC- PD 交。于A、COO中，割线PB交。0于PC PD一2 rOP2PA- PB= oP-r2r为。0的半径连结TA、TB , 证： PTB APAT过P作PT切。0于T,用 两次切割线定理延长PO交。0于M,延 长OP交。0于N,用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证8 .圆哥定理：过一定点P向。0作任一直线，交。于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积 为常数|0尸2 五1（R为圆半径），因为F?龙2叫做点对于00的哥，所以将上述定理统称为 圆哥定理。【典型例题】例1.如图1,正方

4、形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 O,过A作半圆切线，切 点为F,交CD于E,求DE AE的值。图1解：由切线长定理知： AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x,在RtADE中，由勾股定理 （1 +式=（1-工厂+1二1 315） = 1- - = - AE=A + - = -4 44 4, ?-k35=3： 5，口Ei AE =-44cm。例2.。0中的两条弦 AB与CD相交于 E,若A已6cm, BE= 2cm, CD= 7cmi那么CE=图2解：由相交弦定理，得AE- BE=CE- DE. AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE= CD-CE

5、 =1-CE ,6X2二四 7-，即匕X7C + 12 = 01. CE= 3cm或 CE= 4cmb故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 /3： 心 =解：ZP = ZP/ PAC= / B ,. .PA6 APBA,AB PBAB2PR 工加丁 FT。又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 以2 =尸8+ FCPBAB2AC PB * PCBn AC2 = PB. PC即，故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。例4.如图3, P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是

6、。0的割线，交。于A、B两点，如果PA:cm。4PB= 1 : 4, PC= 12cm, 00的半径为10cm,则圆心。到AB的距离是解：.PC是。的切线，.PB= 4PA又,. PC= 12cm由切割线定理，得比1 = FA+ PB 17;?月 4%.PB= 4X6 =24 (cm).AB= 246= 18 (cm) 设圆心。到AB距离为d cm, 由勾股定理，得故应填，晒。例5.如图4, AB为。0的直径，过 B点作。0的切线BC, OC交。0于点E, AE的延长线交 BC于点D, (1)求证：3 山 S ; (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。图4A点悟：要证 士?I,即要

7、证 CEDo ACBEo证明：(1)连结BE50是。的切线n/月二Z.CBE0A = 0E =乙0sA，= Z1CED = CBE= 20耽NC公用角|J1尸 PHCNS匿旦=一 =CE2 =CB * CDCD CEn abd = 9CT8J2* = OC = V4 + 1 =石OS = A0 CE = -1。又；9，CE, C*-1S9 厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5, AB为。0的直径，弦 CD/ AB, AE切。0于A,交CD的延长线于 E。E D_C求证：-二二证明：连结BD, .AE切。0 于 A e E EAD= / ABD

8、. AE!AB,又 AB/ CD, .AE! CD.AB为。0的直径 ./ADB= 90.ZE = ZADB= 90 .AD曰 ABADAD DE,一一二一；.山=加,口. CD/ ABn nAD= BU.AD= BC,BC2 = AS* DS例7.如图 6, PA PC切。0 于 A、C, PDB为害U线。求证： AD- BC= CD- AB图6空 CD点悟：由结论 AD- BC= CD-AB得/= 无，显然要证 PAN 4PBA和PC8 PBC证明：.PA切。于A,/ PAD= / PBA又 / APD= / BPA .PAD APBA心_印.1.同理可证PC8APBC生竺, F ；.PA

9、、PC分别切。于A、C .PA= PC_ CD.i 一 .AD- BC= DC- AB例8.如图7,在直角三角形 ABC中，ZA = 90 ,以AB边为直径作 00 ,交斜边BC于点D,过D点 作。0的切线交AC于E。图7求证：BC= 2OE点悟：由要证结论易想到应证 OE是4ABC的中位线。而 OA= OB只须证 AE= CE 证明：连结OD. ACLAB, AB为直径 AC为。0的切线，又DE切。0于D .EA= ED, ODL DE .OB= OD -.ZB = ZODB在 RtABC中，ZC = 90 -ZB . / ODE= 90.工世*轴-AODB . .ZC = Z EDC .E

10、D-EC.AE= EC .OE是ABC的中位线 .BC= 2OEn例9.如图8,在正方形 ABCD中,AB= 1 , dC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点En是边AD上的任意一点（点 E与点A、D不重合），过E作C所在圆的切线，交边 DC于点F, G为切点。当/DEF= 45时，求证点G为线段EF的中点;图8图1解：由/DEF= 45 ,得 ./ DFE= / DEF .DE= DF又,.飞D= DC.AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB,所以AD切圆B于点A;同理，CD切圆B于点C=又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即点G为线段EF

11、的中点。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1.已知：PA PB切。0于点A、B,连结AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,则PA=（）2025A. -B.-2.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.C. 5D. 8矩形C.菱形D.梯形3 .已知：如图1直线MNfOO相切于C, AB为直径，ZCAB= 40 ,则/ MCA勺度数（）A. 50B. 40C. 60D. 554 .圆内两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC.12cmD. 16cm5 .在4ABC中，D是BC边上的点，AD= 2J五僧，BD= 3c

12、m, DC= 4cm,如果 E是AD的延长线与 ABC的外接圆的交点，那么A.2痘加DE长等B.D.6.PT切。0于T, CT为直径，D为OC上一点，直线 PD交。0于B和A B在线段PD上，若CD=2, AD= 3, BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7 . AB、CD 是。0 切线，AB/ CD, 度。8 .已知：00和不在00上的一点EF是。0的切线，它和 AB CD分别交于 E、F,则/ EO已P,过P的直线交。于A、B两点，若 PA- PB= 24, OP= 5,则。0的半径长为9.若PA为。0的切线，A为切点,PBC割线交00于B、C,若BC=

13、 20,=1。也,贝U PC的长为10.正4ABC内接于。0, M N分别为AR AC中点，延长 MN交。0于点D,连结BD交AC于P,PC _三、解答题11.如图2, 4ABC中，AC= 2cm,周长为8cm, F、K、N是4ABC与内切圆的切点， DE切。0于点 M 且 DE/ AC,求 DE的长。F32M C12.如图3, /DCR已知P为。0的直径AB延长线上一点,PC切。0于C, CDLAB于D,求证：CB平分13.如图4,B隹 MNh NC已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过 B的割线BMN AD的延长线于 C,且 若Af 2屈M，求。0的半径。图4【试题答案】-、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A疗+1)二、填空题7. 908.19. 3010.三、解答题：11 .由切线长定理得 4BDE周长为4,由4BD曰ABAC,彳导DE= 1cm12 .证明：连结AC则ACL CB. CDL AB, .ACB ACDB,=.P