函数y=Asin(wx+φ)图像专题

1、函数y=Asin（wx+ 0）图像专试卷第10页，总7页一、单选题函数y = sin（cos（x）的部分图象大致为（1.)若函数"X)= Asin(2x+0) (A > 0 ,2.A,函数/的图象可由=Asin2x的图象向左平移三个单位得到 6B.函数f（x）的图象关于直线X = ?对称C.函数/（X）在区间一三，三 上单调递增D.-,0是函数/（X）图象的一个对称中心3 .已知函数户Asm（5+0）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移巾0）个 单位长度，得到函数），= /（"的图象若函数y = /（x）为奇函数，则，的最小值是（）a 4c 兀冗一兀AB. -C

2、. -D126434 .函数/(x) = Asin(Gx+。)(其中幻>0, A>0, lekg)的图象如图所示，为了得至ijg(x) = sm2x的图象，则只要将/(M的图象()6B.向左平移四个单位长度6C.向右平移三个单位长度12D.向左平移二个单位长度12/ /、5 .已知函数/(x) = Acos(ox+e) A>0,o>0,闸<5的图象如图所示，若函数/?(x) = /(x)+l的两个不同零点分别为再，以 则,一引的最小值为()6 .函数x) = sin(m;+9)3>0,同<外的图象如图所示，为了得到g(x) = sin3x的 z)函数/

3、(x) = 2sui(gx+0)B.向左平移;个单位长度4D.向左平移二个单位长度12/。0,阿的部分图像如图所示，则下列结论正确7.,k wZc.4万/(x)Nl的解集为4%乃,4人乃十 丁,k sZD.8.27r87r/(九)的单调递减区间为2k兀t,2k7r4 ,k w Z已知函数/(x) = Asin(Gx+。)A0,g0，M<5的部分图像如图所示，记关于X的方程/(X)=1-2UV1)在区间0, 上所有解的和为8,则tand=()D. tan 2f9,函数/(x) = Asin®x+e) A>0,o>0,|W<2;的部分图象如图，将y = /(x)的

4、图象向右平移J个单位长得到函数y = g x的图象，则g(x)的单调增区间为(2女兀一看，2历r + g (k e Z)A,c.B.D.2&兀+ g,2&兀+ ? (kwZ)叫，吟(k£Z)10 .已知函数 =Asm(x+0)(4O,力0,忸|兀)的图象如图所示，则(B. 49=2,3 711D. CD=, 2二、解答题11 .把/(x) = cos(0x+。的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍的变换得g(x)的图象，已知g(x)图象如图所示.(1)求函数/(X)的解析式;上的值域.(1)求函数 = /(x)的解析式;(2)若/?(工)=/")-2g

5、* + §),求在 6乃乃12 .已知函数/(x)= Asin(3v+°),其中 A>0, 69>0 , <(P< > xeR ,(2)已知函数g(x) = /(x)cosx,求函数g(x)的单调递增区间.13 .函数/(x) = 2jJsin三-cos掾+ 3cosgx(g0),在一个周期内的图象如图所 示，A为图象的最高点，B、C为图象与无轴的交点，且aAbC为正三角形.(1)求函数“X)的解析式；(2)将/(x)的图象上每个点的横坐标缩小为原来的;倍(纵坐标不变)，再向右平移 1个单位得到函数g(x),若设g(x)图象在)'轴右侧

6、第一个最高点为夕，试问g(x)图 象上是否存在点)(4夕2乃)，使得历_L而，若存在请求出满足条件的点。的个数，若不存在，说明理由.14.已知函数/(x) = 4sin(0x+0) ( A>0,刃>0, 0<M v/）的部分图象如图（1）求/（X）的解析式；（2）若将y = /（x）的图象向左平移盘个单位长度，得到y = g x的图象，求函数 了二g X的单调递增区间.15 .函数/(x) = Asin(5+°) A>0,6?>0,|<y 的图象如图所示.（1）求函数/（X）的解析式；（2 ）如何由函数g（x尸smt的图像变化得到函数4t）的图像？

7、（3）若xe。,求函数人工的最值及其对应的的值.16 .己知函数/（x）=Asm（Gx + 0）A>0,口>0,0的部分图像如图所示.（1）求函数"X）的解析式；（2）将函数y = /（M的图象向左平移3个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩 6短到原来的g倍，纵坐标不变，得到函数y = g（M,求g*）的解析式.参考答案1. A【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论.【详解】记 X)= Sin(COSX),则/(一工)=5111(85(-刈)=5111(85工)=/(刈，为偶函数，排除 D,当工=丁 时，/(x) = sin cos

8、 j = sin - <0,排除 B, C.故选：A.【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单 调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出 正确结论.2. D【分析】先由图象可知A=2,再把点代入函数解析式，结合0<8<：,可求得8 =二, I 12 126从而确定函数的解析式为x) = 2sin 2x+ .然后根据正弦函数的中心对称、轴对称和6)单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可.【详解】由图可知，A = 2,-54 .函数/(”经过点,0 ,.0 = 2sm 2x j , 12

9、"J+(p=k九,keZ,即。=攵加一生， 6keZ,答案第17页，总16页丸9：0<(p<,=二函数/(x) = 2sin12x + C .6 ；对于A, y = 2sin2的图象向左平移各个单位得到 6c . J 71 y = 2sin2 x+ I 6 J=2sm 2x + I 3 JW/(X)，即A错误.对于B,令2工+工=工+壮，%£2,则=工+旦，k£2,不存在人使其对称轴为了 = 2, 6 2623即B错误:对于 C,令2x + e + 2k/r,一+ 2左4622f,71 、71 、 t,k sZ ,则xw + k7r + k/r , k

10、 eZ ,36当 =0时，单调递增区间为一£,£ <z ，即c错误；33|_36_jrjr bjr对于D,令2x+ = k乃，keZ,则1=一一 +，keZ,当k = 0时，对称中心为 612 2Z,即D正确；I 1，故选：D.【点睛】 方法点睛：由函数/(x) = 4sin(3x+G) + /?的图象求解析式的方法:./(X)-/(X).(1)A _ J J max J ' / mm一 2(2)(3)27 co= T(4)由图象上的已知点求O3. B【分析】由图象可得工=4时，函数> = Asin3x+e)的函数值为0,可以解出。的表达式，再利用平移的

11、知识可以得出/的最小值.【详解】解：由图象可得x=£时，函数y = Asin(&x+w)的函数值为0,即?+ e=br(k£Z),66:.(p =一竺-+k九 eZ), 6> =川皿5-丝+版)，将此函数向左平移f(/>0)个单位得， 6/(a) = Asui Wx + f)一号 + & ,又因为/(M为奇函数， _O_/. cot 一 竺 + 女)=k7r(k e Z), 6,t = + -7t(k eZ,k eZ), 6 co因为f >0 t mm 才 O故选：B.【点睛】已知人x)=Asi3x+/(A>0, ”>0)的部分

12、图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数C。和夕，常用如下两种方法：由3 =即可求出。；确定3时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标Xo,则令GXo+夕=0(或公ro+3=7T),即可求出9.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形 解出”和如若对A, g的符号或对夕的范闱有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.4. A【分析】由/(X)的图象，可求出A和丁，结合丁 =/；，可求出，再由/(三)=-1,可求出尹， 即可得到/(x)的解析式，根据三角函数图象平移变换规律，可选出答案.【详解】由函数f(x)的图

13、象，可得;7 ="一奇=；,则r ="=花，即© = 2,又A = l，且/(')=一 1,所以sm(2x+ 8) = -l,即 2%工 + ° = 2k兀一（攵七Z），解得（P = 2kli（k eZ）, 因为I0T，所以0 = g，故/（x） = sin（2x+g）, 将f（x） = sui（2x + 2）的图象向右平移四个单位长度，可得到 36y = sin（2x- x2 + ） = sin2x 的图象. 63故选：A.【点睛】方法点睛：根据图象求y = Asin（0x+。+ 6 （A > 0, g > 0）的解析式的步骤：M

14、M + tn（1）确定函数的最大值M和最小值7 ,则4 =一，/? = ； 22（2）确定函数的周期7，则刃=系；（3）求知常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A, co, 己求出）或代入图象与直线），=的交 点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）：五点法：确定3值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破II.具体如下：“第一 点”（即图象上升时与轴的交点）为刃大+。=0; “第二点”（即图象的“峰点”）为 5+0=1： “第三点”（即图象下降时与戈轴的交点）为以+。=兀；“第四点”（即图象 的“谷点”）为。二+。=三；“第五点”为5+0=2兀.5. A【分析】

15、首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中上-X的最小值.【详解】 由图象可知函数的最大值为2,所以A = 2,T 24 7i 7t 一27r c. t 7t 7t . j -= ,所,以 =2万二。=1, 当工=一时，一+0 = 2女乃，女eZ, 436 2 co667t7丁. /(x) = 2cos(7tX6 J即 (x) = 27tCOS X6 J+1» 当力(x) = 0时，cosf X解得：x =35兀+ 2k九,k gZ 或"一,=9 + 2%匹、gZ ,+ 2kmk6Z,或x =上+ 2上况k £ Z ,2相邻的零点苍,毛中，人-&

16、amp;I的最小值是葺咛故选：A【点睛】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.方法点睛：求> =Asin®x+8）+ Z;（A>0>0）的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为M，最小值为？，则A + b = M27.,刃由周期确定，由=7求出，通过观察图-A + b = tnco象，分析确定了的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中夕的具体范围确定相应9值.6. C【分析】根据函数的图象可以得到函数图象所经过的特殊点，进而可以确定函数的解析式，最后利用正弦型函数的图象变换方法进行求解即可.【详解】由函数

17、的图象可知：函数的图象过（?,0）,（营,-1）这两点,设函数的最小正周期为7,12 424,而丁 =同=|例=3,/(),.0 = 3 ,所以/（X）= sin（3x+。），因为函数图象过吁,0）点，所以3。+0=&乃（kZ）二>0=攵乃一J（keZ）,因为M<:，所以攵=1,即。=工， 4424因此/（工）=sin 3x+ 4,而/3=. c 7t . c71sm 3x+ =sm 3 x+ 71,因此为了得到g(x) = sm3x的图象，只需将/(x)的图像向右平移尚个单位长度即可;JL乙故选：C7. C【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可

18、依次判断各个选项得到结 果.【详解】/(0)= 51119=；且M7t2兀8万C0+(p =-2 ,由五点作图法可得：三G+£ 二，解得：。=一, 3622/(x) = 2sin -x + 126对于 A，当 x = - 2 时，x + = 0,326一，0是X)的对称中心，A错误;对于8,当x=2丘+今时，gx +看=*乃+：, .工=2*乃+4是/(尤)的对称轴，B错误；320亭+台景+ 2be k7r+ ,k7r+-,22对于C,由/(x)Nl得：sin佶+ 1之，V 26 ) 24乃解得：4k/r<x<+ 4攵乃，C正确: 32 /Z*8对于。，当XC 2k冗+七

19、，2k九中七 时,当k = l时，X+ E -，不是/(x)的单调递减区间，。错误. 26 _ 2 2故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查正弦型函数> =Asin(公Y+夕)的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：(1)代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入如+夕，确定Gx+夕的值或 范围，根据。X+。是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将公丫+夕整体对应正弦函数的单调区间、对 称轴或对称中心，从而求得y = 4sin（5+0）的单调区间、对称轴或对称中心.8. B【分析】Z、由函数图象得函数/（x） = 2sin

20、 2x+g ,再根据函数的性质得方程3 ）“X）=（£（2,T）在区间0,y 上所有的解共有2个且这2个解的和等于=-,进而得答案.126【详解】解：由图可知，A=2,再把点（0,6）代入可得2sin 8 =,所以sin° =巫，又罔，所以e=g,7F 7T由五点作图法原理可得。一+ =兀，所以。二2, 3 3故函数/(x) = 2sui(2x + g一当O,1时， O人一 兀 27r7兀令 2x +，=，得 x = ，JJJL 乙由图像可知方程/（x） = f（/ £（2,-1）在区间0,菖 上所有的解共有2个,且这2个解的和等于2x2L = ZIE,即e =

21、F 1266所以 tan 0 = tan =, 63故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.9. C【分析】根据/（X）的图象，可求出/（X）的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到g（x）的 解析式，然后求出单调增区间即可.【详解】由/（X）的图象，可得A = l，-T = -即7 =兀，则丁 =史=兀，所以幻二2,412 6/ / 由/ =1,可得sin 2xg+° =1,所以2x' + e= 2兀+ ? eZ）,则6 J 6 ）622E + , (k eZ),.(c 兀) sin 2x+ 6j又 mi<£

22、;,所以 8=3, 故/(%)= 26将/（X）的图象向右平移四个单位长得到函数丁 = sin 2x-2x + =S111 2x- 66 6 y6故函数g(x) = sin 2x-y6令 2A兀一四 <2x-< 2kji + (A eZ),解得兀一色 Vx V A兀 + 乙(A g Z), 26263所以g(x)的单调增区间为E + g (k £ Z).63故选：C.【点睛】本题考查三角函数的图象性质，考杳三角函数图象的平移变换，考查三角函数的单调性，考 查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.10. D【分析】23兀 7兀根据图象，可求出周期，结合公式丁 =，可求出

23、，进而由 T+T时，函数取得 天=-最大值，建立关系式，可求出【详解】由图可知，丁 =三兀一 一g =4兀，所以二,二二二一，2 2)T 4兀 23兀 7兀 + . 当 223兀时，函数取得最大值，X =22所以sin x-4- = 1,则x + 0=2攵兀4(k eZ),解得° = 2兀, 2 2)2 2211/3 兀。兀,，8=一7.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象性质，考查学生的推理能力与计算 求解能力，属于基础题.11. (1) /(x) = cos(2x->t) ； (2)【分析】(1)设g(x) = cos(?x+%),由图像可得

24、周期，利用丁 = " = 2乃，可得用=1,由图像 例过点K/，可得G= g，由题意得/(x) = cos(2x ；4)；(2)先化简利用二倍角公式整理得(X),令/ = 8$(人一§),则y = 2产一 2，-1 = 2«-大尸一三，即可得出 622【详解】(1)设 g(x) = cos(GX+%),/ 5万 乃、由g(x)的图像可得:函数g(x)的周期为丁 = 4 - =2万, I 65 ).T =旦=2万，解得：例=1；g(x) =cos(x+6)过点7，13所以COS g十6I 3=1,所以 01 =-g + 2&4,&£Z ,因

25、为函数g(x)的周期为7 = 24,所以0 =一?所以 g(x) = cos X-由题意知：g(x)的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的g倍的变换得了(X)的图像, 所以函数/W的解析式为f(x) = cos(2x ；乃).7t 5一,乃6 12, 乃、 71令 f = COS(X一 一),X- -6613则y=2户一21一1 = 2« - 5尸_5，故(X)w =(1) = 一，=(?) = T，3-则/?“)£ 5，一1 .乙【点睛】12. (1) /(%) = 2sin思路点睛：观察图像可得周期和相位，利用图像伸缩变换可得解析式：利用换无法转换为二 次函数求值域.

26、(2)单调递增区间为+ k乃，万+ k乃(ksZ). JL乙JL乙【分析】(1)利用函数)，= /(»的最大值可求得A ,由图象计算出函数y = /(x)的最小正周期,可求得0的值，再代入点2 ,结合1 6 )可求得/的值，由此可解得函数22利用三角恒等变换思想化简函数)，=g(X)的解析式为g (文)=Sill 2X+ -I 3+冬然后解不等式一q+2bF<2x+gw'+2bF(k£Z),即可得出函数y = g(x)的单调递增区间.【详解】(1)由函数y = /(x)的图象可知，A = f(x)=29函数y = /(x)的最小正周期为丁 = 4x2n 7t

27、- nl=24，则。=7171r (兀、c /41 c,.(兀又/ =2sm ：=2 ,可得sin - +(p o 716717171J <(p<,<(p+ <22361,九 乃 f,口乃, - (p+ = ,解得夕6236 J因此，/(x) = 2sm(2)g(x) = /(x)cosx = 2sin(x+gcos x = 2fl . 衣-S111X + 22vcosxcosx= sin 2x+- +3=sm x cos x+5/3 cos2 x = sin 2x+ - cos 2x+ 222令一9 + 2k兀+ 兀(k g Z),得一| + 攵不<；1<

28、 + k;r(k g Z).因此，函数y = g(x)的单调递增区间为Fi + k兀，个，+ k冗(&eZ).【点睛】 已知图象求三角函数解析式y = Asin(5+8)+b (或y = Acos()x+8)+b )的步骤如(1)先求振幅 A 与平衡位置 6 ： A= J ('L C'L ,/ ('Lx + J ('Ln :222 Ji(2)求频率 G ： CD=-；T(3)求初相。：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范闱确定初 相的值.13. (1) /(x) = 2>/3sinfTX + T ；(2)函数(x)在区间)和区间

29、(5,2开上各有一个零点.【分析】/冗、(1)先对函数的解析式进行恒等变形得1)=2>/111 5 +行，再根据6c为正三V3)角形，得到函数的周期，即可得答案：(2)由丽_L 而得。户 0。= 0 ,即、d+2jT2jTsine = 0,即形+24sind = 0(;r<d< 2%)，问题转化为研讨函数 (x)=办+ 24 sin x (乃< x < 27)零 点个数.【详解】(1)由已知得：f (x) = 2近sin cos + 3 cos x =遥sin a)x+3 cos cox = 2-73 siiil cox + A为图象的最高点，.A的纵坐标为2j?

30、，又ABC为正三角形，所以怛q = 4.=4可得T = 8,即= 8得6y =2, 2co4/(x) = 2>/3 siii乃 7t X+ (2)由而_L 而得。户。0 = 0 ,即、d+2jL2j!sine = 0, 即加+24sin8 = 0(4<8<24)问题转化为研讨函数 （X）=立4+24 sin M乃 x 27）零点个数." （x）=万+ 24cos。,且/?' （x）在（立,24）中是单调递增函数又“（21）0,故存在q £ （可2。）使得'（4）=0,从而函数（x）在区间（匹q）单调递减，在区间（知27）单调递增，又（乃遮）

31、，（2乃）0, /? g乃）0，由零点存在定理得：函数/? （x）在区间（乃,今）和区间（£, 2）上各有一个零点.【点睛】将是否存在点的问题转化为方程的根，再进一步转化为研究函数的零点，最后利用零点存在 性定理进行证明是求解本题的主要思路.r/ 1.（O 万 111 冗 ,14. （1） /（X）= -S111 2x- ； （2） 一7+ 大乃,*乃+: （AwZ）.216 J44【分析】（1）根据图像求参数，即得/（X）的解析式；（2）先根据左右平移变换得到），=g X的解析式，再求其单调递增区间即可.【详解】解：（1）根据函数的图象得：A = -,2 =» 整理得 了

32、=4，故 g2, /（x） = -sui（Zr+）,4 3 12 12'） 2''将（g,；）代入函数相位得IJ z ）2乃+。= 1 + 2左乃( eZ),所以夕=一g 6+2k/r (keZ 故/(x) = sin ；2612sin 2x三，把图象向左平移与个单位长度，得到<6）y = g（X）= ； sin 2x，令得+ 2k 7T <2x<(keZ),得一三 十 k;r Wx Wk7r十三(k eZ ),7Trr所以函数的单调递增区间为-“值人了 KZ）.【点睛】 本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了三角函数的平移变换和单调性，属于基础 题.15. (1) /(x) = 2sin 2x+ 6):（2）详见解析；（3）当x = g时，函数穴x的取得最大值