常微分方程试卷及答案

1、2010-2011学年第二学期常微分方程考试 AB卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题(每题4分，共20分)1 .形如y' P(x)y Q(x) ( P(x),Q(x)连续)的方程是一阶线性微分方程，它的通解为 y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx c .2 .形如yy 0的方程是3阶 齐次(齐次”还是“非齐次”)常 系数的微分方程，它的特征方程为3 1 0.nn 13 .形如xnd* a1xn1Y LL an小1曳any 0的方程为欧拉方程，可通过变换x 3把 dxdxdx它转化成常系数方程.014 . y dx (x 1)dy 0,满足初始条件：x=0,y=1的特

2、解y 1 ln 1 x5. 5.微分方程 dxf (x, y),满足 y(%) y0,R:x x0a, yy0b的解存在且唯一的条件日ZEf(x,y)在R上连续且满足利普希茨条件卜列微分方程的解(每题 5分，共30分)1.dy 二 1dx (x y)2解：令 x+y=u ,贝 U dy =电-1dx dx.3du ”,-1= - u-arctgu=x+c dx uy-arctg(x+y)=c. .532. x 4ydx 2xdy y 3ydx 5xdy 0解：两边同乘以x2y得:32 . 一 4.4x y dx 2x ydy- 25 ._ 3. 一3x y dx 5x ydy 0 .34235

3、故方程的通解为：x y x yc.53. x ydy dx解：令也p ,则y x p2, dx两边对x求导，得 p 1 2P电 dxdp P 1 3dx 2p解之得 x 2p In p 1 2 c ,所以 y 2p p2 In p 1 2 c, .4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 .54. x 4x 0解：特征方程5 4 3 0有三重根0 ,4 2 ,52 .3故通解为 xce2tc2e 2t c3t2 c4t c5 .55. x 4x 5x 2t 3解：特征方程3 4 2 50有根1 0, 21, 3 5齐线性方程的通解为x=Get ae" qt .3c14又因为。是特征根，

4、故可以取特解行如 %。At Bt?代入原方程解得A=,25B= - .45故通解为 x= qe f c2e5t c3t -t2 .55p6. xy yin y 0,初值条件:y(1)=e解:原方程可化为业亚31dx x分离变量可得-d dx .3两边积分可得y ln y xIn y cx .4将初值代入上式求得方程的解ln y 2x .5二、求下列方程（组）的通解（每题 10分，共30分）1,求一曲线，使其任一点的切线在 OY轴上的截距等于该切线的斜率.解：设p（x,y）为所求曲线上的任一点，则在 p点的切线l在Y轴上的截距为：y x墨-即曳ly 1 dx x.6也即 ydx xdy dx两边

5、同除以x2 ,得ydx2 xdy dx .5xx即 d(Y)d ln x .7x即 y cx xln x .10为方程的解。c x' x 2yx(0) 32.y潴足初值条件()y' 4x 3yy(0) 3解：方程组的特征值1 5, 21, .2对应特征值15的特征向量uu11应满足u21对任意常数0,u，取1,得u22对应特征值21的特征向量VV11应满足V2对任意常数0, v，取1,得 V-1.4所以基解矩阵为：5te2e5t1 e31 , e33.求方程dy dx5t5t2 e32 e31 e31 , e35t5t2xtee1e31 te33 _ 2e3 4e5t5t3y2

6、通过点(1,0)的第二次近似解.8.10解:令0(x) 0 ,于是.X22一1(x) y 1 2 x 1 3 0 (x)dx x x, .5x2142334352(x)y02x 1 3 1 (x)dx x x x x-x, .1011525五、应用题(10分)33.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至V1 3米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比 例。-dv斛：F ma m /，又F k1v，由此即 dv kv .5dt其中k k1 ,解之得m又t 0时，v 5; t 2时，v 3。13故得 k 一ln - , c

7、 ln5205.73 从而万程可化为v 5(3)2053四 当 t 2 60 120时，有 v(20) 5 (-) 20 0.23328 米/秒.85即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 .10六、证明题(10分)1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理：即:设不E分别是方程组的解，则xi (t) x2(t)是方程组的解.证明：xA(t)xfi(t) (1)x A(t)xf2(t) (2)分别将Xi(t),X2(t)代入(1)和(2)则 xA(t)xfi(t)x2 A(t)x f2(t) .5则 x1x2A(t)x(t)x2(t) fi(t)f2(t)令 xx1(t)x2(t)t-t t

8、-t、一1,、，、，、即证 x A(t)x fi(t)f2(t) .102010-2011学年第二学期常微分方程考试B卷答案理学院年级信息与计算科学专业、填空题(每题4分，共20分)1.M(x,y)dx N(x,y)dy 0是恰当方程的充要条件是一 M (x, y)dx dy c. y其通解可用曲线积分表示为M (x, y)dx N3 .形如y 4y x2的方程是2阶非齐次(齐次”还是“非齐次")_常系数的彳分方程，它的特征方程的特征根为2,2.4 .若(t),是同一线性方程dX A(t)X的基解方阵，则它们问有关系 dt(t) C (t), C为可逆矩阵.5. 5.微分方程dy f

9、 (x, y),满足y(&) y°,R:x x° a, y y b的解存在且唯一的条件是 dxf(x,y)在R上连续且满足利普希茨条件、下列微分方程的解(每题 5分，共30分)dy y y2dx x x3解：令y u.1x则：业u x辿dx dxdu 1 2 x udx x得到督学 u x即1 y故c u x.4工2x另外y 0也是方程的解。.524ysin xdx ,dx斛：y=e ( sinx e dx c) .3cosx )+cv 1 一.=e - e ( sinx 2.5 1=ce - - ( sin x cosx)是原方程的斛。 23. y 3y5.xdy

10、 ydx 0解:原方程可化为dxy 021设 y t, y 3t - .3tdx-y - dt 6 t 3dty t.46t2t26t解为12t2 C .5.56. x 6x 8x e解：特征方程2 68 0有根1 -2, 2 -4 .1故齐线性方程的通解为x=cie 2t C2e 4t .3-2是特征方程的根，故 % Ate 2t代入原方程解得A= - .44故通解为 x= c1e t c2e 5t -e2t .54三、求下列方程（组）的通解（每题 10分，共30分）2 x1. y 2ay a y e解：特征方程2 2aa2 0有2重根 -a .2当a=-1时，齐线性方程的通解为S=c1et

11、 c2tet,1是特征方程的2重根，故攵At空代入原方程解得 A=2通解为 S=c1et c2tet ；t2, .6当a -1时，齐线性方程的通解为S=geat c2te at,1不是特征方程的根，故 Ad代入原方程解得A二（a 1）故通解为 S= ce at c2te at +2et .10(a 1)2dxdtdydt2x y求其基解矩阵x 2y.3对应于1的特征向量为0)解:det ( E-A) =0 得 1=J3,2 = - 33.5对应于 2的特征向量为 v= 2 J5 ，（0）, , u= f- 5 v = 是对应于1 ,2的两个线性无关的特征向量2323（t尸3t3t,_ p6&q

12、uot;是一个基解矩阵（2、3）6 （2 ,3）e tx y2通过点（1,0）的第二次近似解.103.求方程叱 dx解:令o(x) 0 ,于是/、X2/5,i(x)yo1 Xo(x)dxX22(x)yo1 xi (x)dx五、应用题(10分)1 21x 一 , .522111121315x x x x30 42620.101.求一曲线，过点（1,1），其任一点的切线在OY轴上的截距等于a2.解：设p（x,y）为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为:y x工.3由题意得y x a2dx两边同除以x2,得一dyydx .5y ax即 d In y a2 d In x .7即 y cx a2 .8将x 1,y 1代入上式得c a2 1。.10六、证明题（10分） 一一一 , . .1、试证：如果 （t）是x =Ax满足初始条件（t0）= 的解，那么(t) = expA(t-t 0)1t 一1一证明：由于 :(t 0)+(t) (s)f(s)ds .5t0又因为(t