教师资格考试(初中数学)真题试卷及解析2017年上半年

1、2017年上半年教师资格考试初中数学一、单项选择题1若lim an = a >0 ,则下列表述正确的是（） nA. Vr w（0, a ）,三 N > 0,当 n >N 时，有 an >r B.三r 0 （0, a ）, VN > 0 ,当 n > N 时，有 a > r C.Vr w（0, a）, VN > 0,当 n >N 时，有 a0>r D.VN > 0, 5r w（0,a ）,当 n >N 时，有 a»r2.下列矩阵所对应的的线性变换为关于y=-x的对称变换的是（）0 101.1 0 . -1 0C.

2、10-1 b0 -1'3.空间直线111-1 0 八 0）x - 2 y 2z = 0, x 2 y -z = 11,里辛/日八3x+2y = 6与l 2x+z = 14的位置关系th ()I JIA l1与l2垂直Bl1与l2相交，但不一定垂直CI1与|2为异面直线D l1与l2平行b4 .设f（x汪la,b上连续，且L“xdx=0,则下列表述正确的是（）A.对任意x w Q,b】，都有f （x ） = 0B.至少存在一个x a a,b,使f(x )= 0C.对任意x wa,b，都有f (x卢0D.不一定存在 x a !a,bl,使 f (x ) = 05 .设A和B为任意两个事件，

3、且A UB , P （B ）> 0,则下列选项中正确的是（）A. P B 二 P A | B B. PAMPA | BC. PB PA | BD. P A _P A | B6 .设A =7 2 J,下列向量中为矩阵A的特征向量的是（）0 3A. （0,1 TB. （1,2；C.（-1,1TD. （107 .与意大利传教士利玛窦共同翻译了几何原本（I -VI卷）的我国数学家是（） A.徐光启B.刘微C.祖冲之D.杨辉8 .在角、等边三角形、矩形和双曲线四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图 形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、简答题9 .已知抛物面方程2x2+y2=z。（1）求抛物

4、面上点M（1, 1, 3）处的切平面方程；（4分）（2）当k为何值时，（1）中所求切平面与平面3x+ky-4z=0互相垂直。（3分）10 .已知向量组 由=（2,1,-2；口.（1,1,0 T « =也2,2 T线性相关。（1）求t的值；（4分）（2）求出向量组的一个极大线性无关组。（3分）11 .有甲、乙两种品牌的某种饮料，具颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放 在外观相同的6个杯子中，每种品牌各 3杯，作为试验样品。（1）从6杯样品饮料中随机选取 3杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。独立进行 5次试验，求3次成功的概率；（5分）（2）某人声称他通过品尝饮料能够区

5、分这两种品牌。现请他品尝试验样品中的6杯饮料进行品牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功。他经过5次试验，有3次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力 以明理由。（2 分）12 .义务教育数学课程标准（2011年版）用行为动词“了解” “理解” “掌握”“应用”等描述性结果目标，请解释“了解等腰三角形的概念”的具体含义13 .书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“有理数” 一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题。三、解答题x14 .已知f(x)是a,b上的连续函数，设F(x)=L f (t川，x wa,b,证明：(1) F(x)在a,b上连续；(5分)(2)

6、 F(x)在a,b上可导，且 F'(x 户f(x)。(5分)四、论述题15 .推理一般包括合情推理与演绎推理。(1)请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；(6分)(2)举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用(6分)，并阐述二者之间的关系。(3分)五、案例分析题16 .案例:为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，一节习题课上，甲、乙两位教师各设计了一道典型例题。【教师甲】 如图1,在边长为a的正方形ABCD中，E为AD边上一点(不同于A, D),连结CE。在该正方形边上选取点F连2g DF,使DF=CE。请解答下面的问题：(1)满足条件的线段DF有

7、几条？(2)根据(1)的结论，分别判断 DF与CE的位置关系，并加以证明。【教师乙】如图2,在边长为a的正方形ABCD中，E,F分别为AD,AB边上的 点(点E,F均不与正方形顶点重合)，且AE=BF, CE,DF相交于点M ,证明：(1) DF=CE; DFXCEoDE A图2问题：（1）分析两位教师例题设计的各自特点；（10分）（2）直接写出教师甲的例题中两个问题的结论（不必证明）；（4分）（3）结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题（请写出至少两个问题）？ （ 6分）六、教学设计题17.针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下 ：进一步了解一元二次方程的概念；

8、进一步理解一元二次方程的多种解法（配方法、公式法、因式分解法等）；会运用判别式判断一元二次方程根的情况；通过对相关问题的讨论，在理解相关知识的同时，体会数学思想方法，积累数 学活动经验。根据上述教学目标，完成下列任务：（1）为了落实上述教学目标，请设计一个教学片段，并说明设计意图；（18分）（2）配方法是解一元二次方程的通性通法，请设计问题用，以帮助学生进一步理解配方法在解一元二次方程中的作用。（12分）一、单项选择题1 .A【解析】由数列极限的定义，若存在lim a ；a > 0,则对Vr = (0, a ),取n ；8=a -r > 0 ,当 n AN ,有 an -a 3w=

9、a -r ,即-(a-r)<an-a<a-r,即 r<an<2a-r,所以an >r ,因此选Ao.、. x'2 .C【解析】设任意点F (x,y),根据反射变换y=-x的坐标变换公式有=_x,ana121yF (x,y)的对称点为F (-y,-x)。因此，设该题所求矩阵为a21 a221121a12 a22即亡y：a11x< :器,，解得a1广0,a122122-1, a -1,a = 0 ,2122100-1即所求矩阵为IIo-103.D【解析】先求1i和l2的方向向量，1i的方向向量m =-22= (4,6,8 ), 12的方向向量n二k-11

10、= (2, -3, -4 ),两条直线的方向向量成比例；任取11上点(2, 0, -1 )代入12的表达式，等号不成立，因此排除11, 12重合的情况。综上可知, 两直线平行。3 .B【解析】若在a,b上f (x )包等于0,则至少存在一个x w【a,b使彳# f (x尸0成立；若在la,b】上f (x许恒等于0,由j f(x)dx=0可知f(x/可能恒大于等于 a0或恒小于等于0,则至少存在两个点x1,x2分别使得f(x1A0,f仪2)<0,因为f(x加b,b】上连续，由零点定理知三xW(x1,x2户b,b】使得f (x)=0。由此可排 除选项C, Do举反例f (x)=x,a1=-1

11、,b =1, Jxdx =0可排除选项A,因此选Bo5.B【解析】因为A B ,P (B )<1,故 P (A)=P(AB 产P (B 尸(A |B 产 P (A |B )。6.D【解析】令九1,九=3 o将乳1代入-2九一310=0 ,得关于九的方程(九-1)5 3)= 0 ,解得二 xx120=0，得 0 -2-2x1II | 芝 0 , W# x =0,取x1=1为自由变量则对应的特征向量为(1,0/；同理将九二31代入=2X- 九一 1 II | = 0中，得到XI =X2,题干选项没有对应的特征向重。故选 Do0,- 3 x27.A【解析】几何原本是意大利传教士利玛窦和徐光启根

12、据德国人克拉维乌斯校订 增补的拉丁文欧几里得原本合译的，定名为几何原本。B项，刘徽，中国 古典数学理论的奠基人之一，代表作品九章算术注和海岛算经。C项，祖冲之，南北朝数学家，首次将圆周率精确到小数点后第七位。D项，杨辉，南宋 数学家和数学教育家，著有数学著作详解九章算法日用算法乘除通变法田亩比类乘除捷法续古摘奇算法，后三本合称杨辉算法。8.B【解析】角与等边三角形是轴对称图形，矩形与双曲线既是轴对称图形又是 中心对称图形，所以选Bo二、简答题9.【解析】(1)令 F x, y, z)= 2x 2 y 2 - z ,贝 1 Fx X, y, z = 4x , Fy x, y, z = 2y ,

13、Fz x, y, z 二 一1 ,则抛物面在点（1,1,3）处切平面的法向量为（4,2,-1）,故所求切平面的方程为4(x-1)+2(y-1)-(z-3)=0 ,即 4x+2y-z-3=0。（2）由（1）知，所求切平面的法向量为（4,2,-1）,又平面3x+ky-4z=0的法向量为（3,k,-4）,两平面垂直,则有 4X3+2 X k+(-1)X (-4)=0,解得 k=-8。10.【解析】（1）根据题意，设存在一组常数k1,k2k3,使得 3+k2<2+k/= 0,1 t.1 2 = 2t - 2 = 0 ,即 t=100 2（2）对（q,%用作初等行变换，有2211'11 2

14、 |!1(a,ot,ct)=112T21 1 t012320 201013,、0则1c1,g,或中4，或马马为向量组的一个极大线性无关组。11 .【解析】（1）设“A=选取3杯饮料都是甲产品”。一次试验成功的概率为C3P A喑C61, , ，一 一 ,，独立进行5次试验，服从二项分布20X B 1 5, 20I /(1 3 11 2361PX= 3 =C -201 - 20= 320000(2)该品尝者具备分析能力。由(1)可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是小概率事件，基本可以 排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的能力。12 .【参考答案】课程标准中“了解”的含义：能从具体事例中知

15、道或举例说明 对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象“了解等腰三角形的概念”的具体含义：知道一个三角形如果有两条边相等， 那么这个三角形称为等腰三角形；相等的两边称为等腰三角形的腰，另一条边称 为底边，两腰的夹角称为顶角，两腰与底边的夹角称为底角。13 .【参考答案】(1)学生在学习有理数这一章时应该掌握正数、负数、有理数 以及有理数的加减法，所以在设计题型的时候，应涵盖以上知识点，达到全面性 要求，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。(2)提醒练习多样化，要有选择、填空、判断、解答。试题的难度要有梯度， 照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌

16、握的程度，知道今 后的教学工作方向。(3)在检测学生掌握本章知识的基础上，题目设置应有对难点、易错点的考查, 比如说“理解负数的意义” “有理数减法计算时符号的判断”等内容。14 .【解析】证明：(1)若f(x)在a,b上连续，则3M >0,对Vxwla,b,都有f (x |) <M 0 下 证F(x)连续：x由于 F (x )= ( f (t Jdt ,值 定 理xf f (t )dt 4M (x x。),x 0根 据 积 分 中xx0F (x) F (x° )= f (tdt a f (tdt则 0 <lim F (x )_ F (x0 甲im M (x _x0

17、 )=0 ,则 lim F (x 尸 F (x0 xTx0x0Jx0故F(x)在a,b上连续。(2)由可导定义知，对yx w(a,b),有 x »xxx - xF' x = lim F x x * x-二 lim a f t dt - f t dt= lim . f t dt .J0:x<x0, x.x0, x=lim K)= f (x ),其中七介于x和x他之间。(积分中值定理)F x -F a-x f t dtFJa 户 lim= lim i 2 Jd= lim f (x )=f (a ),xax - ax:a, x - a x)a.F (b尸 lim F(x)-F

18、(b)= lim L f(t M = lim f (x 尸f (b ), x b x -b x k x -bx-b-故F(x)可导且F 'x ) = f(x卜四、论述题15 .【参考答案】(1)合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联 想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。演绎推理：从一般性出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎 推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)合情推理：在初中学习角平分线的性质时，我们将一个角平分对折，通过 观察折线上的点到角两边的距离并进行测量，猜想角平分线上的点到角两边的距 离相等，得到一般规律。演绎推理：角平分线的

19、性质这一课，我们通过两个三角形全等，得到对应边相等，从 而证明角平分线上的点到角两边的距离相等，使得定理更加严谨。合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理； 而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定 正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得 到的结论一定正确。就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理。因此合情推理与演绎推理 是相辅相成的。五、案例分析题16 .【参考答案】（1）教师甲设计的典型例题具有开放性，诱发学生思考，符合 新

20、课标的要求“要关注学生个体的差异，有效的实施有差异的教学，使每个学生 都得到充分发展”，因此在习题课上设计开放性的例题，可以满足不同学生的学习 需求，具有探索性，根据新课标“学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数 学活动经验，学会探索，学会学习”的要求，在习题课上给学生充分从事数学活动 和探索问题的时间和空间，促进学生数学知识和方法的掌握，并得到巩固和提高。 教师乙设计的典型例题具有层次性，递进式的呈现，满足学生多样化的学习需求， 设计的例题由易到难，循序渐进，一步步引导学生将问题深化，发展思维能力。（2）满足条件的线段DF有2条。当F在BC边上时，DF与CE相交； 当点F在AB边上时，DFLCE。（3）问题1:【教师甲】在边长为a的正方形ABCD中，E为线段AD边上延长 线上一点，连结CE,在该正方形另外几条边的延长线上选取点 F,连结DF,使 DF=CE,请回答下面的问题。满足条件的线段DF有几条？根据的结论，分别判断 DF与CE的位置关系，并加以证明。问题2:【教师乙】如果E,F分别为AD,AB边延长线上的点，则 DF=CE与DF LCE是否成立。六、教学设计题17 .【参考答案】 问题1:方程（m + 2）Xm + 3mx + 1 =