数学物理方法综合试题及答案

1、复 变 函 数与 积 分 变 换 综 合试 题 （一） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。cosi ,则(2.A.复数A.Imz 0z 3(cos , 5i sin）的三角表木式为（54 . . 4 、-43(cos- ,isin ) B . 3(cos-,-i sin 一 5C.3(cos-5 argz.4,i sin 一5D.3.设C为正向圆周|z|二1则积分:.包等于c|z|4.A. 0设函数A.zzeB.2dzzeez 1 Czzeez 1zzeez 14.

2、 . 43(cos- ,-isin 一55解答:5.1是函数cot z(z 1)46.7.A.3阶极点B.卜列映射中，把角形域4zA. w z线性变换A.将上半平面B.将上半平面C.将单位圆D.将单位圆8.若 f z4阶极点B.C. 5阶极点D. 6阶极点argz 保角映射成单位圆内部|w|<14z4 -1w z4 1i r i z a.一e (Im z>0映射为上半平面 Img>0Im z>0映射为单位圆 M<1|z|<1 映射为上半平面 Imo>0|z|<1映射为单位圆 M<1u（x,y） iv（x,y）在Z平面上解析,v(x, y)的

3、为（A. ey( ycosy xsin y)4z4zD. w4z-4 zex(yCOSyxsin y)，则 u(x, y)=x ，B. e (x cos yxsin y)C. ex(ycosy ysin y)D. ex(xcosy y sin y)_ xx 一e (ycosy xsiny) e sinyex(cosyysin y xcosy)cosy ysin y xcosyiy cosyixsin y i sin ycosy i sin y xcosyiy iy , iye xe iyeixsin yiy cos y ysin yez(1z)zze zzw zezez1xe x cos y,

4、 x iyiy eysin y ixsiniycosy i sin yy cos y u ivxcosy ysiny9.1的罗朗展开式是（）A.1)nzn B. -1 (z 2)nC. (z 2)nn 0nn 1D. ( 1) (z 2) n 010.zcosz2dz=()A. sin92B. 1cos92C.cos9D.sin9二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。11 .方程Ln z i的解为。312 .哥极数3!zn的收敛半径为 n 1 n13 .设 z (1 i)100,则 Imz=。14.设C为正向圆周忆|=1 ,则?(

5、!z) dz =15.设C为正向圆周2,sin?3-d,其中z 2,则2，f'(1)=5在点z=0处的留数为一一 11(z 1)16.函数f z 1 z z 1三、计算题(本大题共8小题，共52分)17.计算积分I2c(z-i) (z 3i)2dz的值，其中C为正向圆周 忆-1|二3 。18.函数 f(z)n 1(z 1) (n为正整数)在何处求导？并求其导数19.求 u x2 ,2xy-y的共轲倜和函数 v(x,y)，并使v(0,0) =1.20.计算积分巳一zdz的值，其中C为正向圆周|z|=2. 'c |z|21.试求函数z 2f(z)= e- d在点z=0处的泰勒级数，

6、并指出其收敛区域01z 一22.求出f(z) e z在所有孤立奇点处的留数n 1 n23.求级数(1) nz的和函数.n 124.函数6sinz3 z3(z6 6)在z 0点为零，用级数展开法指出该零点的级四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。16分)每小题8分，共25.利用留数求积分I=4 cosx一dx的值0 x 10x926.设Z平面上的区域为 D：|z i| J2,|z-i| 夜，试求下列保角映射(1)3f(z)把D映射成 W平面上的角形域 D1：<argw1 -44(2)W1f2(W1)把D1映射成W2平面上的第一象限 D2:0< argW

7、2(3)f3(w2)把口映射成 W¥面的上半平面：Imw>0;(4) w f (z)把D映射成Go27.利用拉氏变换解常微分方程初值问题:y'' 2y' y 1y(0) 0,y'(0)综合试题(一)答案1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A14.z 2(11512 . e13. 03i,或 2 i cos16. 633317.解：因在C内f(z)(z-i)2(z 3i)2有二阶级点z=I ,所以Q f(z)dz 2ilim (z-i)2 f (z) ?c1! z i dz2 ilimz ie z 2e z

8、z(z 3i)2 (z 3i)318 .解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.一n 1f (z) n(z 1)19 .解 1:-u 2x 2y,-u 2x-2y,xy由C- R条件，有vL 三,一u ,y x x y再由v2,、v dy (2x 2y)dy 2xy y (x)。 x2y '(x)-2x 2y - -u ,xy得'(x)-2x ,于是 (x) -x2 C ,22v 2xy y - x C。由 v(0,0)1,得 C=1。22故 v 2xy y -x 1(x,y)斛 2： v(x y) (00) dx dy C(0,0) xy(x, y)(。(2y-2

9、x)dx (2x 2y)dy C22-x 2xy y C以下同解1。20.解 1 ：dz12Re zdz2 c2cos 2i (cosi sin )d4i 0(1cos2 )d解2:z?c西dz2ei21.解:因为f'(z)f (z)22.解:C123.|z|2-ze2e- 2iei d 2= 2i(22 n(-z )n!0)(-1)nz0 n!2n:(i z,(2 分)所以由哥级数在收敛圆内逐项求积性质,函数()df(z)1ez(12!Rese1 z 一Rese z解： Clim Cn 1n Cn 2n 1(-1) zn 0 n! 2n 1(iz(12!1z,01z有孤立奇点0与内有

10、如下 Laurent展开1 2-z 2!13- z3!)(13!2! z23! 4!)1 z0 k!(k 1)10 k!(k1).n 1 .lim 1n n故收敛半径R=1,由逐项积分性质,有:n n-1(1) nzdzn1)所以(1)nn 1n-1 nzz)2，(1 z)于是有:(1)n 1n 1 n nzz ( 1)n nzn 1(1z)224.解:f(z)6sin6(z31-z 3!36z (z1 15z5!6)八.36sin z6z36z3故z=0为f(z)的15级零点四、25.解：在上半平面内,ize22(z21)(z29)有一阶极点z=i和z=3i。2Redx9)cosx2 Z1)(x2 9)dxixe22(x 1)(x2Re2iRes f(z),i2 iResf(z),3iRes f(z), i116eiRes f(z),3i3 548e i48e3(3e2-1)。26.解：(1)(2)设w2-i-_ 4e 4Wi ,(3)则它把D映射成W平面上的D1：-则它把D映射成W平面上的第一象限 D2:0arg w2。argw1设w w2,则它把D2映射成W平面的上半平面G:Imw>0。2、解得交点z1 + 1,z 2=-1 o2t (W)t (W2)-i z -1 2 z - 1 2(4) w