离散傅里叶变换

1、离 散 傅 里 叶 变 换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处 理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅 里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里 叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用 于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时 在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅 里叶变换及其快速算法。§ 3-1 引言一. DFT是重要的变换1. 分析有限长序列的有用工具。2. 在信号处理的理论上有重要意义。3

2、. 在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。二. DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运乎 傅氏变换 V 离散量花茂 dft(fftT信号处理§ 3-2傅氏变换的儿种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换=r xg 叫 tJ00时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。反之亦然。二连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数|x（购 o）|*时域周期为Tp,频域谱线间隔为2n/TP时域信号频域信号连续的非周期的周期的离散的三.离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换时帕X(

3、Ra)=£蜥亍）yf7 J离散的周期的非周期的连续的N(A< -I )O0(N-l)由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的DFT的简单推演:在一.鏗期内誼进行如下变换小丁肿)唸沖CU)77=-oo再k 视作k綁|珑， 5 X 6(杠二s sn :从°§31周期序列的DFS始的:这样，对上式进行抽样，得:又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k-0, 1,., N-1求和与在k=N,., 2N-1求和所得的结果是一致的。的R次谐波系数的求法1. 预备知识所以2.同样，当亦即的表达

4、式时，门也为任意整数，则将式的两端乘n=0到NT求和，M：N-_ 互通常将定标因子1送散力幺丿而"髪示式中。n=0即:3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号正变换：代入，则:反变换：4.的周期性与用Z变换的求法周期性:用Z变换的求对作Z变换,Jim Z可见，是z变换在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为A=0。§ 3-4 DFS的性质一. 线性如果 £伙）二DFS国则有和伙）二DFS辰2何其中，a, b为任意常数。二. 序列的移位如果 则有:证明: 令 i-nin,则 n=i-nio n=0 时,i=m; n二NT 时,i二NT+m所以*

5、和都是以川为周期的周期函数。三调制特性如果则有证明：时域乘以虚指数（）的加次幕，频域搬移刃，调制特性。四.周期卷积和1. 如果则：2. 两个周期序列的周期卷积过程（1）画出呂伽）和壬2（加）的图形;（2）将禺（加）翻摺，得到可计算出:左 1 (m)(3)将右删位、得到AX2(l_m)可计算出：讥1)=若(加)七(1-加)m=0=lxl+lxO+lxO+lxO+Oxl+Oxl召O）壬2 （加）忌（1一加）°计算区11L（4）将再右移一位、得到可计算出：（5）以此类推，孑）3. 频域卷积定理如果，则§ 3-5DFT有限长序列的离散频域表示一预备知识1. 余数运算表达式如果，m为

6、整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m,余数为二. 有限长序列x(n)和周期序列的关系周期序列是有限长序列Jr(n)的周期延拓。x(n)x(n)=0, OnN-l其他n有限长序列*n)是周期序列的主值序列。三周期序列与有限长序列x(k)的关系同样，周期序列是有限长序列x(k)的周期延拓。而有限长序列尤如是周期序列的主值序列。四.从DFS到DFT从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n二0到n=N-l,及k二0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。N-1X 伙)=DFTx(n)=x(n)Wk77=0x(n) = IDFTX 伙)=丄艺N &#

7、163;=o或者：X(k) = X(k)R“伙)兀()=左()/?甘(防一.线性DFT的性质N_ X(k)wnk k=01 两序列都是N点时如果 DFTxx (n)= Xk) 则有： £>FTx2(h)= X?伙)2. 坷(比) 和x2(n) 的长度N1和N2不等时，选择为变换长度，短者进行补零达到N点。二.序列的圆周移位1定义心)一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将x('J)进行周期延拓 再进行移位 最后取主值序列:x(n + 2) = x(n + 2)“左移22. 圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此

8、区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区阅-端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于 兀伽上旋转，故称作圆周移 位。当围着圆周观察儿圈时，看到就是周期序列：。三、共辄对称性1. 周期序列共辄对称分量与共辄反对称分量周期为N的周期序列的共辘对称分量与共轨反对称分量分别定义为同样，有2. 有限长序列的圆周共轨对称分量与圆周共轨反对称分量有限长序列的圆周共轨对称分量与圆周共轨反对称分量分别定义为由于所以这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。3. 共轨对称特性之一证明：4. 共轨对称特性之二证明：可知：5. 共轨对称特性之三证明：6. 共轨对称特性之四证明：7. 共轨

9、对称特性之五、六(k)圆周共辘对称分量与圆周共轨反对称分量的对称性9.实、虚序列的对称特性当x(n)为实序列时，根据特性之三，则X(k)=Xe(k) Xe/) = XepN-k)NRN 伙) 又据的对称性：当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)又据尤如倒的对称性:四. 圆周卷积和1. 时域卷积定理设和均为长度为N的有限长序列，且DFTx2 （） 伙）五. 有限长序列的线性卷积与圆周卷积1. 线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是不为零的区间。2. 用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。兀15）的长度

10、哪1 ，勺） 的长度，先构造长度均为L长的序列，即将补零点;然后再对它们进行周期延拓，即所以得到周期卷积：§ 3-7 抽样Z变换一频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1. 两种抽样时域抽样:对一个频带有限的信号，根据抽样定理对其进行抽样，所得抽样信号的频谱是 原带限信号频谱的周期延拓，因此，完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样：对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x如就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。2. 由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列乳，(勿的z变换为由于X%丿绝对可和，故其傅氏变换存在且连续，也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样，对无(Z)在单

11、位圆上N等份抽样,就得到X伙)3. 频域抽样不失真的条件当xN丿不是有限长时，无法周期延拓；当x(n)为长度M,只有NM时，才能不失真的恢复信号，即§ 3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差1. 混叠现象J s 2 九为避免混叠，由抽样定理可知，须满足其中，为抽样频率；为信号的最高频率分量；或者其中,T为抽样间隔。2. 频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内，也就 是说，在时域对信号进行截断操作，或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号, 由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏。3. 栅栏效应用DFT计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察 景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期 ，可使F变小来提高辨力，以 减少栅栏效应。二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定1.连续时间非周期信号傅氏变换对2. 连续时间周期信号傅氏级数变换对变换时：4. 用DFT计算非周期信号的傅氏变换用DFT计算所得的频谱分量乘