巧用旋转法解几何题

1、百度文库-让每个人平等地提升自我例2,如图2,在ABC中,巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参例1/如图，在RtABC中，/ C=90 , D是AB的中点，E, F分另ij AC和BC上，

2、且 DH DF,求证：ef2=a+bf分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF, AE, BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以 D为旋转中心，将 BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长 FD到G 使DG=DF连接AG EG AD=DB / ADG之 BDF .2AD8/ BDF (SAS/ DAG=/ DBF BF=AGAG/ BC / C=90/ EAG=90EG=AE2+AG=AE+BP DEI DFEG=EFEF2=AE+BFACB=90 , AC=BC P是/ABC内一点,且 PA=3 PB=1, PC=2,

3、求/BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中,故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C为旋转中心。解：作 MCL CP,使 MC=CP 连接 PM BM8. /ACB=90 , / PCM=90 . . / 1 = Z 2MB=AP=3 AC=BCCA国力 CBM (SAS/ MPC=45 PC=MC / PCM=90由勾股定理PM=/PC而了 = 52PC2 =2四,在MPB中,PB2+PM= (2、Q) 2+12=9=bM.MP呢直角三角形例3,如图3,直角三角形，/BPC=Z CPM廿 M

4、PB=45 +90 =135ABC中，AB=AC / BAC=90 , / EAF=45 ,求证：EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE, CF转移至ij同一个直角三角形中，由于力BAC是等腰直角三角形，不妨以 A为旋转中心，将/ BAE和/ CAF合在起，取零为整。/ EAP=90 , / EAF=45/ PAF=45证明：过 A作APL AE交BC的垂线CP于P,连结PF/ BAC=90./ BAE=/ PAC AB=ACB=/ACBCP=45./AB NACP (ASA、PC=AE , AP=AE./AEFAPF (SASEF=

5、PF故在 Rt 力 PCF中,p/=cd+pC,即 ef2=cF+ae2A例4,如图4,正方形 ABCM, E, F分另IJ在 AD DC上，且/ EBF=45 , BML EF于M 求证：BA=BM分析：本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45角，可利用相同的方法，将/ABE和/ CBF “化散为整”来构造全等三角形。证明：延长FC到N,使 CN=AE连结 BNAED四边形ABC虚正方形AB=AC / BAC=90/ EBF=45/ ABE-+Z CBF=45由 NAB瞌/CBN口 BE=BN / CBNh ABE /CBN廿 CBF=45 ,即/ EBF=Z NBF又 BE=BN BF=

6、BF/EBHNBF (SASBM=BCBM=BA例 5、如图 6,五边形 ABCDE中,AB= AE, BC+ DE= CD / ABO / AED = 180 。求证：/ ADE= /ADC解析：条件中有共点且相等的边 AE和AB,可将 ADE以点A为中心， 顺时针方向旋转/ BAE的角度到 AFB的位置，如图7。这就使已知条件/ ABO / AED= 180和BC+ DE= CD通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由 AD段 AFE 得 / AED= /ABF, Z ADE= / AFR ED= BF, AF= AD由/ABO / AED= 180 ,得/ ABO / ABF= 180

7、 。所以 C B、F 三点共 线。又 CD= BC+ DE= BC+ BF= CF,故/ CFD= / CDE 由 AF= AD,得至U/ DFA= /FDA ./ ADE = / AFB =/ CFD+Z DFA = Z CDF + Z FDA = / ADC 。例6、如图，P是等边三角形 ABC内的一个点，PA=2 PB=2J3 , PC=4,求 ABC的边长。分析：PA PR PC比较分散，可利用旋转将PA PR PC放在一个三角形中，为此可将BPA绕B点逆时针方向旋转 60可得 BHC解：把 BP砥B点逆时针方向旋转 60得至以 BHC因为BP=BH / PBH=60所以 BPH等边三

8、角形所以/ BPH=60 ,所以 BP=PH 2 3又因为 HC=PA=2 PC=4所以|PC J而+ 小/所以 HC呢 RtA,所以/ CHP=90又因为HC=2 PC=4所以/ HPC=30又因为/ BPH=60 ,所以/ CPB=90/Ic在 RtBPC中，欢EC = BP，PC* = （士有 =12+16=28/BABC 277 ,那么 ABC的边长为2yH。例7、如图2, O是等边三角形 ABC内一点，已知：/ AOB=115 , / BOC=125 ,则以线段 OA OB/因为 BO=BM / MBO=60所以 BOM等边三角形，所以/ 1 = 7 2=60又因为/ AOB=115

9、 ,所以/又因为/ AMB= COB=125Si OC为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将 BOCg B点按逆时针方向旋转 60可得 BMA所以/ AMO=65又因为 AM=OC MO=BO所以 AMQE好是以AO所以/ MAO=180 - ( 55BCOC BO为边组成的三角形，/+65 ) =180 120 =60/以线段OA OB OC为边构成三角形的各角的度数分别为例8、如图4, P是止方形ABCg一点，将4重合，若PB=3求PP的长。 分析：将 ABP绕点B顺时针方向旋转能与方向旋转90、可得 CBP ,即 PBP 900。 I_ _解：因为BP BP , PBP 90。所以FA

10、BP绕点B顺时针方向旋转能与 CBP 1gCBPABP平BP2 PB2 J32 323aPA PR PC相对集中起来即把P、Q 若 APQW周长为2,求/ PCQ勺例9、如图5, P为正方形 ABCDJ一点，且 PA PB: PC=1: 2: 3,求/ APB的度数。分析：PA PB: PC=1: 2: 3,不妨设PA=1, PB=2, PC=3而这些条件较分散，可设法把点顺时针方向旋转 90得到 BAE解：因为 BP=BE / PBE=90所以PE222 22,所以PE 2收又在 APE中，AE CP 3, PA2 PE2 AE2即 12 (2J2)2 32所以/ APE=90即/APB=90 +45 =135所以/ APB=135 。例10、如图，正方形 ABCD勺边长为1, AB AD上各存一点 度数。解：把 CDQg点C旋转90到 CBF的位置，CQ=CF因为 AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2所以 QD+BP=QP又 DQ=BF 所以 PQ=PF所以 QCP FCP 所以/ QCPW FCP又因为/ QCF=90 ,所以/ PCQ=45 。