北京市各区2020年数学一模导数分类汇编

1、(朝阳)(20)(本小题15分)已知函数f xex Ux 1(I )求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程;(n)判断函数f(x)的零点的个数，并说明理由;(出)设/是f(x)的一个零点，证明曲线y ex在点(x0,ex0)处的切线也是曲线y lnx的切线.解：(I)因为f x所以 f (0) e0 - 2, f x0 132 , (x 1)f(0) e022(0 1)3.所以曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线的方程为 3x y 2 0.(n)函数f(x)有且仅有两个零点.理由如下:f(x)的定义域为x|x R,x 1.、x2c因为 f(x) e 2 0 ,(x

2、1)2所以f(x)在(，1)和(1,)上均单调递增.因为 f(0) 2 0, f( 2) e2 1 0, 3所以f(x)在(，1)上有唯一零点x1.25因为 f(2) e2 3 0, f(5) e4 9 0,4所以f(x)在(1,)上有唯一零点x2.综上，f (x)有且仅有两个零点.(出)曲线y ex在点(Xo,e)处的切线方程为y ex0 ex0(x x。)，即 y ex0 x x0ex0 ex0 .设曲线y Inx在点(x3,y3)处的切线斜率为ex0,i x0 11 1则 e ，x3 F，y3Xq ,即切点为(F，x0).x3ex0ex01所以曲线y lnx在点(二，x0)处的切线方程为

3、 e-1V.y xQ e (x 工)，即 y e x % 1 . ex 1因为XQ是f (x)的一个零点，所以ex0上一.Xo 1-x Xxx0 1所以 xoee” e (1 Xo) (1 Xo)1 Xo.Xo 1所以这两条切线重合.所以结论成 立.1 5分(西城二模)20.(本小题满分15分)设函数f (x) aex cosx ,其中a R .(I)已知函数f(x)为偶函数，求a的值；(n)若 a 1 ,证明：当 x 0 时，f (x) 2 ；(出)若f (x)在区间0,兀内有两个不同的零点，求 a的取值范围.解：(I)函数 f(x)为偶函数，所以 f ( f (n)，即 ae k 1 ae

4、 1 , 2 分 解得a 0.验证知a 0符合题意.(n ) f (x) ex sin x .由 x 0 ,得 ex1, sinx 1,1,则f (x) ex sinx 0,即f (x)在(0,)上为增函数故 f (x)f (0) 2 ,即 f (x) 2 .(出)由 f(x) aex cosx 0,得 acosx设函数h(x)cosxx , ex 0,九10分则 h (x)sin x cosx11分3令 h(x) 0 ,得 x .4随着x变化，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示:所以二 h13分又因为h(0)1, h(ae2 号cosx所以当a e ,e 7r3 7r区间0, 2)与(*

5、,7上各有一个解. 4)时，方程a在区间0,句内有两个不同解，且在2e2巴即所求实数a的取值范围为e ； 2e 4). 1 5分(房山)(20)(本小题15分)已知函数f(x) 2x3 ax2 2.(I)求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(n)讨论函数f(x)的单调性；(出)若a 0,设函数g(x) |f(x)|, g(x)在1,1上的最大值不小于3,求a的取值范围.2解：(I ) f (x) 6x 2ax由 f (0) 0 , f(0) 2,得曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y 2(n)定义域为 R, f (x) 6x2 2ax 2x 3x a令 f

6、 (x) 0,解得 x10,x2 a3若a 0, f (x) 6x2 0, f(x)在R上单调递增；a若 a 0,在 ，0 上，f (x) 0, f(x)单调递增，在(0,9)上 f (x) 0, f(x) 3 a单调递减，在 一， 上，f (x) 0, f(x)单调递增；3a a若 a 0,，一上，f(x) 0, f(x)单调递增，在(一,0)上，f (x) 0, f(x)33单调递减，在 0, 上，f (x) 0, f (x)单调递增；(田)若a 0,函数f(x)的单调减区间为 0,-，单调递增区间为(,0), a, 33.a当一 1时，即a 3,由(n)知， “*)在1,0上单调递增，在

7、0,1上单调 3递减,则 g ( x) maxmax| f( 1)|,| f(0)|,| f(1)| maxa,2,|4 a| 3aaa 当一1时，即0 a 3, f(x)在1,0和,1上单调递增，在0,上单调速 333减，3f (x)在 x a处取得极小值f(a) 2 a 03327则 g(x)max max| f( 1)|,| f(0)|,| f(1)| maxa,2,4 a,若 g(x)max 3 ,则 4 a 3,即 0 a 1综上，实数a的取值范围为 0,1 U 3,(延庆)(19)(本小题14分) re+ I *己知函数：其中口 0.JT+1(I)当白=1时,求曲线工)在原点处的切

8、线方程：(II)若函数/(工)在0,+8)上存在最大值和最小值，求1的取值范围.19.(本小题满分14分)20H ,/(.r) = Onxi = 0若/(x)存在最小值，则xe(0,+ oc)时，/(x)N/(0) = /_i恒成立,qn 2ax + a2 -12 i即：a -1丁 +1/.2ax(a2 - 1) x2 o一在t w(0.+oo)恒成立,a1la0.a 0,/. a2 -1 0, /. 0 a 2, 2ar + 2-1 ax +ooiizt,y(x)o ；BPxw0时,/(x)a2-La2： aX w L + 8)时，/(x) g (0, a2 a若/(x)存在最小值.则/(0

9、) = a?-140.10分0a+8时J（X）-0,论述不严谨，扣1分.（2）当0;4=10. a14分/（X）在（Oi）上单调递减，在（-d+8）上单调递增,则/（力、/）题的变化情况如下表：法 L最小值为/（一。）= 一1.存在最大值，则X （） 4- 00 ）时，/（X） / - 1恒成立,即：x2 + l2ax (72 I)x o - re (0,-Ho)恒成立.la x2a综上二口的取值想图是法右二上剂最小值牙(口)二 一| ：当工时，2ax lor + a2 - 1 a; 1 e-Uu: -IJ ： jtwn,+8)时.若丁存在最大值,则f=】7D，匚】，综上m日的取值范围是(-k

10、,-1U(0.ty/十】(丰台)19.(本小题共15分)已知函数 f (x) (x a)ln x x 1.(I)若曲线y f (x)在点(e, f (e)处的切线斜率为1,(n)当 a 0 时，求证：f(x) 0 ；(m)若函数f (x)在区间(1,)上存在极值点，求实数(海淀)19.(本小题共15分)已知函数? = ?+ ?(I)当？?= -1 时，求曲线？?= ?在点(0, ?(0)处的切线方程；求函数？?的最小值；求实数a的值;a的取值范围(II)求证：当？e (-2,0)时，曲线？?= ?与？?= 1 - ?雨只有一个交点。(门头沟)20.(本小题满分15分)已知函数f (x) sin

11、 x In x 1。(I)求f (x)在点(一，f ()处的切线方程； 22(n)求证：f (x)在(0,)上存在唯一的极大值；(出)直接写出函数 f(x)在(0,2 )上的零点个数。(密云)已知函数 ？?？= ? i),?e ?(I)求曲线?= ?在点？?(0, ?(0)处的切线方程；(n )求函数？?？的单调区间；(出)判断函数?的零点个数.(平谷)19.(本小题15分)已知函数f(x) (一誓2，其中aCR e(I)当a=0时，求f(x)在(1,f(1) 的切线方程;(II)求证:f(x)的极大值恒大于 0.(石景山)20.(本小题14分)已知函数?= ?(? 0),?= ?(?.(I)若？?(? ?(?恒成立，求实数？的取值范围；(n)当？?= 1时，过？?(?及一点(1 , 1)作？?(?那切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.(顺义)19.(本小题14分)已知函数？?？ = ?- ?f?e ?.（I）当？?= 1时，求曲线？?= ?（?格点？?（0,?（0）处的切线方程；（II）若？?（?雁区间（0, +8）上单调递增，求