北京市房山区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案

1、期末试题北京试题北京市房山区2020届高三第一学期期末数学第一部分(选择题 共40分)、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 A = x1wxw2, B = 0,1,2,3,则 AP|B =(A) 0,1)(C) ；0,1,2)(B)、1,0,1)(D) ；-1,0,1,2：(2)已知复数z=L一，则Z的虚部为2 i(A)(B)(C)(D)(3)等差数列an中，若a+a4+a7 =6, Sn为an的前n项和，则S =(A) 28(B) 21(C) 14(D) 7(4)从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一

2、高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.等级性考试成绩位次由高到低分为A、 B、 C、 D、 E,各等级人数所占比例依次为：A等级15%, B等级40%, C等级30%, D等级14%, E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得 A或B等级的学生人数为(A) 55(B) 80(C) 90(D) 110(5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)4(B) 43(C)(D) 4(6)若点_M (cos5A，sin-)636(B)在角ot(D) -,3的终边上，则tan 2：=已知双曲线C的方程为x2P

3、Q的斜率的2y-=1,点P, Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线 4取值范围是(A)(-2,2)1 1(-1，2)(8)(9)(C)(A)(C)如图,b均为单位向量，则充分而不必要条件充分必要条件.11(D)(-匚二,，)u( , ：-)22a与b夹角为是“ |a+b| = J3”的3(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件在正方体 abcd ABiCiDi中，M为棱AB的中点，动点P在平面BCCiBi及其边界上运动,总有AP 1 DiM ,则动点P的轨迹为(A)两个点(B)线段(0圆的一部分(D)抛物线的一部分(10)已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排

4、名.具体积分规则如表所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳(Wj以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米彳#60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑(秒)跳高(米)掷实心球(米)甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁第二部分(非选择题 共110分)二

5、、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(11)已知点M (2,0) , N(0,2),以线段MN为直径的圆的方程为 (12)若函数 f(x) =(x+1)(xa)是偶函数，则 f(2)=.(13)已知数列an满足an书> an ,且其前n项和Sn满足Sn由< Sn ,请写出一个符合上述条件的数列的通项公.一. m . X 兀，、 冗、(14)已知f(x) =cos(2x+中)(0<中 <-),若f(x)的最小正周期为 ,若f(x) w f(12)对任意的 实数x都成立，则_ .(2 - x , x >1,(15)已知函数f(x)=V-a, x< 1.当a

6、=1时，函数f (x)的值域是；若函数f(x)的图象与直线y =1只有一个公共点，则实数 a的取值范围是 .(16)已知矩形 ABCD 中 AB = 2, AD=1,当每个 Z, (i =1,2,3, 4,5,6)取遍 ±1 时，T T T T T T|册AB + % BC十%CD十九4 DA十九5AC +九6 BD |的最小值是 ,最大值是 三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(17)(本小题13分)3.3 一 二如图，在平面四边形 ABCD 中，AB-L BC , AB=3j3, CD =3, sin，DBC= 2C= .14 '3(I)求

7、 sin/BDC 的值;(n )求BD , AD的值.(18)(本小题13分)某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业.该县农科所为了对比A, B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A, B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：A：41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2,55.3,56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2；B：46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,5

8、2.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7;(I)从A, B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；(n)从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X ,求X的分布列及数学期望;(出)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B?说明理由.(19)(本小题14分)如图，在四棱锥 PABCD中，CD _L平面PAD, PAD为等边三角形， AD / BC ,AD=CD=2BC=2, E, F分别为棱PD , PB的中点.(I)求证：AE_L平面PCD ;(n)求平面 AEF与平面PAD所成锐二面角的余

9、弦值；(出)在棱PC上是否存在点 G ,使得DG 平面AEF ?若存在，求PG4,的值，若不存在，说明理由.PC(20)(本小题14分)22已知椭圆E：二十冬=1但Ab A0)的右焦点为(2,0),且经过点(0,2). a b(I)求椭圆E的方程以及离心率；(n)若直线 y = kx + m与椭圆E相切于点P ,与直线x = -4相交于点Q .在x轴是否存在定点 M ,使MP 1MQ ?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由.(21)(本小题13分)已知函数 f (x) =(2x -1)ln x x -1 .(i)求曲线 y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(n)求证：f(x

10、) -1.(22)(本小题13分)设n为给定的不小于5的正整数，考察n个不同的正整数 a1, a2，an构成的集合P =a1,a2,| ,an, 若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差异集合”.(I)分别判断集合 A =1,3,8,13,23,集合B =1,2,4,8,16是否是“差异集合”；(只需写出结论)(n)设集合P =4e2,用自是“差异集合"，记。=a 2i'(i =1,2，川，n),求证：数列b的前k项和Dk >0(k=1,2,lll,n)；11.1(出)设集合P =司e2,|毋口是“差异集合”，求 一+HI +一的最大值.

11、 a a? an2020北京房山高三（上）期末数学参考答案、选择题（每小题 5分，共40分）题号12345678910答案CBCDADACBB二、填空题(每小题 5分，共30分，有两空的第一空 3分，第二空2分) 22(11) (x-1)2 +(y -1)2 =2(12) 31 n11(13) (-1) (2)n-(答案不唯一)，冗(14) n ; 6(15) (-0,1 ; (-1,1(16) 0; 2旧三、解答题(共6小题，共80分)(17) (本小题13分)解：3.32 2 二(I) sin/DBC=，sin2/DBC+cos2/DBC =1,0</DBC < 14213co

12、s DBC 二一14在BDC 中，ZC = -,ZDBC +ZC+ZBDC =n3sin ZBDC =sin(.dDBC /C) =sin - DBC cosC cos - DBC sinC3.3 1 13 .3 4、. 3+- r =（n）在 BDC中，由正弦定理得CDsin DBC14 2 14 27BD Rn 3 BD ，即 r =r sinC 3< 33142解得BD =7八二八 3,3/ABD+/DBC=, sin/DBC=1一, 214cos _ ABD =3-14在 ABD中，AB =3j3,根据余弦定理, _ 2 _2 2 _ AD -AB BD -2AB BD cos

13、ABD二 (3、,3)2 - 72 -2 3.3 7 望=4914解得AD = 7(18)(本小题13分)解：(I)从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55的有11个,从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于 55”为事件A ,则11411P(A)=20 20 100(n) X的所有可能取值为 0,1,2P(X=0尸等=90P(x=1)=单=32C20953950 2P(X=2)= C16C42) C2C20二X的分布列为X012P12323199595123232二期望 E(X)=0M +1M +2M=_199595 5(出)如果选择 A,可以从A的亩产数

14、据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由.如果选择B,可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由.(19)(本小题14分)解:(I)因为CD _L平面PAD , AD u平面PAD , AE u平面PAD所以 CD _L AD, CD _L AE .又因为 PAD为等边三角形， E为PD的中点，所以 PD _L AE .所以AE 1平面PCD .(n)取 AD 的中点 O,连结 OP,OB ,则易知 OB / CD , OB_L AD, OB _L OP .因为 PAD为等边三角形，所以 OP _L AD .以。为原点，以OA、OB、OP所在直线分别为 x、V、z轴如图建系,1, 3

15、3A(1,0,0),E(-2，0, y),F(0,1,y),B(0,2,0)3311AE=(-3,0，学，EF =(-,1,0)设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则:n AE =0n EF =03,3 c-x z = 0，即221 x y = 02令x = 2 ,得平面AEF的一个法向量n = (2, 1,2J3)易知平面PAD的一个法向量为 OB = (0,2,0)OB n-2_ _ .172J4 1 1217所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为17(出)假设棱PC上存在点G ,使得DG 平面AEF ,且> PG 1 F F设=鼠2 3,1，则PG =%PC , PC

16、P(0,0圾,C(-1,2,0),D(-1,0,0) , PC =(-1,2,-73),则 G(-九,2九,73-石九)DG -(1 - ' ,2', .3 - .3 )ALL 口 L4PGPC要使得DG 平面AEF ,则DG n =2 2九一2九+66九=0 ,得，= 5所以线段PC上存在点G ,使得DG /平面AEF ,(20)(本小题14分)(I)由已知得，c=2, b=2, a2=b2+c2=8 22椭圆E的方程为 士+上=184离心率为e = c = _2 a 2(n)在x轴存在定点M , M为(2,0)使MP _L MQ 证明： 设直线方程为y = kx m22代入

17、=1 得 X2 +2(kx+m)2 =8,化简得(2k2 + 1)x2 +4kmx + 2m2 8 = 084由 =(4km)2 -4(2k2 +1)(2m2 -8) =0 ,得 8k2 +4 m2 =0 , m2 =8k2 +4 ,-2 km-8kx =24-8k 4一,则 P(,-) m m m2k2 1设 P(Xo, y0),则 x-8k._ . -8k _=,y0 = kx0 + m = k+ m =mm= -4k+m,则 Q(4,-4k + m)MP MQ =(x) 2,yO) (-2争)2(x。 2) y。/Tk416k4-2(2)(-4k m) 4 -(-4k m) -0mmmm

18、所以在x轴存在定点 M ( 2,0 )使MP _LMQ .解法二：由椭圆的对称性不妨设P(x0,y0)(y0 >0)与M (x,0).222xyxx0+ =1 得 y=2j1 -得 k =-.84,82y0,2 c 2%x4x0 - x0 2y02x0 4切线万程为 y _y° = (x %)，令 x = -4得 y1 =(一4一%)+ y0 =2y02y02y°V。Qf2)y0T2(x 2)所以，MP MQ=(x0+2,y0) (-2,y1) = -2(%+2)+丫0-0)=0.V。所以在x轴存在定点 M ( 2,0 )使MP _L MQ .(21)(本小题13分)

19、1 _(i)由 f (x) =(2x 1)ln x +x -1 ,得 f '(x) =2ln x + 3 xf (1) =2, f (1) = 0则切线方程为y=2x-2.一，.-1(n)证法 1： f'(x) =2ln x-+3,x w (0,收)， x1令 h(x) =2ln x - +3,x (o (0, y), x212x 1J. h'(x)=+二=>0,故 h(x)在(0,y)上单调递增. x x x一1e又 h(1)=2 >0,h(-) =1 In 4 = ln <0 ,又 h(x)在(0,收)上连续,2413x0 w(,1)使得 h(xO

20、)=0,即的)=0, 21 c c /、，二 2ln x0 - +3=0. (*) x0f '(x), f (x)随x的变化情况如下:x(0,x。)x0(x。*)f '(x)0+f(x)极小值f (x)min = f(x°) =(2x0 -1)lnx° x0 -1.13由(*)式得lnx0 =，代入上式得 2x02.1313f(x)min = f(x°) =(2x0 -1)(-)x0 -1 =-2x° 一2x0 22x0 2c 13令 t(x)= -2x-+-,x=(-,1),2x 22t'(x) -T-2-(1+2x)(2-2x) <0,故 t(x)在(1,1)上单调递减 2x22x22- t(x) >t(1),又 t(1)=1,.即 f(x0)-1. f (x)-1.证法 2： f (x) =(2x -1)lnx + x -1 =2xln x ln x + x 1,xW (0,"),令 h(x) =2xln x,t(x) = -ln x + x -1,xe (0, ),1 h'(x) =2(ln x +1),令 h'(x) =0得 x = -.eh'(x), h(x)随x的变化情况如下：x1 (0,-) e1 e1(-,F eh'(x)0+h(x)极小值12