数列求和方法总结

1、数列的求和、教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;2 ,能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算;3 ,熟记一些常用的数列的和的公式.、教学重点：特殊数列求和的方法.三、教学过程:(一)主要知识:5k2七221.直接法：即直接用等差、 等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式:n(a1an)&20d2(2)等比数列的求和公式Snna(q 1)a1(1 qn)(q 1)(切记：公比含字母时一定要讨论)2.公式法:nk2k 1122232n(n 1)(2 n 1)3.错位相减法:4.裂项相消法:常见拆项公式:nk3k 1比如(2n 1)(2n 1

2、)1323332n(n 1)2差，bn等比，求ab1a2b2anbn的和.把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。n(n 1) n2(2n 1n12n 15.分组求和法：把数列的每一项分成若干项,一 (一)n(n 2)2 n n 2n! (n 1)! n!使其转化为等差或等比数列，再求和。6.合并求和法：如求1002 992 982 97222 12的和。7 .倒序相加法:8 .其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法:求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式;9 .求和过程中注意分类讨论思想的运用;10 .转化思想的运用；（三）例题分析：例 1,求和： Sn 1 1

3、1 11111 1n个 Sn (X 1)2 (X2 口 )2(Xn A)2XXX求数列1, 3+4, 5+6+7 , 7+8+9+10 ,前n项和Sn思路分析：通过分组，直接用公式求和解： ak 11 1 1 10 102k个10k 1(10k 1)Sn 1(10 1) (102 1)(10n 1) 1(10 102991/0(10n1)、10n 1 9n 10-n998110n) n Sn (X21c、/ 41C、22)(X-42)XX2n(X2), 242n111、(X X X ) ( n) 2nX X X1 时，Sn2 / 2nX (xX2 11)X2(X2n 1)X 2 12n2n2n

4、 2(x 1)(x1)2n / 2小X (x1)2n(2)当 x1 时，Sn 4nak(2k1)2k (2k 1)(2k 1) (k 1)k(2k 1) (3k 2)2Snaa?an522-(12223n ) -(125n) 2n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)16n(n 1)(5n 2)总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q1或q 1讨论2.错位相减法求和2例2 .已知数列1,3a,5a ,(2n1)an 1(a 0),求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1, 3, 5,2n-1oa ,a,a应项积,可用错位相减法求和。解:SnaSn1 3a2a 3a5a25a3(2

5、n(2nn 11)a1n1)a22 : (1a)Sn2a2a2 2a32an1 (2n1)a当a1时,(1a)Sn2a(1 an 1)(1 a)2(2n1)nSn1 a (2n1)an(2n 1)an 1当a 1时,Sn3.裂项相消法求和(1a)2例3 .求和Sn之1 3423 5(2n)2(2n 1)(2n1)思路分析：分式求和可用裂项相消法求和解:ak(2k)2(2k 1)( 2k(2k)2 1 11)(2k1)(2k 1)(2 k1)(2k 1)2k)Snaa2an2(1 3) (315)，一，、1练习：求Sn一a22a4答案：Sn a1(2n 1n(n 1)2 a(an 1)12n 1

6、)(an(a 1)n2a (a 1)1)12(1(a 1)12n 1)2n(n 1)2n 14 .倒序相加法求和例 4 求证：Cn0 3C： 5C：(2n 1)C： (n 1)2n思路分析：由cm cnm可用倒序相加法求和。证：令 Sn Cn 3C1 5C2(2n 1)Cn (1)rnr q(De八C n(OndCn 1AC(a an)n2f(1) a a2 a3an n22 na1 an 2nf( 1)a a2 a3an 1 an n 匚d nd 22QC1C°(OCmCnmSn(2n1 )C n(2n1 )C n5Cn3CnC n(2)C nC n(1) (2)有：2Sn (2n

7、 2)Cn (2n 2)C： (2n 2)C：(2n 2)CnnSn (n 1)C0 Cn C；Cn1 (n 1) 2n 等式成立5 .其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知数列 an ,an 2n ( 1)n,求 Sn。思路分析：an2n 2(1)n,通过分组，对n分奇偶讨论求和。2m解：an 2n 2( 1)n,若 n 2m,则Sn S2m2(1 2 32m) 2( 1)kk 1Sn2(1 2 32m)(2m 1)2m n(n 1)若n 2m 1,则 Sn S2m1 S2m a2m (2m 1)2m 22m ( 1)2m(2m 1)2m 2(2m 1).2224m 2m

8、 2 (n 1) (n 1) 2 n n 2、 n(n 1) (n为正偶数)2预备：已知f(x) ax a?xn n2 n 2 (n为正奇数)anxn,且a1,a2,a3, an成等差数列，n为正偶nn.21又f(1) n2,f( 1) n ,试比较f (1)与3的大小。aiai(n 1)d 2nd 2f(x) x 3x2 5x3ai 1 an 2n 1n111 O 1 .in(2n 1)xn f(-) 3()2 5()3(2n 1)(一)n22222111c 可求得 f(1) 3 (-)n 2 (2n 1)(，)n ,n 为正偶数, 222（四）巩固练习:1 .求下列数列的前n项和Sn :，

9、_ 一 _ 5 n(1) 5, 55, 555, 5555,，-(10 1),；(2)9111,1,L ,L ;1 3 2 4 3 5 n(n 2)10 Qn(3) an;(4) a,2a ,3a ,L ,na ,L ；.n 、，n 1. 2sin 11 3,2 4,3 5,L ,n(n2 c°2 c°sin 2 sin 3 L L2),L ;,2 osin 89 .(6)解：（1) Sn 5 55 555 L6 7冬55L 55一(9 ll Ill I6匹8L 99L 9)Sn5 |(10l101n(n 2)112(13)1)1027(2 n4)2(1021031)(10

10、3n101)nL(10n 1)50 n . 5 (101) -n .819(1)3 5(-n111n1)2(1 2(3) van.n n 1( <n 、n 1)(、n 1- n)S I 一 y1- L = n 2 <1- 32. n 1 - n(-2 1) (.3 、2) L(y/n_1 Vn) Jn 1 1 .(4) Sn a 2a2 3a3 L nan,当 a 1时，0 1 2 3 n n(n 1), 2当 a 1 时，Sn a 2a2 3a3 nan ,234一n 1aSn a 2a 3a na两式相减得2(1 a)Sn a anna一n 2n 1_na (n 1)a a,S

11、n7.72(1 a)2 n(n 2) n 2n ,.原式(12 22 32 n2) 2 (12 3 n) n(n 162n 7) (6)设 S sin21o sin22o sin2 3o L L sin289o, 2 o 2 o 2 一。2 o又 S sin2 89sin2 88 sin287L L sin 2 1 ,2S 89, S 8922.已知数列an的通项an6n 52n（n为奇数）（n为偶数）,求其前n项和Sn.解：奇数项组成以a1 1为首项，公差为12的等差数列,偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数歹U； n 1 一 ,一， n 1 一当n为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 项,22n 1Sn2-(1 6n 5) 4(1 42 )(n 1)(3n