二重积分单独讲解

1、第九章重积分与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广， 其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域.它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算.第一节二重积分的概念与性质本节主要内容1引例2二重积分的概念3二重积分的性质讲解提纲:一、引例引例1求曲顶柱体的体积设有曲顶柱体，它的底是xoy面上的闭区域 D，侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面z二f (x, y),这里f (x, y) -

2、 0且在上D连续，求其体积V .引例2求非均匀平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域D，它在点(x, y)处的面密度为 J(x, y),这里(x, y) 一0且在D上连续，求薄片的质量 M 重积分的定义:设f (x, y)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域:=6,f,，f，以 f 表示第i个小闭区域的面积，以i表示二二的直径，并令n =max i 在每个厶门上任取一点(i, J，作和式：a f(, J.； 如果当， r 0 i丄时，该积分和的极限存在，则称此极限值为f(x,y)在区域 D上的二重积分，记作f(x,y)d二，即Df(x,y)d 匚D其中f (x,

3、 y)称为被积函数，f (x, y)d二称为积分表达式，d二称为面积元素，x, y称为积 分变量，D称为积分区域.三、二重积分的性质性质1设：，-为常数，则. . f (x, y) - g(x, y)du : f (x, y)d.亠),g(x, y)d二.DDD性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域 D1与D2，贝Vf (x,y)d；二f (x,y)d 亠 II f(x,y)d匚.DDiD2这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性.性质3如果闭区域D上，f (x, y) =1，二为D的面积，则 厂-1 d

4、d二.DD性质 4 设在 D 有 f(x, y) Eg(x,y)，贝贝 iif(x, y)d iig(x, y)d 二.DD性质5设M、m分别是f (x, y)在闭区域上的最大值和最小值，匚为D的面积，则有m；： _f(x, y)d；：_M匚.D性质6 (中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，匚为D的面积，则在 D上至少存在一点(，)，使! f(x, y)d ：； = f(,)匚.D例题选讲:例1不作计算估计I二(4x2 4y2 9)d匚的值，其中D是圆域：x2 y2岂4 .D2 2 2解：D 的面积为丁 -二(2) =4二.由于 9 _ x 4y 9 _ 25，故 36二 _ I -

5、 100二.i2 2例3 判断 11 ln( x y )dxdy的符号(r 0). r峯x|巾凶解 当 r 兰 x| +|y 兰1 时，0 x2 + y2 兰(X + y )2 兰1 .故 In(x2 + y2)兰0 .又当 x +|y cl 时，In(x2 + y2) v 0，于是In (x22y ) d x d y ： 0r 辛x -.-y| _1例4 积分 31x2 y2 dxdy有怎样的符号，其中D：x2 + y2 4 .D解：把积分域分为d1,d2, d3，如右图：则原式=JjQ 1 x2 y2dxdy jj31 x2 y2dxdy D1D2I I3 1x2y2 d xd yD3V

6、dxd y -3 3 -1d xd yD1D3=二 - 3、2二(4 -3)二-：(1 -32)0 .比较积分11(x y)2d二与11 (x y)3d二的大小，其中D是圆域：DD课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.彳 n n i2 f 2.试用二重积分表示极限lim 2二二e nnTn y j二第二节二重积分的计算本节主要内容1利用直角坐标系计算二重积分2利用极坐标系计算二重积分讲解提纲：、利用直角坐标系计算二重积分对 X -型区域：( x, y) | a _ x _ b, ：l(x) _ y _ 2 (x)，有.b 您刈! ! f(x, y)dxd

7、y = a dx 丽 f(x, y)dy ；D1对丫 -型区域：(x, y) |c 一 y _d, - dy) 一 x 一 2(y)，有d弔(y)JJf(x,y)dxdy = ( dy &(y)f (x,y)dx .D1y (x)注: ( 1)有的情况下积分区域既是X -型区域又是Y -型区域(如右图)，不妨设为D =( x, y) | a 乞 x 乞 b, 1 (x)乞 y ；(x)二(x, y)c y d,-i(y) x_ 2(y),f (x,y)dyb Q(x)f (x,y)dxdy = a dxDd-：2(y)二 cdy f(x，y)dx -为计算方便，可以选择积分次序，在必要时也可交

8、换积分次序(2)若积分区域较复杂，可将其分成若干个互不相交的X 一型区域或Y -型区域如右图中：D1 D2 D3，则有.ii-ii-iiDD1 D2 D3(3)禾U用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算.设函数f (x, y)在闭区域D上连续，且 D关于x轴对称,位于x轴上方的部分记为 D1，则在D上若 f (x,-y) = f (x,y)，则f(x,y)dxdy=2 f (x, y)dxdy ；DD1若 f (x,-y) =-f(x,y)，则 f (x,y)dxdy = 0 D当区域关于y轴对称，函数关于变量 x有奇偶性时有类似的结果.在利用这种方法时，要同时兼顾

9、到 被积函数f(x, y)的奇偶性和积分区域 D的对称性两方面.例题选讲：例1计算H xydj其中D是D(1) 由直线y=1,x=2及y二x所围成的闭区域；(2) 由抛物线y2 = x和直线y=x-2所围成的闭区域.解：(1)1兰y兰X 解法1.将D看作X翌区域，则D ：丿.1x 2 xJ兰x兰2于是,x2XI =dx 1 xyd y = ( Jxyd x xldx 飞.解法2.将D看作丫翌区域，则D :疋，21 dy /ydx1 -4x2yFdy 二y:2y?y(2)为计算简便，先对x后对y积分，D:丿曰是，2y 2dy2 xydx2 4x2y：2dy yy(y 2)2 -y5 Idy11

10、II.23y3 2yy6 I2.645计算11 y. 1 x2 - y2d二, 其中D是直线D-1和y =1所围成的闭区域.解:D既是X翌区域，又是 丫翌区域， 显然利用X-型区域做法简单，于是2_y1122x 八3 y (1 x - y )3卩dx =X113(x -1)dx3X/V102 _ 3- 1)dx 二一.22例 3 求 I .i|y-x | dxdy,其中 D 为- 1x1,0込 y1.D分析：当被积函数中有绝对值时， 要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号.y = x2将D4-y)d；15110分为两部分D1和D2 .解：I = (y x2)d.亠 | | (x2D1D2例4求两

11、个底圆半径都等于 R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解：设这两个圆柱面的方程分别为：x2 y22 2 2 2=R和x - z二R .利用立体关于坐标平面的对称性，只须求出它在第一卦限部分的体积V，然后再乘以8就行了 由于(x, y) |0 my 乞.R2 x2,0 ex e R：，于是,y = R2 _x2d；Dr| -r2 _x2=0 ”JR2-x2dy dxr!r2-x2R2 /y0 dxR 22230(R -x)dx8R16 3从而，所求立体的体积为V =8V,R3.3例5交换下列二次积分的积分次序(1) I2a-；2ax=0dx.2axJ(x,y)dy (a 0)；解:y2y = .

12、2ax = x 学,y = 2ax _ x2 二 x = a _ , a2 _ y2 .aa - a2 -y2原式二4dy kf (x, y)dx 0 dya2aa u a2 -y22a2af(x,y)dx a dyf(x,y)dx .2a(2)ybia”i/:/:F:rab2%8Z曰是,I 二 D f(x，y)dxdy = dy 巧 f(x, y)dx .例6证明:b xn 21 bn .dx(x y) f (y)dy = (b y) f(y)dy 证明:b x/b b2dx(x-y)n f(y)dy 珂 dyjy(x-y)n f (y)dxb11 b彳= f(y)dy (x-y)n y =

13、 J (b-y)n f (y)dy an _1n _1 a例7计算i.ixln(y 1 y2 )dxdy,其中积分区域D由曲线y = A - x2 ,y = _3x 与DI = xln (y . 1 y2)dxdy 亠 iixl n( y . 1 y2 )dxd y = 0 .D1D2、利用极坐标系计算二重积分有些二重积分，其积分区域 D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇 形区域的边界等.此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.标系下的面积微元为d；=rdrd j ,直角坐标与极坐标之间的转换关系为x = r cos v.y

14、= r si nr.dex0从而就得到在直角坐标系与极坐标系下特别地，若积分区域可以表示成：仃门）|0乞乞（旳,0一二_2二，则2兀护(日.1.1 f (x, y)dxdy Z f(rcosdrsin，)rdr .D例题选讲:例1化下列积分为极坐标形式的二次积分1x22a2ay _y2(1) 0dx 0 f(x,y)dy ；(2) o dx 0 f (x,y)dy 解：略.2 2例2计算 elx其中D是由圆x2 y2乞a2(a 0)所围成的区域.D一0兰r兰a解：在极坐标系下D y，故0兰B兰2兀-.ar22兀a 以1 2 |a2原式二 e rdrd =0dh0re dr=2 e(1e).D0

15、0IL 202注：由于e的原函数不是初等函数，故本题无法用直角坐标计算.例 3 计算. .sinx2 D2心 dxdy , x2 y2其中积分区域D是由1乞x2 y2乞4所确定的圆环域.解：由对称性,可只考虑第一象限部分D =40.由被积函数的对称性，sin(二、x2 y2)ii dxdyD得到I 22,“sin(gx +y ),=4 11dxdyD1.x2 y2=4 Q 迎rdr .-0-1 r例 4 求 11 x2 y2 dxdy，其中 D = (x y) |x2 y2 xD解：D的边界曲线x2 yx,化为极坐标方程的r = cos ,极点在边界上，令r = 0，由os - =0得二二-,

16、从而:COS r 2Jx2 y 2 dxdy 二 2 2 0 r drD134盲套9.(厂y2Dxy)d xdyD是由轴y 斜-x2和x轴所围的半圆形区域.解: D:0 v二，0乞r乞1.于是11(. x2 y2 _xy)dxdy 二 d寸 (r _r2sin寸coE) rdrDJ01.cos2sin 2)d v83 _ 16 oya上oxx2 y2 =4y及直线例15计算| j(x2亠y2)dxdy ,其中D为曲线x2 y2 =2y,Dx、;3y=0, y*3灭=0所围成的平面闭区域.解：因为x2 y2 = 2y = r = 2sin 丁 ,x2 y2 = 4y 二 r = 4sin 丁 ,

17、y3x = 0 = v2 ：3x -、. 3y = 0 =耳：6所以，o22召4sin日2兀 厂.(x y)dxdy 二.2sir rdr =15(- -，3).D石，课堂练习1X半1. 变换下列二次积分的次序：Jjdxf(x,y)dy .22. 计算.ey dxdy,其中D由y二x, y=1及y轴所围.D23.计算二次积分dxsin y dy .QQQ4.计算 m | xy d匚，其中 D : x y 0时，该和式的极限存在，就称此极限值为函数1生f (x, y, z)在区域i】上的三重积分，记为hi f(x,y,z)dv,即卩nIII f(X, y,z)dV = lim f ( i, i,

18、 J y ,其中dv称为体积元素，其它的记号类似二重积分.在直角坐标系中，如果用平行于三个坐标面的三族平面来划分1 ,则有=Vj = UxfyfZi ,进而dv二dxdydz,于是三重积分记作：Ill f(X, y,z)dv ： III f(x,y,z)dxdydz,QQ其中dxdydz为直角坐标系中的体积元素.当f (x,y,z)三1时，设积分区域 门的体积为V ,则V =1 dv 二 dv，(4. 2)这个公式的物理意义是：密度为1的均质立体I】的质量在数值上等于 门的体积.、利用直角坐标系计算三重积分方法一：投影法(“先一后二法”) 积分区域 门可表示为：( x, y,z) (x, y)

19、亡 D,zi (x, y)兰 z 兰 Z2(x, y),其中D是门在xoy面上的投影，则Z2(x,y)，/(x,y,z)dDdxdy-x,y)f(x,y,z)dz ；方法二：截面法(“先二后一法”)积分区域门可表示为：(x,y,z)a乞z乞b,(x,y)Dz,其中Dz是平面Z = z截积分区域 门所得的平面闭区域，贝Ua. f(x, y,z)dv 二 dzH f(x, y,z)dxdy .QbDzz2 xoZi x方法三：三次积分法将投影法中的二重积分化为二次积分即可，即积分区域 门可表示为:(x,y,z)ab,yi(x)乞 y 乞 y2(x), Zi(x, y)乞 z 乞 Z2(x,y)，则

20、by2 (x)Z2 (x, y)J(x,y,Z)dvadxyi(x)dyzi(x,y) f(x,y,z)dz .注：利用对称性同样可以化简三重积分计算.一般地，如果积分区域 门关于xOy平面对称，且被积函数 f(x,y, z)是关于z的奇函数， 则三重积分为零；如果被积函数f(x, y, z)是关于z的偶函数，则三重积分为在xOy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.当积分区域门关于yOz或xOz平面对称时，也有完全类似的结果.例题选讲：例1计算三重积分 hi (x y z)dxdyd乙 其中i】为三个坐标面与平面 x y 1所围成的闭区域.解：积分区域可表示为:( x, y,z) 0 兰 y

21、 兰1 x, 0 Ex 兰1, 0 兰z 兰1 x y.曰是，1_x_yd- 0 (x y z)dzD1(1 x y)2 (x y)(xyD -2例2计算三重积分h i z2 d x d y d z，其中2 y b2一 c乞z乞c2xDz:2a2 y_ b2212czcill z2 dxd ydz -Qz2dz -cdxd y-.b yxc 2=2 z2二 ab(12勺dz c4 abc15Q例 3 求积分 111 y . 1 -x2 dxdydz,其中 l 由 y - - 1 - x2 - z2 , x2z2 =1, y =1 所围.Q分析：若用“先二后一”，则有0 2I 二 ydy 1-x

22、2dxdzDy1 - 2ydy 1-x dxdz .0Dy计算较繁！采用“三次积分”较好.解：11 由 y = - 1 -x2 -z , x2 z2 = 1, y = 1 所围，故可表 为一 J1 一 x2 z2 兰 y 兰 11 X2 乞 ZA1 X2，.$1 _x21 /dx 亠 2 dz._2845例4计算2 2 2竺_ 卜 $ 卫dxdydz，其中二(x,y,z)|x2x +y +z +1 y2 z2 1.奇函数提示：原式=利用对称性，则.d xd yx2 y2 勺z In(x2y2 z2 1)x y - z 1三、利用柱面坐标系三计算重积分设点M的直角坐标为（x, y, z）(r,d

23、z)，则x = r cos - y = r sin 日z=z柱面坐标系中的三族坐标面分别为r =常数：以z轴为中心轴的圆柱面;二-常数：过z轴的半平面;常数：与xOy面平行的平面.柱面坐标系中的体积微元:dv=rdrdz，因此-1 _X _1in f (x, y,z)dxdydz ： 111 F(r,v,z)rdrd vdz Qd其中 F (r, v, z) = f (r cosv,rsin v,z).注：柱面坐标解三重积分适用的范围：(1) 积分域用柱面坐标表示时 方程简单；(2) 被积函数用柱面坐标表示时变量相互分离.四、利用球面坐标系计算三重积分点M的直角坐标(x,y, z)与柱面坐标之

24、间的关x =OP cos。= r sin cos6勺兰r c址 y =OPsin B = r sin 怙n 日0 兰 0 2nz =r cos0 n 丿系为球面坐标系中的三族坐标面分别为r =常数：以原点为球心的球面；二常数：以原点为顶点，z轴为对称轴的圆锥面；v -常数：过z轴的半平面.球面坐标系中的体积微元：dv=r2sindrd知日，因此hi f (x, y,z)dxdydz 二 F(r, :)r2 sin drd 2 , QD其中 F (r,兀 z) = f (r sin cosr r sinsin r,r cos ).例题选讲：例1计算三重积分川zjx2 +y2 dxdydz，其中。

25、是由柱面 x2 + y2 =2x与平面Qyz = 0, z二a(a 0), y = 0所围成的半圆柱体.解：在柱面坐标系下0兰P兰2 cos日r 兀： 0 -I 20 _ z _ a原式右MWa 卫 2cos zdz 2dr ；?2d0 -04a23为 3802c9a122d xd y d,z其中门是抛物面1 x y4z =x2和平面z = h所围成，其中h 0.解:在柱面坐标系下: 2h40兰 PE2jh ,0兰日兰2兀原式_ hd i ；2 d z= 2-2(h-n(1 4h)ln(1 4h) -4h 4计算三重积分| ii zdxdydz,Q解:在球面坐标系下0 RJ : 0 0ji ，

26、于是2二 2 :R0 d02d 0rcosr sin其中门是由z=$R2 -x2 - y2与z = 0所围.dr =- R4.42 2 2 2x y z -R (z_0)所围的立体.例4 计算hi (x2 - y2 - z2)dxdyd乙其中i】是锥面x2 y2 = z2与上半球面解：在球面坐标系下I兰r兰R：0乞I 40 _ m 2 二(x2 y2 z2)dxdydz匹R%Vd十心2)-课堂练习1设由六个平面x =0, x=2,y =1, x、2y =4, z = x.z =2围成的闭区域,将I II f (x, y,z)dv化为三次积分.Q2.计算in xyzdV,其中1 是由曲面x2 y

27、2 z2 =1所围成的立体区域. Q3.计算三重积分1二 zdV,其中门为上半球体:x2 y2z2 _a2(a 0),z _0第四节重积分的应用本节主要内容1立体体积2曲面面积3物体的质心4物体的转动惯量5物体的引力讲解提纲:一、立体体积曲顶柱体的顶为光滑曲面z二f(x, y)，且(x, y). D，则曲顶柱体的体积为V 二 f (x, y)dxdy ；D占有空间有界域的立体的体积为V 二dxdydz.Q二、曲面的面积空间连续曲面z二f(x, y)且(x, y). D，设曲面的面积为A，则1 fx&x, y) f：(x, y)dxdyD卜唱dxdy ；玫丿 ).z同理可给出若连续曲面的方程分别

28、为X = g(y,z),(y,z) Dyz 或 y =h(x, z),(x,z)时的曲面面积公式.zoy1dex(x, y)M若光滑曲面的方程为隐式F(x, y,z)=O，且Fz=0 , (x, y) Dxy，则曲面面积 A为2 2 2dxdyFx Fy Fz U |F IDxyI z三、物体的质心1平面薄片的质心设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为 J (x, y)，假定J(x,y)在D上连续，则该薄片的质心坐标(x,y)为_Ux%x, y)dxdy_ 人 y%x, y)dxdyx 二 一, y 二J(x,y)dxdy. .D(x,y)dxdy2空间物体的

29、质心设有一空间物体，占有空间有界闭区域门、在点(x,y,z)处的密度为(x,y,z)(假设i(x, y,z)在i】上连续)，则物体的质心坐标(x,y,z)为 1zn .严(x,y,z)dv 1 1/EM，,-?J(X，y，Z)dV，其中，M二 A(x, y,z)dv为该物体的质量.Q四、物体的转动惯量1平面薄片的转动惯量有一平面薄片，则其对于x轴的转动惯量lx、关于y轴的转动惯量I y及关于原点的转动惯量I o分别为：lyx_i(x, y)d二，I。= (x2 y2”(x,y)此.DD2空间物体的转动惯量设有一空间物体，则物体关于三坐标轴及原点的转动惯量分别为lx 二(y2 Z2)(x, y,

30、z)dv, ly =(x2 z2”(x,y,z)dv,QQlz： Iii(x2y2)i(x,yz)dv, I。： i i i(x2y2z2 尸(x, y,z)dv.QQ五、物体的引力1平面薄片对其外一点处单位质量的质点的引力平面薄片外一点Po(xo，yo)处有一单位质量的质点，设物体 对质点的引力为F =(Fx,Fy)，则其中(八朋(x，y)dxdy(x -Xo)(x, y)Fx =GD w dxdy , FyDG 为引力常数，r = . (x - Xo)2 (y - y。)2 .2空间物体对其外一点处单位质量的质点的引力在空间物体外一点 Po(x。，yo，zo)处有一单位质量的物体，则物体对

31、于质点的引力为F 二Fx,Fy,Fzdv=心 G(x-Xo)U(x,y,z) d5G(y-yoTX,y,z)d5 G(z 一 即咻 y,z)4QrQ其中 r = (x x。)2(y y。)2(z z。)2 .例题选讲:立体的体积例1求半径为a的球面与半顶角为?的内接锥面所围成的立体的体积.解：在球坐标系下空间立体所占区域为0:o兰 ao兰日兰2兀，于是立体的体积为V 二dxdydzJIr2 d r16二 a3Ctocos4cos :).计算x2y2z上任一点的切平面与曲面Z = x22y所围立体体积.解:曲面Si在点(Xo, y, Zo)处的切平面方程为:2 2z =2xx 2yy 1 -x

32、- y，它与曲面zxoy面上的投影为22(x-Xo) (y-yo)(记所围域为D),故V = D 2xoX 2yy 1 -xo22_yo_x2 -y2 dxdy=(xXo)2+(y y。)2 对xdy (令x x=r cos , y - yo = rsin 二)2c2兀13兀r r d r dd rdr：曲面的面积例3计算双曲抛物面z= xy被柱面x y二R2所截出的面积.解： 曲面在xoy面上投影为D : x2 y2 R2，则2 2A = D 1 Zx Zy dxdyr dr(1+R2)2例4计算半径为a的球的表面积.解：方法1利用球面坐标.设球面方程为：r = a，则球面面积元素为d A

33、= a2 sin : d d ,于是，2 oA = asi n d = 4 二 aJ0J0方法2利用直角坐标方程.（见书P109）物体的质心例5求位于两圆r = 2sinn与r = 4sin二之间的均匀薄片的质心.解：利用对称性可知x = 0 ;而_ 1 1 2yydxdyr2 sin dr dA dD1 二-3兀D二 .4sin c56 二 / .sinr2dr 二sindr02sin 56 二9二05656 小十2 - 4口 口 56 c 3 12 2 sin 29 二 09:1=74 2 2 3oxj- 222例6求半球形z = a -x - y的形心.解：由对称性知：x=0, y=0.

34、zdV-川(V)Z 二V32 二 a32 二 aa _r32 二o d0rdr.0 zdz.0 oa2 r2,2 2、 a r(a - r ), dr2物体的转动惯量例7求半径为R的圆盘（密度为）对中心轴的转动惯量I。和对直径的转动惯量ID解：| jx2 y2)d二=4(爲日p2 PdP0 0R4 mR2由对称性知,2 2 ， 1 1 y，而 1 x Ty1。，故 I D例8设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量 ），两直角边长分别为 a、b ,求这三 角形对其中任一直角边的转动惯量.解：设三角形的两直角边分别在 x轴和y轴上，如图所示.对y轴的转动惯量为：2b2ly.x2dxdy0dy 0x

35、2dxD13.-a -.12同理对x轴的转动惯量为：lx ： iiy2dxdy 二ab .D12例9求半径为R的球体(密度为 )对直径的转动惯量|D .解：Id =Iz222兀:i(V)(x y )dv 二.0 dr：、2 sin22sin d、兀 3二2二o sinR .2 r5I 3RSr5 .15物体的引力例10求面密度为常量、半径为 R的均匀圆形薄片:x2yR2, z=0对位于z轴上的点Mo(0,0, a)处的单位质点的引力(a - 0).解：由对称性知引力F =(0O Fz),二 d 二dFG 亍G a此 3(x2 +y2 +a2) 2曰是,FzGa.Dd3 z 22232(x y

36、a )(rk21 1设半径为R的匀质球(其密门=( x, y,z)|x2 y2 z2 R2.求它对位于M (0,0, a) (a R)处的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量 Fx = Fy =0 ,、R2a2度为常数占有空间区域z -a22 32y2 (z-a)2 2R=G i(z -a)dz-RDzdxd y2 2 2 3X y (z-a) 2rdrr2 (z-a)22R2 二 R2 丘二i(z-a)dz dv_R00(z -a)_RR2 _2az a2dz=2G -2R；a _r-J(z_a) d(R2 _2az + a2gMa课堂练习1. 求球体X2 y2 z4a2被圆柱面x2

37、 y2 =2ax (a 0)所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积2. 求均匀半球体的质心.3. 求密度为t的均匀球体对于过球心的一条轴 I的转动惯量.求此半圆的4. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离, 重心坐标及关于 x轴(直径边)的转动惯量.第五节含参变量的积分本节主要内容被积函数含参变量的积分积分限含参变量的积分内容要点：一、 被积函数含参变量的积分1定义设函数f(x,y)是矩形区域a乞_y_ 上的连续函数.则积分f (x, y)dy定义了一个在a,b上的函数，记为P(x) = - f (x, y)dy (a x b).其中记为参变量，上式称为含参变量积分.2含参变量积分的性质一一连续性、可积性、可微性定理1 (连续性)若函数f(x,y)在矩形arxb,_ y I-上连续， 由积分(x)= f(x, y)dy (a 岂 x 空 b)确定的函数 (x)在a,b上也连续.定理2 (可积性) 若函数f(x,y)在矩形区域a乞x乞be乞y 上连续，则bI：- bU；f(x, y)dydx = 1f(x,y)dxdy.a a上式也可写成b -I， bdxf(x, y)dy = dy f(x, y)dx.定理3 (可微性)如