二重积分的概念及几何意义_第1页
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1、二重积分的概念及几何意义、问题的提出二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义、冋题的提出1.曲顶柱体的体积定义 设有一立体，它的底是 兀oy面上的闭区域D,它的侧面 是以D的边界曲线为准线而磋 平行于z轴的柱面，它的顶是曲 面z = /（x），这里于（兀）A0且 在D上连续.这样的立体叫做曲 顶柱体.平顶柱体的体积计算体积二底面积X高/ ./ ./7丿丿曲顶柱体的体积计算以平面代曲面It曲边梯形面积的求法= 以直线代曲线“分割近似、求和.取极限的思想方法步骤如下:先用曲线网把D分成个小闭区域巧，Ab?，A y Acr并取典型小区域.z = f(x,y)（纟,久）用若干个小平 顶柱体体积之 和近

2、似表示曲 顶柱体的体积曲顶柱体的体积y=啊/(知久)“1=12 求平面薄片的质量1:1设有一平面薄片占有欢面上的闭区域D,它在 点（x,j）处的面密度为。（兀，y）,/?（兀,y） 0且在D上连2 （6,0）所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M呦工临皿）人51=1二、二重积分的定义定义 设/（兀）是有界闭区域。上的有界函数将闭 区域D任意划分成I个小闭区域ADi，AD2，A ,AD“,并 用Ab,表示第i个小闭区域的面积在每个AD,上 任取一点（$, %），作乘积f（ 6，7） 6，并作和如果当畧小闭区域的輕中的最大值Z-0时，该和 的极限存在则称此极限为函W（x,J）在闭区域D上 的二重积

3、分，记作/（兀）db,即D1=1积分和 面积元素 被积表达式积分变量被积函数nV积分区域对二重积分(double integral)定义的说明(1)在定义电对闭区域D的划分 是任意的面积元素do表示积分 和中的在直角坐标系中面 积元素dcr = dxdy, 此时二重积分为JjV(兀，y)dcr =JJ/(x,j)dxdj DD(2)如果函数f (兀)在闭区域D上连续那么它在D 上的二重积分必定存在Z+z三、二重积分的几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负 值.二重积分的几何意义二重积分是各部分区域 上柱体体积的代数和,在 平面上方的取正,在gy平面 下方取负.例根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.-x2 -j2dcr, D : x2 + j2 a2,D解 投影区域为

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