称球问题一般解法

1、称球问题一般会有以下3种变形:1、n个球，其中有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。2、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。3、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏 球是轻还是重。对于上面3种情况，称量n次，最多可以在几个球中找出坏球来？答案：分别为：3An, (3An -1)/2, (3An - 3)/2.称法体现在下面的证明中：、天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结 果，就是In3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不 同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就

2、是有In(n)/ln2 比特信息，假设我们要称k次，根据信息理论：k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2,解得 k>=ln(n)/ln3这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从3八3=27个球中找出不同的球出来。具体称法就是：每次再待定的n个球中取(n+2)/3个球，放在天平左边； (n+2)/3个球放在天平右边。(注：x 表示不大于x的最大整数。)对于N(m)=(3Am-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次 了，也很简单，在此略去其次，若m <=k-1

3、时，假定对于N(k-1)=(3A(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。现在来考虑m=k的情况第一次称取3A(k-1)-1个球放在天平天平两端，则:如果平衡，获得3A(k-1)-1个标准球，坏球在剩下的3A(k-1)+1/2 个中。由于3八(心1)-1>=3八(心1)+1/2，(k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数；所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理 二可知对于3A(k-1)+1/2 的情况(k-1)次可解。如果不平衡，大的那方记做 A,小的那方记作B。标准球记做C.则现在我们有3A(k-1)-1/2 个A球和B球，有3A(k-1)+1/2 个C

4、球。第二次用3A(k-2)个A球加3A(k-2)-1/2个B球放左边；3A(k-2)个C球加3A(k-2)-1/2 个A球放右边。如果左边大于右边，则说明是在左边的3A(k-2)个A球中质量大的 为坏球；如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3A(k-2)个B球 中质量轻的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决， 加上前两次共k次解决。如果左边小于右边，则坏球在左边的3A(k-2)-1/2 个B球中或在 右边的同样数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似(只不过是 k-1 变成k-2).用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情 况，这时只需拿A球和标准球比

5、较以下就行了。因此在这种情况下也是可以最终用 k次解决的 由以上两步加上数学归纳法知，对于 N(m)=(3Am-1)/2的情况，称m次是可以称 出来的。由这个解法加上前面所给出的上界 Nmax(m)v=(3Am-1)/2，知称m次能解决的最 大的小球数Nmax(m)=(3Am-1)/2。有兴趣的人可以验证一下 m=3,N=13的情况-该情况已经被反复拿出来讨论过 了。大家好，我们来继续昨天的问题。现在我要给出通解啦。为了简化下面的过程， 我们假设小球的个数正好是(3t-3)/2 。首先我们把小球分成数量相等的三组 AA|BiB|CiCn,其中n=(3t-1-1)/2 。 第一次使用天平的时候，

6、不妨把A组和B组分别放在天平左右盘。如果天平左低 右高，那么有可能因为左边n个小球之一较重，也可能因为右边n个小球之一较 轻。反过来也是一样。这种时候，转到下面的情况(1)处理。而天平平衡的时候， 则坏球一定在剩下n个小球中，(2)讨论了这种问题。【情况1】这时的条件是：已知AA中一个球较重，或者BBn中一个球较轻， 其中n=(3t-1-1)/2。我们把可以在C中任意拿出一个好球(C中的都是好球嘛) 放到B中去。然后由情况(3)讨论接下来的处理方法。【情况2】这时的条件是：已知坏球GG中，且不知轻重关系，其中n=(3t-1 -1)/2 。 我们把C分作三组aiadb ibn|c iCm+i，其

7、中m=(3-2-1)/2。注意看啦，c组要 比a，b两组多出一个。怎么？我们昨天不是说这种情况没办法完成吗？但是， 我们现在多了一项武器-好球。对，我们可以从已经判断为一定是好球的A，B组中任意拿出一个好球，和 a一起放到天平左盘，把c组放到天平右盘，如果 天平左低右高，那么一定是a组中m个球较重或者c组重m+1个球较轻，反过来 也于这个类似，情况(3)正是讨论这种问题的。如果平衡的话，说明b组的t_2m=(3 -1)/2个小球是问题小球，这不正好和我们当前要讨论的问题一样吗？所 以我们又回到了情况。【情况3】这种情况最为复杂，我们知道的是 am中一个小球较重，或者C1 Cm+1中的一个小球较

8、轻，其中 m=(3_2_1)/2。另外，还有一个标准小球。我们把a分为a 1a s| B 1B s| 丫 1丫 s+1三组；把c分为& 1& s+1| E 1E s+1| Z 1Z s， 其中s=(3t-3_1)/2。把a&放再天平左盘，BE放在天平右盘。要是天平平衡， 说明要么丫组的s+1个小球较重，要么Z组的s个小球较轻，这恰恰是一个更 小规模的情况(3)。要是天平不平衡呢？以左低右高为例， 左盘是a£而右盘是 BE，这种情况不可能是由£较重引起的如果£中的球有坏球，它只会比好球轻。同样也不会是B较轻引起的。所以，这个时候，要么是 a中

9、的S个球 之一较重，要么是E中的s+1个球之一较轻。这同样是情况(3)。好了，到这里所有的情况都有了一个递归的算法。 可以把问题分解直到下面这些 情况：1. 使用一次天平，一个标准球，判断一个坏球是轻还是重。2. 有两个球，要么其中一个球较重，要么其中一个球较轻，仍然有标准球可 以利用，使用一次天平找到坏球。3. 三个球，要么是1号与2号球之一比较重，要么是3号球比较轻。使用一 次天平找到坏球。相信这三个问题相当简单吧。什么，你不知道最后一种怎么做？呃，1号2号上天平，要是倾斜了，低的那边是坏球；平衡的话好了，你可以尝试使用五次天平解决120个球了。不过，一定要先找到一张非常 非常大的纸。另外

10、补充一点：对于(3t-1)/2个小球，如果另外给定一个标准球的话，就能以情 况(2)为入口，在t次内找到坏球，并得知其偏重还是偏轻。而少了一个标准球， 就只能保证找到坏球，网路上的13球问题就是这样的。称球问题的一般解法称球问题相信大家已经很熟悉了， 并且已经知道从 12个球中找岀坏球并判断其轻重最多 只需要3次称量。但如果把球数改变一下，比如说13个球，答案又是几次呢？本文将对这一问题进行“深入”分析。为了后面叙述方便，先在这里把一般化后的问题重复一下：有m( m> 3)个球，记为 q1、q2、qm，其中有且仅有一个坏球，其重量与其他的不 同，现使用无砝码的天平进行称量，令n为称量次数

11、，问：能确保找到坏球并指岀它与好球的轻重关系的n的最小值是多少？先来看理论上要多少次。每次称量有左边轻、平衡和右边轻共 3种可能的情况，而坏球 的可能结果有q1轻、q1重、q2轻、q2重、qm轻、qm重等共2m种。因此，根据商农的信息论，4个球,此问题的熵就是需要的称量次数，又因为n是整数，所以有:不过理论终归是理论，直接拿到现实生活中往往行不通。一个很简单的情况:上面的公式说2次称量就够了。但你可以想想办法，反正我是没找到两次解决问题的方案。q1轻和q2重，再称一次就那,是理论错了吗？唔，我可不敢怀疑商农，我只敢怀疑我自己。来看看我们错在哪了 吧。对4个球的情况，第一次称量只有两个可选的方案

12、：方案1 : 5放左盘，q2放右盘。若不平 衡(由于对称性，只分析左边轻的情况，下同)，则可能的结果还剩 能找到坏球；若平衡，则可能的结果还剩 q3轻、q3重、q4轻和q4重4个，再套用一下商农的定理， 此时还要称 血创次。所以方案1被否决。方案2： q1、q2放左盘，q3、q4放右盘。此时天平肯定不会平衡，称量后，可能的结果有qi轻、q2轻、q3重和q4重4个。同样的道理，方案 2也难逃被否决的命运。在4个球这么简单的情况下就撞得满头是包，未免让人难以接受，总结一下经验教训吧，把上面的分析归纳一下并推广到一般情况，就是：整个称量过程中，要达到目的，倒数第k次称量前的可能结果数 h，必须满足条

13、件 h<3ko上面的得岀的结论虽然不能让我们找到问题的答案，但却有助于我们确定每次称量的方案，特别是第一次如何做。假设我们计划的称量次数是n，第一次在左右两盘中各放x个球，则保证下面两个不等式同时成立是解决问题的必要条件：n i2（m-2x） <3 -（平衡时）2x<3 n-1 （不平衡时）把这两个不等式稍加变换，就成了下面的样子：2m-3< x <42注意到x是整数，3n-1是奇数，2m是偶数，所以上面的不等式等价于：2m-311-1于 i l"<42严-1显然，在n 定的情况下， m越大，x的取值范围越小，而当 x只能取值- 时，m继续增 大，

14、就会导致n次称量找到坏球的计划破产。籍此，可以得岀在n定的情况下 m的取值范围：m < 一1二。发现了吗？现在 m的最大值正好比我们最初的结果少了1。同时此结果也与前面提到的4个球的实际情况相符。但分析了半天，我们只证明了m不在取值范围内时，n次称量不能确保找到坏球。那m在取值范围内的时候，肯定能找到吗？答案是肯定的，不过马上证明它有点难，先来看两个简单一点的命题。命题1:有A、B两组球，球的个数分别为a、b，且0<b-a<1，已知这些球中有且仅有一个坏球，若它在 A组中，则比正常球轻，在 B组中则比正常球重。另有一个好球。先使用无 砝码的天平称量，令口二1°彷詆）

15、，则可以找到一个称量方案，使得最多经过n次称量，就可以找到坏球（此时肯定能指岀它与好球的重量关系）。使用数学归纳法证明如下： 当n=1时，a、b的取值可能有0, 1、1，1、1，2三组，由于还有一个已知的 好球，所以不难验证此时命题成立。 假设当n=k时命题也成立。 当n=k+1时。我们将 A、B两组球分别尽量平均得分为三组，记为A1、A2、A3、B1、A1B2和B3。不影响一般性，假设这六组球按球数从少到多的排列次序也与前面的顺序一致，且 有球al个。则第一次称量时的称量方案与每组球个数的对应关系如下，其中需要注意的是：在带蓝色的两种情况下，必有A1A2A3B1B2B3称量方案a1a1a1a

16、1a1a1A1、B1放左盘；A2、B2放右盘a1a1a1a1a1a1+1A1、B1放左盘；A2、B2放右盘a1a1a1+1a1a1a1+1A1、B3放左盘；A3、B1放右盘a1a1a1+1a1a1+1a1+1A1、B2放左盘；A2、B3放右盘a1a1+1a1+1a1a1+1a1+1A2、B2放左盘；A3、B3放右盘a1a1+1a1+1a1+1a1+1a1+1A2、B2放左盘；A3、B3放右盘很明显，不管结果是什么，第一次称量之后，问题都能转化为n=k时的情形。所以，命题 1是真前面已经证明命题。n次称量无法确保找到坏球并指岀其轻重关系。但如果此时也有一个已知的好球的话，答案就不一样了，这时n次称量就已经足够（命题 2）。仍使用数学归纳法。 当n=2时，m=4,验证一下可知命题成立。 假设当n=k时命题也成立。 当n=k+1时。我们把这些球尽量平均的分成三组，则每组球的个数分别为:第一次称量时，第一组和那个好球放左盘，第三组放右盘。若平衡，问题转化为n=k时的情形，不平衡，问题转化为命题1的情形。命题成立。有了前面两个证明作基础，最初的问题就很简单了，再次祭岀数据学归纳法。由于m<5时的情况有些特殊（考虑只有一个球或两个球的情况），不能作为递推得依据，所以我们从n=3，也就是m=5开始。 当n=3时，m在5和12之间（13的情况已