二面角的平面角的题型归纳与方法

1、二面角的平面角题型归纳与方法求二而角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二而角的关 键是首先知道二而角的平而角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度, 把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。一、法向量求二而角步骤1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这 三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一立对称关系，(如正 三棱柱、正四棱柱等)利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用而而垂直 的性质泄理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系。2、求法向量：一般用

2、待左系数法求解，一般步骤如下：(1)设岀平面的法向量为n= (x,y,z)； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标0 = (®,勺,cj, Z? = («2,Z?2,c2);n a = 0(3)根据法向量的立义建立关于x、y、z的方程组: (4)解方程组，取其中的一nb = O个解，即得法向呈:。3、利用数量积公式求角：设恳，石分别是两个半平而的法向量，则由COSV®,"2 =；上求得，而5, “2 的大小或其补角的大小即为二面角的 hi k大小，应注意的方向。所以二面角的大小可以通过该二而角的两个而的法向量的夹 角求得，他等于两法向量的夹角

3、或其补角。二、考题剖析例1.在四棱锥P-ABCD中，P4丄平面ABCD9底面ABCD为矩形,AB = PA = -BC(a0).a(I)当0 = 1时，求证：BD丄PC；(H)若3C边上有且只有一个点0,使得P0丄QD,求此时二面角A-PD-Q的余弦值.解：(1)当“ =1时，底而ABCD为正方形，二BD丄AC又因为BD丄PA, :.BD丄而PAC又 PCu 而 PAC,.BD 丄 PC(II)因为AB.AD.AP两两垂直，分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，如图所示，令AB = ,可得BC = a 则 8(l,0,0),D(0,o,0)C(l,d,0),P(0,0,l)设 BQ

4、= m ,则(2(1, m,0)(0 < m < a)要使P0丄QD,只要甩QD = - + m(a-m) = O 即 m2 am + 1 = 0，由 = 0 => a = 2,此时 tn = 1。所以BC边上有且只有一个点0.使得PQ丄0D时,0为BC的中点，且a = 2设面PQD的法向虽:p =(九”1)则<p QD = 0 p DP = 0一 x + y = 0-2y + l = 0取平面PAD的法向量q = (100),则/；力的大小与二而角A - PD Q的大小相等=也，因此二面角A-PD-Q的余弦值为空6 6所以cos(pq=厶纟p q点评：一般情况下求法向

5、量用待左系数法由于法向量没规立长度，仅规左了方向，所以有 一个自由度，可把的某个坐标设为L再求另两个坐标求解法向量一般借助方程思想. 几何问题代数化，求得法向量再结合向量数量积公式求得二面角。例2、在如图所示的四面体ABCD中,ABS BC、CD两两互相垂直，且BC二CD二1 求二 面角C-AB-D的大小；分析：由于本题中没有垂直关系，需要寻找(或作出三线垂直的直线)。 解根据已知容易证明AB丄平面BCD，设以过B点且CD 的向呈为x轴，BC. BA为y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐 标系设ABm ,则 A(0 # 0 ,) , C(0 丄 0) , D(1 ,1,0),BD =(1 J 0

6、) 丽=(0 r 0 f a)平面ABC的法向呈丽 =(1,0,0) 设平面ABD的一个法向星为n = (x t y , z) 则BD n = 04 nBA n = 0x + y = 0 az =0»取 n = ( t -1,0)CD n y/2 ICDIInl 2二面角C - AB - D的大小为45°点评：解决本题关键是建立合适的直角坐标系，求得点的坐标，从而求得法向呈。再利用公式出空间角。AADD例3、如图，四棱锥P-ABCD的底WiABCD是正方形，侧棱PD丄底而ABCD , PD = DC, E是PC的中点(1) 证明P4 /平而(2) 求二而角B-DE-C的平面

7、角的余弦值；【解析】(1)以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DP所在直线为忑开乙轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD = DC = 2,则A(2,0,0), P(0Q2), E(0丄1),3(220),顾= (2,0,2)万E = (0丄 1),万8 = (2,2,0)设街=(x,z)是平面的一个法向量，则由杯-呼0得*W=0 ,取y=_得入=(1)6 切=02x + 2y = oV pa nx =2-2 = 0 , PA 丄又 P4(Z平而 BDE,所以PA/平而BDE(2)由(1)知入=(1,一1,1)是平面BDE的一个法向星 又nz = DA = (2,0,0)是平而DEC的一个法向

8、量. 设二面角B-DE-C的平面角为比 由图可知0=<nJi2 >p量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进 而写岀向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论.B例4.如图所示的几何体ABCDE.DA丄平面E43, CBIIDA、EA = DA = AB=2CB,E4丄AB, M是EC的中点.(I) 求证：。“丄励；(II) 求二面角M -BD-A的余弦值.解：分別以直线AE.AB.AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A jqz，设CB = a,贝ijA(0Q0)卫(2d,0,0),B(0,2d,0),C(0,2a,a),D(0,0,2d), 所以M(a,a,) 2(I ) ilE： DM = (2a,2a,O)2£) EA = d (2rt)+d 2d+0 = 0/. DM 丄丽，即 DM 丄(I【)解：设平而MBD的法向量为并= (x,y,z),丽= (0,2"加)，由,;丄DB 9 n I D” DB = 2ay - 2az = 0n DM = ax + ay az = 02y = z3x+y-z=O2取2 = 2得平WiMBD的一非