动点问题练习(含答案)

1、8动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的类开放性 题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中,AD BC, ZB=90° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边 以1cm7秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cnV秒的速度移动，如果P, Q分别从A, C同 时出发，设移动时间为t秒。当t=时，四边形是平行四边形：6当t=时，四边形是等腰梯形.82、如图2,正方形ABCD的边

2、长为4,点M在边DC上，且DM=I, N为对角线AC上任意-点，则DN+MN的最小值为53、s叫在Rt/kABC中.ACB=90° ，8=600 .5C=2,点。是AC的中也过点。的直线,从与重合的位胃开始,绕点。作逆时针旋转，交合3功于点始过点0作设直线的旋转角为.1）当二度时，四边形m8c是等腰梯形，此时AO的长为当二度时，四边形勖酎是直角梯形，此时AO的长为；（2）当=90时，判断四边形EMC是否为菱形，并说明理由.解：（1）30, 1：60, 1.5：（2）当Na =90°时，四边形EDBC是菱形.V Z a =ZACB=90°, IBa/ED. ：CEA

3、B, ；四边形EDBC是平行四边形 在 心A8C 中，N4CB=90。，N8=60°.BC=2. ； NA=300.1，A8=4.AC=2 3. ：.AO= 2W和Ri"。力中,:BD=2. ：.BD=BC又：二四边形EDBC是菱形4、在aABC 中，ZACB=90%四边形制:用（'是平仃四边形,AC=BC直线MN经过点C，(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADC-4CEB；DE=AD+BE：(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE：(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量

4、关系， 并加以证明.解：(1) V Z ACD=Z ACB=90° A ZCAD+Z ACD=90° ZBCE+Z ACD=90° .ZCAD=ZBCE VAC=BC .ADCACEB VAADCACEB，CE=AD, CD=BE ADE=CE+CD=AD+BE(2) ,: ZADC= ZCEB=ZACB=90° :. ZACD=ZCBE 又 ; AC=BC.ACDACBE ，CE=AD, CD=BE /.DE=CE-CD=AD-BE(3)当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE, BE=AD+DE V ZADC=ZCEB

5、=ZACB=90° :.NACD=NCBE, 又 丁 AC=BC, A AACDACBE, ，AD=CE, CD=BE, ADE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形板是正方形，点£是边50的中点.AEF=90。,且所交正方形外角DCG的平行线CF于点、F,求证：A母EF.经过思考，小明展示了 种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则止EC,易证XAME,所以在此基础上，同学们作了进步的研究：（1）小颖提出：如图2,如果把“点£是边国的中点”改为 “点£是边5。上（除S,。外）的任意点”，其它条件不变，那么结论“月

6、屋所仍然成立，你认为小颖 的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点£是6。的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“心EF'仍然成立,你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由.解：（1）正确.证明：在A3上取点使 AM =EC,连接 M BM =BE .BME = 45° ,AME =135。Q CF 是外角平分线，DCF = 45°Q AEB+ A4E = 9(T , AEB + CEF =90° , (ASA (2)正确.ECF AME = ECF .B

7、AE= CEF, /AME /BCF证明：在BA的延长线上取点N ,使AN=CE,BN=BE . N= PCE = 45° .Q四边形A8CO是正方形，AD/BE . DAE= BEA . NAE=CEF . AANE 也ECF (ASA).AE =EF .6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外,点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P MB方向以1个单位/连接NE秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1） PAB为等腰三角形的t值：（2） PAB 为直角三角形的t值：（3） 若AB=5且NABM=45 ° ,其他条件不变，直 接写出 PAB为直角三角形的t值7

8、、如图1,在等腰梯形A3CD中，AD/BC , E是A3的中点，过点E作EFBC交CD于点F . AB =4, BC =6, ZB=60 .求：（1 ）求点上到 BC 的距离:（2）点P为线段E厂上的个动点，过尸作PM _LE/交3c于点M ,过M作MN / A3交折线AOC于点N ,连结PN ,设EPa当点”在线段4。上时（如图2） , "MV的形状是否发生改变？若不变，求出&PMN的周长：若 改变，请说明理由：当点N在线段上时（如图3）,是否存在点尸，使"”'为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的工的值；若不存在，请说明理由BE AB =2-解（1）

9、如图1,过点E作egbc于点G.E为AB的中点，2BG=%BE=1, EG = 22-P= 3.在RABG 中，/B = 60 , ；./BEG = 30 .即点E到3c的距离为3当点N在线段AO上运动时，PMN的形状不发生改变.PM ± EF, EG _LEF, ：. PM / EG.V EF MBC,；.EP=GM, PM=EG=3. 同理 MN=A8=4.如图2,过点P作PH工MN于H , / MN /AB,，NNMC=NB = 60, NPMH =30. =l2=23.:.MH = PM gcos30 = 3 . 则 NH =MN-MH =4-3= 5.2 22在 RtZPN

10、H 中，PN = NH2+ PH1+币.：.XPMN 的周长=PM +PN+MN = 3+ 7+4.当点N在线段DC上运动时，PA/N的形状发生改变，但A/NC恒为等边三角形.当PM = PN时, 如图 3 ,作 PR _L MN 于 R ,则 MR = NR.3类似，MR = 3.，mn=2MR=3.MNC是等边三角形，,.MC = MN=3.2此时，x=EP=GM =BC-BG-MC=6-l-3=2.当 MP = MN 时，如图 4,这时 MC = MN = MP = 3. 此时，x = EP = GM = 6-1 - 3 = 5 - 3. 当 NP=NM 葩,如图 5, /NPM=/PM

11、N=3G .则NPMN=120 ,又/MNC = 60 , ：NPNM+NMNC=18O . 因此点P与尸重合， PMC为直角三角形.:.MC = PM gtan 30= 1. 此时，x = EP = 6-1 - 1 = 4.综上所述，当工=2或4或（5-3）时，PMN为等腰三角形.8、如图，已知"8c中，A8 = 4C=10厘米，8c =8厘米，点。为A3的中点.（D如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，"即与是否全等，请说明理由: 若点Q的运动速度与点P的运动速度不

12、相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使F叨与纤。户全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿"8c三边运 动，求经过多长时间点P与点Q第次在BC的哪条边上相遇？解：（）>=1秒，.*P=C°=3 1=3厘 米，V A8=10厘米，点。为AB的中点， 30 = 5厘米.又,: PC = BC - BP, BC=8 厘米，PC=83=5 厘米，:.PC=BD l ：AB= AC.B= C 产PMQP如 旭 BP CQ ABPDACQP B= CBP=PC=4, CQ=BD=580BP 4.点P,点。运动的时间 33秒，2）设

13、经过工秒后点P与点。第次相遇,4=43 厘米/，8Ux=3x+210,x=由题意，得4，解得.秒.80 3=80，点0共运动了厘米.802 28.24，点p、点。在A8边上相遇,，经过3秒点P与点。第次在边A8上相遇.9、如图所示，在菱形A8CO中，48=4, NBAO=120。，ZXAE/为正三角形，点从尸分别在菱形的边CD上滑动，且从产不与从C. D重合.（1）证明不论E、尸在8C.CO上如何滑动，总有BE=CF：（2）当点脱厂在BC. C。上滑动时，分别探讨四边形AECF和的面积是否发生变化？如果不变, 求出这个定值：如果变化，求出最大（或最小）值.ED答案】解：（1）证明：如图，连接A

14、C丁四边形ABCD为菱形，ZB/4D=12O°,N8AE+NE4C=60。，NE4C+NE4C=60。，NBAE=NFAC° : ZBAD=120SA ZABF=60°o A8C 和ACO 为等边三角形。A ZACF=60S AC=AB.:/ABE=NAFC。，在ZXABE 和ACT 中，9： ZBAE=ZFAC. AB=AC. ZABEZAFC,：.AABEACF (ASA ) ° :BE=CF。2）四边形AECF的面积不变，ACEF的面积发生变化。理由如下:由(1)得ABEgZkACR 则 S：.ABE=S.ACFaAS 3功形 AECF=S&

15、;AEC+SaAC尸 =S4EC+S. .A8E=SaA6C, 是定值。作AHLBC于点，则BH=2,ss M BC AH=,.BC AB2BH2 = 4 3。,四边形AECABC .由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与8。垂宜时, 边AE最短.WXAEF的面积会随着AE的变化而变化，且当4E最短时，正三角形AEF的面积会最小,又S CEF= S VW AECF-S公AEF ,则此时 CEF的面积就会最大.SCE尸边形 AECF S&AEF ;4不一卜,的:ZEF的面积的最大值是3 o【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性

16、质。【分析】（1）先求证AB=AC.进而求证A8C、AACD为等边三角形，得NAC/=60。，AC=AB,从而 求证 ABE/XRCF, 可求得 BE=CF.2） fll AACF 可得 Sj abe=S：acf9 故根据 S n/形 AKF=S,、/Er+S.uc4sAyi£c+S.5sE=Sa4B。 即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短.4斤的面 积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S-5四边杉应/一 s."EF,则 CEF的面积就会最大。10、如图，在AOB 中，ZAOB=90S OA

17、=OB=6, C 为 OB 上点,射线 CD«LOB 交 AB 于点 D, OC=2,点 P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止.过点P作PjER%百利*。乐峪峪丁点F,得到矩形 PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN, 搦礴淄槛降髓孤腑仆嚼 新影）部分图形面积S与t的函数关系式4）直接写出QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.考点：相似形综合题.分析：（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t,再将t=l代入求出FC的长度：（2）根据MN=PF,可得关于t的方程6t=2t,解方程即可求解：（3）分三种情况：求出当13区2时；当2区时：当S3时：求出重叠（阴影）部分图形而积S与t的函数关系式；（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.解