平面向量基本定理及坐标表示练习题_第1页
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1、平面向量基本定理及坐标表示A 级基础题基稳才能楼高1(2019·内江模拟 ) 下列各组向量中,可以作为基底的是()Ae1 (0,0) ,e2 (1,2)Be1 ( 1,2) ,e2(5,7)Ce1 (3,5) ,e2 (6,10)1 3 De1 (2 , 3) , e2 2, 4解析:选 BA 选项中,零向量与任意向量都共线,故其不可以作为基底;B选项中,不存在实数,使得e,故两向量不共线,故其可以作为基底;C 选项中,e1222e1,两向量共线,故其不可以作为基底;D选项中, e1 4e2,两向量共线,故其不可以作为基底故选B.2(2019·石家庄模拟 ) 已知向量 a

2、(1 ,m),b(m, 1) ,则“ m1”是“ ab”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选 A2向量 a (1 ,m),b (m, 1) ,若 ab,则 m 1,即 m± 1,故“ m1”是“ ab”的充分不必要条件,选 A.3(2019·天津六校期中联考 ) 已知向量 a (1,2),a b(4,5), (x,3) ,若 (2acb) ,则x()cA 1B 2C 3D 4解析:选 Ca (1,2) ,a b (4,5) , b a (a b) (1,2) (4,5) ( 3,3) , 2a b2(1,2)( 3,3) ( 1

3、,1) 又 c( x, 3) ,(2a b) c, 1×3x 0, x 3. 故选 C.14(2019·兰州模拟 ) 已知向量 a (1 sin ,1) ,b 2,1sin ,若 ab,则锐角 ()A.6B.45C.3D.121解析:选 B因为 ab,所以 (1 sin ) ×(1 sin ) 1× 1 0,得 sin21,222所以 sin ±2 ,故锐角 4 .5(2019·福建莆田二十四中期中 ) 在平行四边形中,AC与BD交于点 ,ABCDOF)是线段 DC上的点若 DC3DF,设 AC a,BD b,则 AF (1121A.

4、 4a2bB. 3a 3b1112C. 2a4bD.3a 3b解析:选 B如图所示,平行四边形 ABCD中,AC与 BD交于点 O,F 是线段 DC上的点,且 DC 3DF, 11 1 DF3DC3( OCOD) 6(AC BD ),ADOD1111 1 12OA 2BD2AC.则 AFAD DF 2BD2AC 6(ACBD)3 BD321AC 3a 3b. 故选 B.B 级保分题准做快做达标 1(2019·福州期末 ) 已知 a (1,2),b ( 1,1), c 2a b,则 | c| ()A.26B3 2C.10D.6解析:选 Ba(1,2) ,b ( 1,1),c 2ab (

5、3,3),| c| 9932,故选 B.2(2019·长沙一模 ) 已知向量 (k,12) , (4,5),( k10) ,且 ,OAOBOC,A,三点共线,则 k 的值是 ()B C24A 3B. 311C. 2D.3解析:选 A 2k,2) AB OB OA(4 k, 7) , AC OCOA(2A,B,C三点共线,AB, AC共线, 2×(4 k) 7×( 2k) ,解得 k 3.21,tan3(2019·丹东五校协作体联考) 向量 a 3 ,b(cos ,1) ,且 ab,则 cos 2 ()11A. 3B 377C. 9D 911解析:选 Ca

6、 b, a 3, tan , b (cos,1) , 3tan·cos 121 270, sin 3, cos 212sin12×3 9. 故选 C.4.(2019 ·深圳模拟 ) 如图,在正方形 ABCD中, M是 BC的中点,若 ,则()AC AM BD45A. 3B. 315C. 8D2解析:选 B以点 A为坐标原点,分别以 AB , AD的方向为 x, y 轴的正方向,建立平面直角坐标系 设正方形的边长为2,则 A(0,0),C(2,2) ,M(2,1) ,B(2,0) ,D(0,2) ,所以 AC (2,2) ,AM(2,1), BD( 2,2) ,所以

7、 AM BD (2 2,4,2) ,因为 ,所以2 2 2,解得3所以AC AM BD 2 2,13,53. 故选 B.5(2019·邹城期中 ) 在 ABC所在平面上有三点P,Q,R,满足 PA PB PC PQR的面积与 ABC的面AB,QAQBQCBC, RARB RCCA,则积之比是 ()A12B13C14D15解析:选 B 由 PAPBPCAB,得 PAPC PB AB,即 PA PC AB BP AP,3Q, R的位置 PC 2 AP ,则 P为线段 AC的一个三等分点,同理可得 PQR的面积为 ABC的面积减去三个小三角形面积设ABC的内角 A, B,C所对的边分别是a

8、,b, c,则 SS (12c1112a1 12×3 ×3bsinA2×3c×3 sin B2×3 PQRABCa×3 sin C ) S9×3S3S, PQR与 ABC的面积比为13. 故选 B.2bABC2ABC 1ABC6已知平面直角坐标系内的两个向量a (m,3m 4) , b(1,2),且平面内的任意向量 c 都可以唯一地表示成c a b( , 为实数 ) ,则 m的取值范围是 ()A( , 4)B(4 ,)C( , 4) (4 , )D( ,)解析:选 C平面内的任意向量c都可以唯一地表示成ab,由平面向量c基本

9、定理可知,向量a,b 可作为该平面所有向量的一组基底,即向量a,b 是不共线向量又因为 a (m 3m4) ,b (1,2),则 m×2 (3m4) ×10,即 m4,所以 m的取,值范围为 ( , 4) (4 , ) 7(2019·淮南一模 ) 已知 G是 ABC的重心,过点 G作直线 MN与 AB,AC分别交于点,且,(x,>0),则 3 的最小值是 ()M NAMx ABANy ACyx y87A. 3B. 25423C. 2D.33111解析:选 D如图 AC yAN, ABx AM,又 AG3 AB111113AC,AG3AM3yAN,又 M,G,

10、N三点共线, 3 3yxx111 yx4231.x>0,y>0, 3x y (3 x y) ·3x 3y 133xy33 . 当且仅当 y3x 时取等号故选 D.8在平面直角坐标系xOy中,已知 A(1,0), B(0,1) , C 为坐标平面内第一象限内一点且 AOC 4,|OC| 2,若 OC OA OB,则 ()4A22B.2C2D42解析:选 A因为 | OC| 2, AOC 4 ,所以 C(2, 2) ,又 OC OA OB,所以 (2,2) (1,0) (0,1) ( ,) ,所以 2, 22.9. 如图, A,B,C 是圆 O上的三点, CO的延长线与线段

11、BA的延长的取值范围是线交于圆 O 外一点 D,若 OCm OA n OB,则 m n()A(0,1)B(1 ,)C( , 1)D( 1,0)解析:选 D 由点 D是圆 O外一点,可设 BD BA ( >1),则 OD OB BA OA (1 ) OB. 又 C,O,D三点共线, 令 OD OC( >1) ,则 OC 1 1 1OA · OB ( >1,>1),所以 m ,n ,则 mn 1 ( 1,0)10(2019·福清校际联盟期中 ) 已知向量 a (1,2) ,b(3,4),则 a b_.解析: a b (1,2) (3,4) (4,6)答案

12、: (4,6)4 111. 如图,在 ABC中,已知 3BN BA 3BC,点 P在线段BN上,若 AP AB3 16 AC,则实数 的值为 _4111解析:3BNBA3 BC可化为AN3NC,即 AN4 AC,因为AP AB3 ,所以3. 由, ,三点共线可得1.16ACAP AB4 ANB P N4答案:14512已知点 A(2,3) ,B(4,5) ,C(7,10) R),且点 P在,若 AP AB AC (直线 x 2y 0 上,则 的值为 _解析:设(,) ,则由,得 (x2, 3) (2,2) (5,7)P xyAPAB ACy(2 5 ,27) ,所以 5 4,75. 又点P在直

13、线2 0上,故 5xyxy2 4 2(7 5) 0,解得 3.答案:2313. 如图, 点在的内部,E是边的中点,且有 2OABCBCOAOBAOC的面积的比为 _3 OC 0,则 AEC的面积与解析:取 AC的中点 D,连接OE,OD.因为 D, E分别是 AC, BC边的中点,所以OA OC2OD,OB OC2OE,因为 OA2 OB3OC 0,所以 2 4 0,所以, ,三点共线,且|DE|3. 又因为与都以ODOEO DE| |2AECAOCACOD为底,所以的面积与的面积的比为 3 2.AECAOC答案: 3214. 如图, AB是圆 O的直径, C, D 是圆 O上的点, CBA6

14、0°,45°,求y的值ABDCDx OAy BCx解:不妨设圆的半径为 1,O则 A( 1,0) , B(1,0), D(0,1),C 1,3 ,2213所以 CD 2,1 2,13BC 2, 2.又 CDx OAy BC,13所以 ,12261 3 x( 1,0) y 2, 2 .1 1 2 x2y,所以331 2 2 y,x 3 3,3解之得332y,3所以 x y3 33 233.33315已知 ( 2,4) , (3 ,1) , ( 3, 4) 设 a, b, ,且ABCABBCCA cCM 3c, CN 2b.(1) 求 3a b 3c;(2) 求满足 a mb nc 的实数 m, n;(3) 求 M, N的坐标及向量MN的坐标解:由已知得a(5 , 5) , b ( 6, 3) , c(1,8) (1)3a b3c3(5 , 5) ( 6, 3

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