空间向量和立体几何的练习的题目及问题详解

1、1 如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABC助正方形，平面PADL平面ABCD点M在线段 PB上, PD/平面 MAC PA=PD, AB=4(1) 求证：M为PB的中点；(2) 求二面角B- PD- A的大小；【分析】(1)设ACH BD=O则0为BD的中点，连接0M利用线面平行的性质证 明OM/ PD再由平行线截线段成比例可得 M为PB的中点；(2) 取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得 PGL平面ABCD贝UPGLAD，连接0G则PGL0G再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面 PBD与平面PAD的一

2、个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角 B- PD- A的大小；(3) 求出r的坐标，由r与平面PBD勺法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACH BD=O ABCD正方形，二O为BD的中点，连接OM PD/平面 MAC PD?平面 PBD 平面 PBDH 平面 AMC=OM PD/ OM则二-，即M为PB的中点；BD BP(2) 解：取AD中点G, PA=PD- PGLAD平面PADL平面 ABCD且平面PADH平面ABCD=AD PG!平面 ABCD 贝U PG!AD,连接 OG 贝U PG1OG由G是AD的中点,O是AC的中

3、点,可得 OG/ DC贝U OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标 系，由 PA=PD=5, AB=4 得 D (2, 0, 0), A (-2, 0, 0), P (0, 0,血)，C (2,4, 0)，B(-2, 4, 0)，M(- 1, 2誓，则由匸吁°,得、L m*DB=O设平面PBD的一个法向量为：|,cos<_ ：|> =Mini 2X1 2取平面PAD的一个法向量为二面角B- PD- A的大小为60°(3) 解：二；-，平面BDP的一个法向量为：厂1.直线 MC与平面 BDP所成角的正弦值为|cos

4、 < ,. >|=| -|= 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中 档题.2.如图，在三棱锥 P- ABC中, PAL底面ABC / BAC=90 .点D, E, N分别为 棱PA PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 AB=2(I)求证：MN/平面BDE(U)求二面角C- EM- N的正弦值；(川)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为'，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF/平面BDE NF/平面BDE得到平面 MFN/平面BDE则MN/平面BDE(U)由PAL底面

5、ABC / BAC=90 .可以A为原点，分别以AB AC AP所在 直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量， 由两法向量所成角的余弦值得二面角 C- EM- N的余弦值，进一步求得正弦值；(川)设AH=t,则H(0, 0, t),求出丽、豆的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为|列式求得线段AH的长.21【解答】(I)证明：取AB中点F,连接MF NF, M为 AD中点，二 MF/ BD BD?平面 BDE MF?平面 BDE 二 MF/ 平面 BDE N为 BC中点，二 NF/ AC,又D E分别为AP PC的中点，二DE/ AC,则NF/ D

6、Ev DE?平面 BDE NF?平面 BDE 二 NF/ 平面 BDE又 ME NF=F平面 MFN/平面BDE则MN/平面BDE(U)解：v PA!底面 ABC / BAC=90 .以A为原点，分别以AB AC AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.v PA=AC=4 AB=2 A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C (0 , 4 , 0), M( 0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0), E(0 , 2 , 2),则.一，11. 一，设平面MEM勺一个法向量为；, ,lid*ME-02y+z=0，取z=2，得仏-I J由图可得平面CME勺一个法向

7、量为44/21:cosa 卜='i；n；rv2fxi- 21面角C- E* N的余弦值为厂，则正弦值为；(川)解：设 AH=t，贝U H (0, 0, t ),宀-1，- ： ：.:.；直线NH与直线BE所成角的余弦值为；， |cos 丁，肓| = |丁 |=| 山-|=二解得：t= 或t= 1 .52当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为1，此时线段AH的长为21【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考 查计算能力，是中档题.3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABC(及其内部)以AB边所在 直线为旋转轴旋转120°得到的

8、，G是I的中点.(I)设P是卜上的一点，且 API BE,求/ CBP的大小；(U)当AB=3 AD=2时，求二面角E-AG- C的大小.i f I*【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得 BEX平面ABP得到BE! BP,结 合/ EBC=120 求得/ CBP=30 ;(U)法一、取五的中点H,连接EH GH, CH,可得四边形BEGH为菱形，取AG 中点M 连接EM, CM EC得到EML AG CM! AG 说明/ EMC为所求二面角的平 面角.求解三角形得二面角 E-AG- C的大小.法二、以B为坐标原点,分别以BE, BP, BA所在直线为x , y , z轴建立空间直 角坐标

9、系.求出A, E, G C的坐标,进一步求出平面 AEG与平面ACG的个法 向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 E- AG- C的大小.【解答】 解：(I)： APL BE, AB丄 BE,且 AB AP?平面 ABP ABA AP=A BE!平面ABP又BP?平面ABP BE! BP,又/ EBC=120 ,因此/ CBP=30 ;(U)解法一、取三的中点H ,连接EH GH CHEBC=120 ,二四边形BECH为菱形,AE=GE=AC=GC=.取AG中点M连接EM CM EC,贝U EM! AG CM! AG / EMC为所求二面角的平面角.又 AM=1 EM二CM=，:二.在厶

10、BEC中 ,由于/ EBC=120 ,由余弦定理得：EC=22+22- 2X 2X 2X cos120° =12,二、,因此 EMC为等边三角形,故所求的角为60 解法二、以B为坐标原点，分别以BE, BP, BA所在直线为x, y, z轴建立空间 直角坐标系.由题意得：A（ 0，0，3），E（ 2, 0，0），G（ 1,3），C （- 1, 丁5, 0）,故 A'.-1.- h, J, h. 仁.yr引）为平面AEG的一个法向量,m*AE=O，得,I m AG 二。-3z i=0內+咼产0,取Z1=2,得&S刃;设为平面AC个法向量,由、n*AG=0，可得*x2+V

11、3y2-o2吧+ 3忑2=0，取 Z2=- 2,得:-J.-二 cos V面角E-AG- C的大小为60【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角 的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.4.如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD/ AFD=90，且二面角 D- AF- E与二面角C- BE- F都是60(I)证明平面 ABE吐平面EFDC【分析】(I)证明AF丄平面EFDC利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEFL平面 EFDC(U)证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求

12、 出平面BEC平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E-BC- A的余弦值.【解答】(I)证明：ABEF为正方形，二AFLEF.vZ AFD=90，二 AFL DF,v DFn EF=F, AFL平面 EFDCv AF?平面 ABEF平面ABEL平面EFDC(U)解：由 AFLDF, AFLEF，可得Z DFE为二面角D- AF- E的平面角；由ABEF为正方形，AFL平面EFDCv BE! EF， BE!平面 EFDC即有CE! BE,可得Z CEF为二面角C- BE- F的平面角.可得Z DFEZ CEF=60 .v AB/ EF，AB?平面 EFDC EF?平面 EFDC AB/

13、 平面 EFDCv 平面 EFDn 平面 ABCD=C,DAB?平面 ABCD AB/ CD CD/ EF,四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a则 E（ 0，0，0），B（ 0，2a，0），CC，0,a），A（ 2a，2a，0），2 2EB = （0，2a，0），DC =（空，- 2a,返a），AB = （- 2a，0，0）2 2*设平面BEC的法向量为匚=（xi，yi，zi），则号-0，L in*BC=0ff *设平面ABC的法向量为：=（X2，y2，Z2），贝h 丁弓一°Ln'AB=0设二面角E- BC- A的大小为B,则cos 9 =

14、-/I m I* I n | =-4_ 2负二化1-，【点评】本题考查平面与平面垂直的证明， 考查用空间向量求平面间的夹角， 建 立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5如图，菱形 ABCD勺对角线AC与BD交于点O, AB=5 AC=6点E，F分别 在 AD CD上, AE=CF= , EF交于 BD于点 H, # DEF沿 EF折至D' EF的位置， OD =血.(I)证明：D' H丄平面ABCD(U)求二面角B- D A- C的正弦值.【分析】(I)由底面ABCD为菱形，可得AD=CD结合AE=CF可得 EF/ AC再由 ABCD是菱形，得 AC丄BD

15、进一步得到 EF丄BD由EF丄DH可得EF丄D' H,然 后求解直角三角形得D' H丄OH再由线面垂直的判定得 D' H丄平面ABCD(n)以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到佥矿、正的坐标，分别求出平面 ABD与平面AD C的一个法向量 二.,，设二面角二面角B- D' A- C的平面角为B，求出|cos 9 | .则二面 角B- D' A- C的正弦值可求.【解答】(I)证明：ABCD1菱形, AD=DC 又 AE=CF=，厂，则 EF AC,又由ABCD是菱形，得 ACL BD贝U EF丄BD EF丄 DH 贝U

16、 EF丄 D' H, AC=6 AO=3又 AB=5 ACL OB OB=4二 OH坦叩D=1，贝U DH=D H=3 AD|OD' |2=|OH|2+|D' H|2，贝u d' H±OH又 OFT EF=H D H丄平面ABCD(n)解：以h为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系, AB=5 AC=6 B (5 , 0, 0), C (1, 3, 0), D (0, 0, 3), A (1, 3, 0),厂.一.:1.-:,'，,设平面ABD的一个法向量为yf “,ni AB二°由，上.，得丿nAD' =0z=5.4x+3y

17、=0，取 x=3，得 y= 4,p+3y+3沪 0同理可求得平面AD C的一个法向量门?二(3, 0, 1),设二面角二面角B- D A- C的平面角为B, 则-1=已十【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用 平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.6 .在三棱柱 ABC A1B1C中，CA=CB侧面ABBA1是边长为2的正方形，点E, F 分别在线段 AA、AiBi上，且 AE= , AF=； , CELEF.24(I)证明：平面ABBAi丄平面ABC(U)若CALCB求直线AC与平面CEF所成角的正弦值.【分析】(I )取AB的中点D,

18、连结CDDF, DE计算DE EF, DF,利用勾股定理的逆定理得出 DEL EF,由三线合一得 CDLAB,故而CDL平面ABBAi，从而平面ABBAi丄平面ABC(II )以C为原点建立空间直角坐标系，求出一和平面CEF的法向量-I,则直 线AC与平面CEF所成角的正弦值等于|cos <1 _I -【解答】证明：(I )取AB的中点D,连结CD DF, DE AC=BC D是 AB的中点，二 CDLAB. AE=； , EF=；侧面ABBA，是边长为2的正方形,AE= , AF= ._-=丄：亠丁 , DE=,DF=-严(1爭哼, eF+dE=dF,. DEI EF,又 CEL EF

19、, CEH DE=E CE?平面 CDE DE?平面 CDE EF丄平面CDE又CD?平面CDE CDL EF,又CDL AB AB?平面ABBAi , EF?平面ABBAi , AB, EF为相交直线, CDL平面 ABBA,又 CD? ABC平面ABBAi丄平面ABC(II 平面ABBA丄平面ABC三棱柱ABC- ABiC是直三棱柱，二CG丄平面ABCv CAL CB AB=2 二 AC=BC=.以C为原点,以CA CB CC为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则 A", 0, 0)C(0, 0 OX。0, 2)，E", 0 寺，F(晋，等,2).陌=（F, 0, 2

20、），CE=（近,0，寺），CF=（晋，等,2）.设平面CEF的法向量为n= （x, y, z），贝U上竺z=0Ln-CF=0，令 z=4,得 'i= (-*，- 9 ':, 4).2z=0V2+y晋.=10，|、i|=6=,丨_ |=:.=fe-宀 n<ACi iJ 八=丨-=.直线AC与平面CEF所成角的正弦值为 .18【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中 档题.7.如图，在四棱锥中 P- ABCDPAL平面 ABCDAD/ BC AD丄CD 且 AD=CD=，,BC=4 匚,PA=2(1) 求证：AB丄PC(2) 在线段PD上，是否存

21、在一点 M使得二面角M- AC- D的大小为45°，如 果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性质求出 AB AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB丄AC 由PAL平面ABCD寻出AB丄PA 故AB丄平面PAC于是AB丄PC(2)假设存在点M做出二面角的平面角，根据勾股定理求出 M到平面ABCD勺 距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC勺距离h,根据勾股 定理计算BM则£即为所求角的正弦值.BN【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2匚，BC=4 二， AC=4 AB=J(bc_

22、牺)丸 D 2=4, ABC是等腰直角三角形，即 AB丄AC, PAL平面 ABCD AB?平面 ABCD PAL AB, AB丄平面PAC，又PC?平面PAC， AB丄 PC.(2)假设存在符合条件的点 M,过点M作MNLAD于 N,则MN/ PA MNL平面 ABCD： MNL AC过点M作MGLAC于G 连接NG贝U ACL平面MNG ACL NG即/ MGI是二面角M- AC- D的平面角.若/ MGN=4°5 ,贝U NG=MN又 AN= =NG= = MN MN=1即M是线段PD的中点.存在点M使得二面角M- AC- D的大小为45°.在三棱锥 M ABC中,

23、VM-ab(= 1 SbC? MN=_ 二迖、二匕,3323设点B到平面MAC的距离是h,则Vb-ma=3 MG= :MN=.:,二 Sama= j_=.： .：=2 .：,.-=：，解得 h=2 二.在厶 ABN中, AB=4 AN，/ BAN=135 , BN* &+2+2 X 4 x五 逅, BM= :U【=3 :, BM与平面MA(所成角的正弦值为：-二兰匸BN 9档题.8.如图，在各棱长均为 2的三棱柱 ABC ABC中，侧面 AACC丄底面ABC / AiAC=60 .(1) 求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；(2) 已知点D满足丨在直线AA上是否存在点P,使DP

24、/平面ABC? 若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.【分析】(1)推导出A0丄平面ABC BOLAC,以0为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系O- xyz，利用向量法能求出侧棱 AA与平面ABC所成角的正 弦值.(2)假设存在点 P符合题意，则点 P的坐标可设为 P ( 0, y , z)，则 '二-，匚.利用向量法能求出存在点P,使DP/平面ABC,其坐标为(0， 0，血)，即恰好为Ai点.【解答】解：(1)v侧面AACCL底面ABC作AO丄AC于点O, AO丄平面ABC又/ ABC=/ AiAC=60，且各棱长都相等， AO=1 OA=OB餌,BOLAC. ( 2

25、 分)故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz ,则 A (0,- 1, 0), B (逅，0, 0), Ai (0, 03), C (0, 1, 0),；AA广(0, 1 Vs), AB= (山, AC= (0, 2, 0). ( 4分)设平面ABC的法向量为vn - A B j = V3x+ 2y-V3 0-r 一，取 X=1，得 口= （ 1, 0, 1）.L np AC=2 尸 0AAi"n 1=丽品:|= 设侧棱AA与平面ABC所成角的为B,则 sin B =|cos v _ |, Q |=|iL| 临卜 |口 I 2V24侧棱AA与平面ABC所成角的正弦

26、值为.( 6分)(2)： l = _I割，而：；-.山，上；匚 一 一山， 而=（-2丘,0, 0）,又t B （品山 °）,二点 D （-苗,0 , 0）.假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P( 0, y, z), 眉二碍 y, C DP/平面ABIC, ,= (- 1, 0, 1)为平面ABC的法向量，又DP?平面ABC,故存在点P,使DP/平面ABC,其坐标为(0, 0,),即恰好为Ai点.(12分)【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与 求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9.在三棱柱 ABC- A1B1C中，侧面 A

27、BBAi为矩形，AB=2 AA=2逅,D是AA的中 点，BD与 AB交于点O,且CQL平面ABBA .(I)证明：平面ABC丄平面BCD(U)若OC=OA ABC的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.A D【分析】(I)通过证明AB丄BD, AB丄CO推出AB丄平面BCD然后证明平面ABC丄平面BCD（U）以0为坐标原点，分别以OD OB, 0C所在直线为x, y, z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系 0- xyz 求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC 所成角a,利用空间向量的数量积求解直线 GD与平面ABC所成角的正弦值即可.【解答】（本小题满分12分）解：（I）：

28、ABBA.为矩形，AB=2 .-, D 是 AA 的中点，二/ BAD=90 ,:| WI ，-，.'.jJ - _从而.1'- ， j I：.叮'一 二一二，t 一 一. 一二，_ 一讥.1 一.，/ ABD2 ABB,（2 分）讣". 一讣W厂工， .，从而AB丄BD（4分）t COL平面 ABBA, AB?平面 ABBA,二 AB丄CO ： BDA C0=0 - AB丄平面 BCD / AB?平面 ABC,平面ABC丄平面BCE>-（ 6分）（U）如图，以O为坐标原点，分别以OD OB, OC所在直线为x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

29、 O- xyz .在矩形ABBA1中，由于 AD/ BB,所以 AODfA BiOB相似， 从而：OA OD AD 占又<'!- ，二1,11广 "二卜；-1, I ，二 I.-'：,二 '':I.：，爪t G 为厶 ABC 的重心，八.二.丄二：，少二 二.'；-（ 8 分）设 平 面 ABC 的 法 向 量 为 ：,；.:,一二 J 亠二:，t n - AC =0由匹号。可得,y+z=O令 y=1,则 z=- 1,，所以 *匚手.,( 10 分) 设直线 GD 与平面 ABC 所成角 a , 则川D 4W6565所以直线GD与平面AB

30、C所成角的正弦值为-( 12分)【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用， 直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力.10 在矩形ABCD中, AB=4 ：, AD=2 ：，将 ABD沿 BD折起，使得点A折起至A , 设二面角A'- BD- C的大小为B.(1) 当B =90°时，求A C的长；(2) 当cos 9 =时，求BC与平面A BD所成角的正弦值.yAAD F/ 【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE利用勾股定理 及余弦定理计算 AE CE由A E丄CE得出A C;（2）利用余弦定理可得 A F二=，从而得出A F丄平面

31、ABCD以F为原点建 立坐标系，求出I】和平面A BD的法向量则BC与平面A BD所成角的正弦 值为|cos|,>| 【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于 E,交DC于 F,连接CEcos / cbe= = tT AB=4 ", AD=2BD= | - *=10.t npDA; =0在 BCE中，由余弦定理得CE=|=2 - ；.V0 =90°,二 A E 丄平面 ABCD： A E 丄 CE |A ' C|=| ：上 一=2 .：(2) de=2 tan / FDE= ：；, EFN, DF= - |=匸.当仝 - I 即 COS/ A EF

32、=_ 时，止I J . A U=A' F+eF,：/ A'FE=90°又 BDL AE BDL EF,： BDL平面 A'EF,： BDLA'F A'F丄平面ABCD以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA'为z轴建立 空间直角坐标系如图所示： A'( 0, 0, "?), D (二，0, 0), B (3 匸，2 三，0), C (3 =, 0 , 0). 1= (0 , 2 - , 0), != (4 - , 2 二,0), 二(-,0,=).设平面A BD的法向量为n= (x , y , z)

33、,贝叭“ "一° ,得 i= ( -； , 2 : , 1).cos V：,|',> =八乜h_ 匚丨乏勺. BC与平面A'BD所成角的正弦值为二.【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题.11.如图，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱锥 D- BBCC构成的几何体中，/BAC=90，AB=1, BC=BE=2, GD=CD施，平面 CGD丄平面 ACCAi.（I）求证：AC丄DG;（U）若M为DC的中点，求证：AM/平面DBB;ACL DC.（川）在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BBD所成的角为=?若存（U

34、）易得/ BAC=90，建立空间直角坐标系 A- xyz，依据已知条件可得A（0，0，0），沁岳 °），S価，0），B （0，0，1），B （2，0，1），DQ, 75 2），利用向量求得AM与平面DBB所成角为0，即AM/平面DBB.（川）利用向量求解【解答】解：（I）证明：在直三棱柱ABC- ABC中，CG丄平面ABC故Ad CC,由平面CCD丄平面ACCA1，且平面CCDG平面ACGA=CC,所以AC丄平面CGD,又CiD?平面CCD,所以AC丄DC.（U）证明：在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA丄平面ABC所以AA丄AB, AA丄AC又/ BAC=90，所以，如图建立

35、空间直角坐标系 A- xyz ,依据已知条件可得A（0, 0, 0）,二如曲。，打., B（0, 0, 1）,Bi （2, 0, 1）, D（l,五 2）,所以:1-'：.-. ", II，石 L 7L设平面DBB的法向量为；.二，px-0令 y=1，则二.:',x=0,于是, 因为M为DC中点，所以 点:，所以，由：.：.- II, | I,可得乩 |,所以AM与平面DBB所成角为0, 即AM/平面DBB.（川）解：由（U）可知平面 BBD的法向量为p, T 门】设 丁- '，入 0 , 1,若直线 DP 与平面 DBB 成角 为三， 则- -'-：

36、，I n | | DP | 吋4 入 J 入 +52解得故不存在这样的点.D【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中 档题12.如图，在多面体 ABCDE中，底面 ABCD为正方形，平面 AEDL平面 ABCDAB吨EASED EF/ BD(I )证明：AE丄CD(II )在棱ED上是否存在点M使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为鼻？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.EB【分析】(I )利用面面垂直的性质得出 CDL平面AED故而AE1 CD(II )取AD的中点0,连接EQ以0为原点建立坐标系，设 善，求出平面BDEF的法向量、令|cos V.

37、： |> | ，根据方程的解得出结论.【解答】(I )证明：四边形ABCD是正方形，二CDLAD又平面AEDL平面 ABCD平面 AED?平面 ABCD=ADCt?平面ABCD CDL平面 AED T AE?平面 AED AE1 CD(II )解：取AD的中点0,过0作ON/ AB交BC于N,连接EQ EA=ED-OELAD 又平面 AEDL平面 ABCD 平面 AEDA 平面 ABCD=A，OE?平 面AED OEL平面 ABCD以O为原点建立空间直角坐标系 O- xyz，如图所示：设正方形ACM边长为2, 一-.ED则 A (1, 0 , 0), B (1 , 2 , 0), D (

38、- 1 , 0 , 0) , E (0 , 0 , 1), M (-入，0 , 1-入)"匸(入1 , 0 ,1 -入)，:：><=(1 ,0 ,1) ,!= (2 ,2 ,0),设平面BDEF勺法向量为戸(x , y , z),n*DB=O则卍竺a ,即*Ln-DE=O2x+2y=0 ,令 x=1 得；=(1 , - 1 , - 1),Lx+z=OcosVAM-n' > 二._ n I | | n | V3 2 2+2|=»，解得入=0 ,3【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题.13.如图,在四棱锥 P ABCD中

39、 , / ABC玄 ACD=90 , / BACM CAD=60 , PA 丄平面 ABCD PA=2 AB=1.(1) 设点E为PD的中点,求证：CE/平面PAB(2) 线段PD上是否存在一点N ,使得直线CN与平面PAC所成的角B的正弦值为二？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由.52 ' 2-3, 0），设平面PAC的法向量为i= （x，y，z），|COS V、|,【分析】（1）取AD中点M利用三角形的中位线证明 EM/平面PAB利用同位 角相等证明 MC AB,得到平面EMQ平面PAB证得EC/平面PAB（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PA

40、C所成的角B 的正弦值为匚，可得结论.5【解答】（1）证明：取AD中点M 连EM CM则EMI PA EM?平面 PAB PA?平面 PAB EM/ 平面 PAB在 Rt ACD中, Z CAD=60，AC=AM=2 二/ ACM=60 .而/ BAC=60，二 MC/ AB. MC 平面 PAB AB?平面 PAB 二 MC/ 平面 PAB EM? MC=M 二平面 EMC 平面 PAB EC?平面 EMC： EC/平面 PAB（2）解：过A作AF丄AD交BC于F,建立如图所示的坐标系，则 A （0，0，0），B （進，吉，0），CZ3 1, 0），D （0，4, 0），P （0，0，2）， N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角B的正弦值为 I 5【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学 生分析解决问题的能力，属于中档题.14.如图，四棱锥 P-ABCD勺底面ABCD为平行四边形，平面 PABL平面ABCD PB=PC/ ABC=45，点E是线段PA上靠近点A的三等分点.(I)求证：AB丄PC；(n)若厶PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成