非参数统计部分课后习题参考答案

1、课后习题参考答案第一章 P23-252、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为X1： 100 , 99 , 99 , 100 , 99 , 100 , 99 , 99;第二组三名学生的成绩分别为X2： 75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的t检验（假设总体均值为U）：u=100 H 1： u<100。第一组数据的检验结果为：df=7 , t值为3.4157 ,单边p值为0.0056 ,结论为“拒绝H0： u=100°”（注意：该组均值为99.3750 ）;第二组数据的检验结果为：df=2 , t值为3.3290 , 单边p值为0.0398;结论为“接受

2、 H: u=100。”（注意：该组均值为 74.000 ）。你认为该问题的结论合理 吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于p-值太小拒绝零假设，这时可能犯第一 类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平a时，接受 零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低,换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假 设本身就是

3、对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分） 第三章p68-713、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幕排列）：4632, 4728, 5052, 5064, 5484, 6972, 7596, 9480, 14760, 15012, 18720, 21240, 22836, 52788, 67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？ （4分）（2） 利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分）（

4、8分）1997年索赔数额的中位数 5064元是有变化，但1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，（4分）（3） 找出基于符号检验的95%的中位数的置信区间。解：（1） 1998年的索赔数额的中位数为 9480元比 这只是从中位数的点估计值看。 如果要从普遍意义上比较 还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（2）符号检验（5分）设假设组：Ho： W Mo = 5064Hl：昨 Mlo = 5064k=min(n+,n-)=3符号检验：因为 n+=11, n-=3,所以b(14,1/2)0.0287精确检验：二项分布b（14,0.5）,n 0,双边p值为 0.0576,大于a

5、= 0.05 ,所以在a水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若a=0.1 ,则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得a= 0.05的临界值为（3 , 11）,同样不足以拒绝零假设。正态近似：（5分）np=14/2=7, np q=14/4=3.5z=(3+0.5-7)/'k/35 -1.87>Z a/2=-1.96仍是在a= 0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。7、一个监听装置收到如下的信号：1, 1, 1 , 1, 0 , 1,0 ,0 ,1,1,1 ,0, 1, 1, 1, 0, 1,0 ,1,0,0 ,0 ,信号是纯粹随机干扰？（10分）（3）中位数

6、95%的置信区间：（5064 , 21240） （8分）0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1 , 0, 1 , 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 0 ,1, 0 , 0 , 1, 0 , 1, 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0。能否说该游程检验:因为Hl：信号不是纯粹的随机干扰 ni =42, n2 =34, r=37。（2 分）（2分）根据正态近似公式得:24242 3434138.58f 42 34(2

7、(2 34 42 34 332(4234)2(42341)（2分）38.580.08618.33(2 分)取显著性水平a= 0.05，则Za / 2 = -1.96,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。(2 分)第四章p91-9410个拥有1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（A组）和计算器的学生（B组）对一些计算题进行了手算测试.这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如 下：A组：28, 20 , 20, 27, 3, 29, 25, 19, 16, 24, 29, 16, 29B组：40, 31, 25 , 29, 30, 25, 16, 30,

8、 39, 25能否说A组学生比B组学生算得更快？利用所学的检验来得出你的结论.（12分）解、利用 Wilcox on两个独立样本的秩和检验或Mann-Whit ney U检验法进行检验。建立假设组：Hb：两组学生的快慢一致；H1： A组学生比B组学生算得快。（2分）两组数据混合排序（在B组数据下划线）：3, 16, 16, 16, 19, 20, 20, 24, 25, 25, 25, 25, 27, 28, 29, 29 , 29 , 29 , 30, 30 , 31, 39 , 40 （2 分）A组秩和 Rx= 1+3*2+5+6.5*2+8+10.5+13+14+16.5*3=120;B

9、组秩和 R3= 3+10.5*3+16.5+19.5*2+21+22+23=156（2 分）A 组逆转数和 UA=120-（13*14）/2=29B 组逆转数和 UB=156-（10*11）/2=101（2 分）Mann-Whitney秩和检验的临界当nA=13 , nB=10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得 值，所以用正态近似。计算U A nA nB / 229 13*10/2JnAnB(nAnB1)/12 J13*10*(13 10 1)/1236一2.2326/26016.1245(2 分)当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值Za/2 = -1.96 （1分）由于Z&

10、lt;Za/2，所以拒绝 H,说明A组学生比B组学生算得快。（1分）4、在比较两种工艺（A和B）所生产的产品性能时，禾U用超负荷破坏性实验。记下损坏前延迟的 时间名次（数目越大越耐久）如下：方法：A B B A B A B A A B A A A B A B A A A A序: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2010 分)用Mann-Whitney秩和检验判断A工艺是否比B工艺在提高耐用性方面更优良？（ 解、设假设组：H：两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致；H1： A工艺比B工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）根据样本数据

11、知na=13; nB=7（ 1分），计算A 工艺的秩和 Ra= 1+4+6+8+9+11 + 12+13+15+17+18+19+20=153;B 工艺的秩和 Rb= 2+3+5+7+10+14+16=57 （1 分）A 工艺的 Mann-WhitneyB 工艺的 Mann-Whitney当 na=13, nB=7 时，所以用正态近似。计算秩和 U=%n A（n a+1）/2=153-（13*14）/2=62 秩和 U=RB_nB（n b+1）/2=57-（7*8）/2=29 样本量较大，超出了附表的范围，（1 分）（1分）（1分）不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值,U A n

12、AnB /262 13*7/2JnAnB（nA16.516.5 彳f - 1.3075J159.2512.6194nB1）/127*（13 7 1）/12（2 分）当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值 由于Z<Za/2，所以样本数据提供的信息不足以拒绝 一致，A工艺并不比B工艺更优良。（1分）Za/2 = 1.96 （ 1 分）H,可以说 A B两种工艺在提高耐用性方面的优良性第五章P118-1211、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：g/cm2）：表4棉花纤维百分比（%1520253035抗拉强 度41112687987754931

13、057634916119814807756341057846112791698635256477514801127564780423试问不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度是否一样，利用 解：建立假设组：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样；Hl：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。Kruskall Wallis 检验法。（14 分）（2 分）棉花纤维百分比（%1520253035抗拉强 度331.53538.521.512.517.52828155.523.53531.55.51019.52838.5151023.53531.51.517.525.519.521.51.57.51538

14、.525.57.5已知，k=5, n1= n 2= n 3= n 4= n 5=8 （ 2分）。混合排序后各观察值的秩如表4所示:表412.51031.538.54R78.5166250.5253.571.5nj88888根据表4计算得：（6分）12 k r2 H 3（N1）N（N 1） j 1 nj2 2 2 2 21278.5166250.5253.571.5,3 4140 41828.6857由于自由度k-1=5-1=4 ,n尸8>5,是大样本，所以根据水平a=0.05，查X2分布表得临界值 C=9.488 ,（2分）（2 分）因为Q>C故以5%勺显著水平拒绝 H）假设，不同

15、百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。本例中,k=3, n=15。（2 分）又因xiyj23Xi2i382 22 1 69 6 4 4 2 57服务消费者（爱好用“ 1”表示，不爱好用“0 ”表示）合计A11111111011111013B11118C10002合计21122212011322123（2 分）解：建立假设组：H:顾客对3种服务的态度无显著性差异;H:顾客对3种服务的态度有显著性差异。7、按照一项调查，15名顾客对三种电讯服务的态度（“满意”或“不满意”）为（15 分）1：4 1 433（3 1）257 232318.61543 23 43（5 分）为Q>C自由度k-1=3

16、-1=2 , （2分）取显著性水平 a=0.05，查X2分布表得临界值 c=5.992 , （2分）因 故以5%勺显著水平拒绝 H假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）A111100111B100010C01C011111C10候选人20个村民的评价（“同意”为1 , “不同意”为0）&调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表 表1试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别？解：建立假设组： H。：三个候选人在村民眼中没有区别H:三个候选人在村民眼中有差别（ 2 分）3个候 选人20个村民的评价（“同意”为1 , “不同意”为0）XA111

17、1001119B1000100018CYj12212121228表3根据表2计算得:2Xi数据适合用Cochran Q检验（2分）。而且已知 n=20，k=3,E Xi=Eyj = 28。（ 2 分） 计算结果见表3:2 yj921282 112222662248 (2 分)(Xi)2k. 2kyj yj28?则 3(3 1)(266 )0.77783 28 48k(k1)2Xi(2 分)取显著性水平a= 0.05，查卡方分布表得卡方临界值 认为三个候选人在村民眼中没有区别。（2分）C= 5.9915，由于Q<C故无法拒绝零假设，可以第八章P170-171mn)：10.023 9.969

18、2.下面是某车间生产的一批轴的实际直径（单位：9.967 10.001 9.99410.013 9.992 9.954 9.934 9.965能否表明该尺寸服从均值为 10,标准差为0.022的正态分布？（分别用K-S拟合检验和卡方拟合检 验）。当n=10, a=0.05时查表得K-S拟合检验的临界值为 0.40925。（24分）解：建立假设组：H:该车间生产的轴直径服从均值为10,标准差为0.022的正态分布；H:该车间生产的轴直径服从均值为 10,标准差为0.022的正态分布（2分）首先将样本数据按升序排列，并对数据进行标准化处理，即Z= （Xi-10 ） /0.022（1分），并列在计算

19、表中。（1） K-S正态拟合检验见表 1 :表1 K-S拟合检验计算表样本数据Xi标准化值Zi正态区间正态累计概率实际累计频 率离差(1)(2)(3)(4)(5)(6)=(4)-(5)9.934-3.0000(-g ,-3)0.0010.00.0019.954-2.0909-3,-2.09)0.0180.1-0.0829.965-1.5909-2.09,-1.59)0.0560.2-0.1449.967-1.5000-1.59,-1.50)0.0670.3-0.2339.969-1.4091-1.50,-1.41)0.0790.4-0.3219.992-0.3636-1.41,-0.36)0.

20、3580.5-0.1429.994-0.2727-0.36,-0.27)0.3930.6-0.20710.0010.0455-0.27,0.05)0.5180.7-0.18210.0130.59090.05,0.59)0.7230.8-0.07710.0231.04550.59,1.05)0.8520.9-0.048-1.05, g)1.0001.00.000K-S拟合检验统计量取最大的绝对离差D=0.321 （ 5分），由于检验统计量小于临界值0.40925，所以无法拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10,标准差为0.022的正态分布（2分）。（2）卡方正态拟合检验见表2:样本

21、数据Xi标准化值Zi正态区间正态概率预期频数E i=(4) X 10小预期频数合并实际频数O(O- Ei) 2/ Ei(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)9.934-3.0000(-g ,-3)0.0010.0139.954-2.0909-3,-2.09)0.0170.1699.965-1.5909-2.09,-1.59)0.0380.3753.58150.5639.967-1.5000-1.59,-1.50)0.0110.1109.969-1.4091-1.50,-1.41)0.0130.1269.992-0.3636-1.41,-0.36)0.2792.7879.994-0.2

22、727-0.36,-0.27)0.0340.3451.60120.10010.0010.0455-0.27,0.05)0.1261.25610.0130.59090.05,0.59)0.2052.0462.04610.53510.0231.04550.59,1.05)0.1291.2941.29410.067-1.05, g)0.1481.4791.47910.155合计-1.00010.00010.000101.4191 （见第（6）列），同时计算合并后的实际表2卡方拟合检验计算表由于存在小预期频数，所以要合并，直到预期频数都大于 频数（该步正确2分）。从表2得卡方检验统计量 Q=1.419

23、 的临界值C=1.064 （左尾），右尾临界值 即可以说该车间生产的轴直径服从均值为（6 分），自由度 df=k-1=5-1=49.488 （2分），说明检验统计量10,标准差为0.022的正态分布（2分）。（2分），查卡方分布表得 a=0.05Q落在肯定域，不能拒绝零假设,性别男女谋杀139271457抢劫11674112068恶性攻击32847670938偷盗23649529866非法侵占7偷盗机动车11917518058纵火114132156从这些罪行的组合看来，是否与性别无关？如果只考虑谋杀与抢劫罪，结论是否一样？（ 解：本题适合用独立性卡方检验。建立假设组Ho：犯罪类型与性别无关H1：犯罪类型与性别有关第九章