高数竞赛试题集

1、高等数学竞赛一、填空题若 lim sinx (cosx -b) =5，则 a = ieX -a设 f(X)= lim (n 2 x ,贝U f (x)的间断点为 X = .nx +1曲线y=lnx上与直线X+y=1垂直的切线方程为 .已知 f (eX) =xe，且 f(1)= 0,贝u f (X) = .lx =t3+3t +1设函数y(x)由参数方程彳 3确定，则曲线y = y(x)向上凸的x取值y =t -3t +11.2.3.4.5.范围为6.j 2x 设 y =arctaneX -lnVe2x，则型+1 dx xA17.若 XT 0时，(1 -ax2)4 -1xex2设f(X)才-1与

2、xsinx是等价无穷小，则a=10,则存在6 0，使得 【(A) f(x)在(0,6)内单调增加.(C)对任意的 X 忘(0, 5)有 f(x)f(0).13 .设 f(X)=|x(1-X)|，则 【】=0是f (X)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f (X)的拐点.=0不是f (X)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f(x)的拐点.=0是f (X)的极值点，且(0, 0)是曲=0不是f (X)的极值点，(0, 0)也不f(0).(A )(B)(C)(D )线y =是曲线f (x)的拐点. y = f (x)的拐点.14 . limIn n (1 + -)2(1 +2)2 川(1

3、+卫)2 等于V n nn血X2n2(B) Zjxdx.(c)2J In(1+x)dx.2 2(D)J In2(1 + x)dx15 .函数f(X)= 1 x|sin(xL在下列哪个区 x(x-1)(x-2)2(A) ( T , 0).(B) (0 , 1).间内有界.【(C) (1 , 2).(D) (2,3).r 1丨 f () X 16 .设f (X)在(乂 , +君内有定义，且lim f(x)=a， g(x) = 乂八，则X*0 ,x=0(A) X = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) X = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) X = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在

4、点x = 0处的连续性与a的取值17 .设f (X)在a , b上连续，且f (a) 0, f(b) *0，则下列结论 中错误的是【X0 (a, b)，X)亡(a,b)，X0 丘(a,b)，X0 亡(a,b)，(A)(B)(C)(D)18 .设(A)(B)(C)(D)至少存在一点至少存在一点至少存在一点至少存在一点使得使得使得使得f (Xo) f (a). f (X0) f (b).f(X0)=O. f (X0)=0.,1, X 0 f(x) =40,x =0，F(x)-1, x 0)及 y = 0围成一曲 边梯形.该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在X

5、= t处的底面积为F(t).( I )求的值;(V(t)24 .设 f (X) , g(x)在a , b上连续，且满足 J f (t)dt J g(t)dt，x 引a , b)，/aaan ) lim 型.t-就 F(t)bbf(t)dt= rg(t)dt.a证明：bxf(x)dx g (0=) 0, 4 g) = ab)且 fX 另，0 g”(x)c0 ,I1 =f（X）dx，I25、1= Jog(x)dx，I3I1 l2图形0axb, 0y I3 二 I1 ( C)V =2兀 J xf( X dx( B) V =2花 J f ( x) dXC)VP(1,3,4)关于平面 3x + y2z

6、=0的对称点是_( A) (5, 1,0) 设D为 X2 + y20)，已知送的面积为 S，则943z23 gS。dxdydz =曲面积分-be级数zn zt三元函数u=z-exy在点（1,1,1）处沿该点的向径方向的方向导 数为1X9*、10、x2时的收敛区间为3n10*、设 f （丄）=，且 f（x）可微，_则 f（x）=。X 1 +x11、设 y = J0 Jsin t dt (0 x 兀)，则曲线 y = y(x)的长度为 。X11*、若 Jf(x)dx=xe +C，贝U f(X)=。4川4斗斗片彳 -4 H 4 H 412、设a,b,c都是单位向量，且满足a +b + C = 0，_

7、则a ”b + b + c 三12*、函数y的拐点为。3三、按要求做下列各题。1、求极限Ji mx2 & x+ 2 血X + 歹X。)、已知函数y=f(x)对一切x满足 xf(x-) 3k f X ) 且在点Xo hO处取得极值，问f (x0)是极大值还是极小值，并证明你的结论。四、1+1 n X计算下面积分。1、 rdx 2、-x +xK五、六、七、2 2 8f (x, y)为 D : X +y 0 上的连续函数， f(x,y)=d1x - yff f (u, v)dudv，求 f (x, y)兀D周长为2l的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积

8、为最大？a + bf (a) f ()c0。证明：在(a,b)内存在 ，使得 f()=f()。2f(x)a,b连续(a,b)可导，f(a).f(b)A 0八、设函数y =y(x)由方程组4 2t 一 y + asin-be 丄21、已知f e0y=2dy d y(Oca0)的上侧。5169展开成x的幂级数,2、如下图，曲线C切线，其交点为(2,提示：先补充两个曲面 V ：=( x, y, Z)| Z = 0, X2 + y2 a2,_d +_IL 1，取下侧；169=( X, y, z) I z = Ja2 -x2 -y2，取下侧，其中常数a充分小，使上 半球面1：2与积分曲面互不相交。九*、

9、1、已知F(x)是f (x)的一个原函数，而F(x)是微分方程xy+y= e满足初始 条件lim y(x1的解，试将f (x)-be n并求s的和。心(n+1)!的方程为y = f (X)，点(3, 2)是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点(0, 0)与 (3,2)处的 32定积分 L (x + X ) f ”(X )dK高等数学竞赛一、填空题lim F +n +1设函数y = y(x)由方程y =1 一xey确定，则 一q+y2=a2绕x =(ba0)旋转所 成的旋转体的体积为1.3.5.7.9.10.12 n忌+川川荷广义积分妊爲(1+X2)2Z =z(x, y)由 z=e2x亞

10、+2y确定，则 3+ 空 dx 內 设 r = Jx2 +y2 +Z2，贝U div(gradr)。6. X21,_2 , 2。2.lim fX- 一7 (xxtanx丿O 4.0 J2x x2dx =。& z = x2 +y2与2x + 4y -z=0平行的 切平面的方程是01 _y交换二次积分次序的积分次序dy f(x,y)dx =1 X y si nz11.dx/yjoud12. 设L为正向 圆周X2 +y2 =2在第一象 限中的部分，则曲线积分 xdy -2ydx的值 为 二、单项选择题13. 设函数f(X)=(A)充分必要条件.14 .设f (x)在0，1上连续，(A) F(1)-F

11、(0)._p(X)，其中钦X)在X=1处连续，则护(1)=0是f(x)在X=1处可导的【 】充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.】(B )必要但非充分条件.(C)1F(x)= f(x), aH 0, f (ax)dx【(B) F(a)-F(0).( C)F(a)-F(0).(D) aF(a)-F(0).15.下列等式中正确的是【-JX(C) 一 f f (x -t)dt = f (x -t). dx 0】(A) Jf(2x)dx = f (2x)+C.1(D) d xf (xt)dt = f (x).(B) Jdf(2x) = f(2x)+C.16 . nimH(1+1)2(1+2)

12、2(-)2n等于(A)2 2 2f ln2xdx (B) 2f ln xdx.1M22 *1 n(1+x)dx.( D)1In 2(1 + x)dx.】(A) J02dxJ f (X, y)dy.習*1t2(D) J02dyJ0 f(x, y)dx.且申y(x,y)H 0已知(x0, y0)是f (X, y)在约束条件W(x,y)= 0下的一个极值 )若 fx(x0, y。)=0，则 fy(x0, y。)=0.(B)若 fX(x0, y。)=0，则 f；%, y。)#。.(C)若 fx(x0, y。)HO，则 fy(X0, y。)=0. (d)若 fx。，y。)hO，则 f；(X0,y0)HO

13、.f (x, y)为连续函数，贝u Jo4d0 JoJ02dxJ0f(x, y)dy. (C)f (x, y)与(x, y)均为可微函数， 点，下列选项正确的是【】(A17.设(B)18.设f(rcos9,rsin6)rdr 等于 【J/ dyj：kf(x, y)dx.2 219. 设I为椭圆X +y =1，其周长记为a ,4320. 级数艺an收敛，级数【】(A)2 ann #则 1 (2xy+3x2+4y2)ds =【】(A) 4a . ( B ) 8a . ( C)12a(D)16a.n壬三、解答题0）,（I）讨论L的凹凸性；（n）过点（）引L的切线，求切点（Xo, yo）,L （对应于

14、X x的部分）及X轴所围成的平面图形的面积。高等数学竞赛一、填空题ax+b1、设函数f（X）估-药西4,则常数a, b用数组（a, b）表示为（1极限limcos7x）x的值是（2、3、4、(5、6、7、X H 1，在X=1处连续,X=1设y=f（x）有连续的二阶导数且点（Xo, f（xo）是曲线y = f（x）上的 拐点则鹊畑+：:学+侮亠）f（X）=（2 -X）4的三阶麦克劳林展开式的余项 R3（x）=（）式中0 0 1）X dt 设F（x）珥育+,兀 xsin X , f dx =0 1 +cos2 XX -y -z = 0设曲线 222 在点（1,1,0）处的法平面为S,则点（0,2,

15、2）到S的距离是（）/ -y -Z =0设 f（x,y） =arcsinJ#，则 fx（2,1）=（）1 dt市，则F(x)=(二、选择题9、极限lim lnxT的值为（）I x-eA. 1 B. e C. e D. 010、设a,b适合,3a2 5b,则方程，x5 +2ax3 +3bx+4c =0, 则必有（）B.有唯一实根D.有5个不同的实根A.无实根C.有三个不同的实根11、半径为R的半球形水池正装满水。将水全部吸完，需作功WA.g;i(R2-y2)dyB.R 20 gjiy dyC.R 2 2g 兀y(R -y )dyD.g 兀y3dy12、dx=1,13、14、15、A.A. 1B.

16、 2C.D.A.y2 =5yx设 z ；= yA.-yyx -1y ycz在点（1,2,）处的切线方程为z +3B.B.x-1z+3C.x-3-1-8D.-1-2y2若 JJ f (X, y)d =x2 +y2 0c.ax , a c 0D.+ y2 016刀为z=2 - （x2+y2）在xoy上方部分，JJds=(rf3d兀2ro2+ 4r rdrB.(兀d0 f+4r2rdrC.2兀 .2厂dQ J (2-r2 “1 +4r2rdrD.17、右(3j: +4y)2 十(2+3y)2A. ab =03 +壬G,必护G）是某二元函数的全微分,则a,b的关系是（）18、设曲线C是由极坐标方程r=

17、r( 0 )(Q1A. f(rcos9,rsin & r2 + 严d日C. J f (r cos日,r sin9 )d919、比J d _ a n!a为任意正的实数，若级数Zn rnB. a +b = 0 C. a -b =10 1 0 eB. aC.a n1一 V a V e2有（D. 0下列级数中发散的级数是（_1 n绘 1 J ；（ B）Zn z23C(A) Z Lniv n +1(D )(1)n=2 J n + (T y解答题求极限1、lim亡匕拿xT tan X sin xIJ2 -2cos Xf(x)xxae3、求dx 2sin X cosx +55.设f(x,y)=厂 si nt

18、2X -y*0a为何值时，f （x）在x = 0处连续。X04、设 f (x)在 a b 上连续，且 F(x) = J (x-t)f(t)dt x【b，试求 F （X）。dt，求 f伴五:I 44 )。6 .计算二次积分(a0)*7计算二重积分 JJ 21 -dxdy 其中 D: X2 +y2 4, X2 +y2 4x。 D Jx2 +y21X2 Jv28.计算极限刊 ln (x+2y+3)db 其中 d : 0xt, 0yt。二、证明题H o试证：F(t) = L ln(t2 +2tcosx +1)dx为偶函数。3兀兀3兀证明恒等式X2 arctan(secx + tan 乞-在一-时成立。

19、设f (X)对一切X, y满足f (x + y) =ey f (x)+ef (y )且f (x)在x = 0处连续，求证: b-t2 r b 2a f (x)g(x)dx 丨 | f (X a1.2.3.4.设f ( x), g ( x)均在a, b:上连续，证明柯西不等式af(x)在任意X处连续。)dxf g2(x)dx14 .21+2X3g(x j 0)及y = 0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体,2其体积为V(t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F(t).( I )求的值;(n )计算极限limV(t)t-探 F(t)高等数学竞赛一、填空1.设 f (X )

20、= tan X, f g x = X 2 求 lim rctan (n! ”：( Jn +1 t/T ) -I -,_21石2 Z设z=f(xy )+yW(x + y), f,W具有二阶连续导数,则=Xcxcy15 .函数 f(X, y, z)= coS xyZ在点i,1处函数值 增加最快 的方向为13 3丿5nn!17 .求 lim ry(2 n)n16 .求 limi2sin =52n4 i4 u 2nd fe -1 18 .dx20.设L为椭圆 =1，其周长为C，43、幕级数表达式为丿X2y219 求三重积分 jjj exdV =X2刊2棺2兰 2 2则(2xy + 3x +4y )ds

21、 =二.培训的及要求培训目的19 *.设f gy )是有界闭区域：D = (x, yjX + y a上的连续函数,1则四荷 DJf(X,y)dXdy =1X220匸 把dx L f(X2 +y )dy在极坐标系中进行转化：1x220dx.0 f(x2 +y2 )dy =二、解答题Vn(n + 1 1 川(2 n1)1求极限lim 丄.2、求极限Fn3、求曲线X(cost+tsint),上任一点的法线 y =a(si nt t cost).x + xF e lim LJT 1 - cosx到原点的距离4、设f(U,V )具有二阶连续偏导数，c2f且满足2 r 厶CU云2 f=1，又 g(x, y

22、 戶CV*,扣2-y2,小2求亠g-.2_ 2-excy1 1 2 ；f (x)dx.5、设函数 f(x)连续，且 J0tf (2 Xt) dt=- arctan( x ,) f(1) =1。求(6、计算二重积分 JJeMQxdy ，其中 D =(x,冏0 x1,0 y 0 U连续，证明：广-.af (x)dx = .0 f (x)+f (-x)dx，并计算竝4设f (X )在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)=丄(xM f X dk0,证明至少存在一点k-(0,1 )，使得卩戶口一巴点).3.比(1n +1、证明级数S 1丄一1n 1 f收敛，并求极限心5n丿、综合题1 11

23、+ ：+川丄 lim 2 - Y In n)dy， C %从点I = J-2x6 sin y )dx +(cosy +x4C(1,0)到点(一1,0)的半圆 y = “1 -X2 ( 1 x 0 )上某点A处作一切线，使之与曲线以及切点A的坐标； 过切点 A的切线方程；由上述所围平面图形绕2.计算I = JJ zdxdy+ ydzdX xdyd其中工为圆柱面x2 + y2 IN2229222 .在球面X +y +z =-与椭球面3x +(y 1)41x轴所围成图形的面积为，试求:12x轴旋转一周所成旋转体的体积.=1被z = 0, z = 3截的部分外侧.217+ z = 交线上对应于x=1点处的切线方程和法线方程.4oC3 .求常数项级数 2 =的和.心 n!+(n+1 l+(n +2Jn +2c3审求常数项级数无(_1)2斗的和.其中专业理论知识内容包括：保安nz2理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训