应用多元统计分析习题解答主成分分析

1、主成分分析6.1试述主成分分析的基本思想。答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽可能快的提取信息。当第一个组合不能提取止。这就是主成分分析的基本思想。6.2主成分分析的作用体现在何处？答：一般说来， 在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。以各个主成分为分量， 就得到一个更低维的随机向量；主成分分析的作用就是在降低数据“维数”6.3简述主成分分析中累积贡献率的具体含义。答：主成分分析把p个原始变量 X1, X2 ,L, X p 的总方差 tr () 分解成了 p个相互独立的变量p个主成分

2、的， 忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。这里我们m(p) 个主成分，则称mp为主成分 Y1 ,L ,Ym 的累计贡献率，累计贡献率mkkk1k 1表明Y1 ,L ,Ym综合X,X,L ,Xp的能力。通常取 m ，使得累计贡献率达到一个较高的百分12数（如 85以上）。答：这个说法是正确的。即原变量方差之和等于新的变量的方差之和6.5试述根据协差阵进行主成分分析和根据相关阵进行主成分分析的区别。答：从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。从协方差矩阵出发的， 其结果受变量单位的影响。主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够

3、，也存在“大数吃小数”的问题。实际表明，这种差异有时很大。我6.6已知 X=()的协差阵为试进行主成分分析。解：=0计算得当时，同理，计算得时，易知相互正交单位化向量得，,综上所述，第一主成分为第二主成分为第三主成分为6.7设 X=()的协方差阵 (p为,0<p<1证明：为最大特征根，其对应的主成分为。证明：=,为最大特征根当时，=所以，6.8 利用主成分分析法，综合评价六个工业行业的经济效益指标。单位：（亿元）行业名称资产固定资产净产品销利润总计值平均余额售收入总额煤炭开采和选业6917.23032.7683.361.6石油和天然气开采业5675.93926.2717.53387

4、7黑色金属矿采选业768.1221.296.513.8有色金属矿采选业622.4248116.421.6非金属矿采选业699.9291.584.96.2其它采矿业1.60.50.30解: 令资产总计为 X1，固定资产净值平均余额为 X2，产品销售收入为 X3，利润总额为 X4，用 SPSS对这六个行业进行主成分分析的方法如下：1. 在 SPSS窗口中选择 Analyze Data Reduction Factor 菜单项，调出因子分析主界面，并将变量X1X5 移入 Variables 框中，其他均保持系统默认选项，单击OK 按钮，执行因子分析过程（关于因子分子在SPSS中实现的详细过程，参见7

5、.7）。得到如表 6.1 所示的特征根和方差贡献率表和表6.2 所示的因子载荷阵。第一个因子就可以解释86.5%表 6.1 特征根和方差贡献率表表 6.2 因子载荷阵2.将表 6.2 中因子载荷阵中的数据输入SPSS数据编辑窗口，命名为a1。点击菜单项中的 Transform Compute ，调出 Compute variable 对话框，在对话框中输入等式：z1=a1 / SQRT(3.46) ，计算第一个特征向量。点击 OK 按钮，即可在数据编辑窗口中得到以 z1 为变量名的第一特征向量。表 6.3 特征向量矩阵 z1x10.509x20.537x30.530x40.413根据表 6.3

6、 得主成分的表达式：Y10.509X10.537X 20.530 X 30.413X 43.再次使用 Compute 命令，调出Compute variable对话框，在对话框中输入等式：y1 0.509 * x10.537 * x20.53* x30.413* x4根据六个工业行业计算所的y1 的大小可得石油和天然气开采业的经济效益最好，煤炭开采和选业其次，接着依次是黑色金属、非金属、有色金属和其他采矿业。6.9 下表是我国2003 年各地区农村居民家庭平均每人主要食品消费量，试用主成分方法对各主要食品和地区进行分类。猪牛蛋类水产地区粮食蔬菜食油家禽及其食糠酒羊肉品制品北京134.0592.

7、789.1514.62.1710.134.252.9214.42天津150.269.991011.070.8410.88.350.7210.14河北216.7255.976.597.10.546.362.250.657.29山西218.9180.875.725.360.246.150.471.152.59内蒙207.370.772.7921.181.413.821.451.3410.77辽宁194.39178.595.916.452.519.594.490.7310.8吉林255.99115.26.2711.423.238.643.60.7513.64黑龙江195.08111.77.627.8

8、52.616.263.350.915.09上海189.4476.68.5916.377.47.5116.112.1216.77江苏251.98109.128.2712.054.56.729.091.38.82浙江208.4683.915.8116.426.035.3314.642.1324.15安徽228.3580.976.879.074.275.045.431.4210.61福建198.2799.925.1916.515.143.5513.32.3516.84江西264.8144.228.7713.243.313.55.191.137.31山东229.06118.196.968.092.71

9、1.614.01110.81河南236.97100.114.226.481.238.011.351.134.23湖南227.39159.769.419.862.743.868.10.927.29湖北247.21149.448.3517.513.893.286.891.134.02广东233.75130.226.7322.2710.42.8313.32.163.33广西205.65108.944.9214.447.331.123.571.186.14海南236.3186.615.715.49.771.3114.751.243.88解: 令粮食为X1，蔬菜为x2，食油为x3，猪牛羊肉为x4，家禽为

10、x5，蛋类及其制品为x6，水产品为x7，食糠为x8，酒为 x9，用 SPSS进行主成分分析的具体方法参见6.8，分析结果如下：表 6.4 特征根和方差贡献率表表 6.5 因子载荷阵表 6.6 特征向量矩阵z1z2z3x10.001169-0.55035-0.00518x20.054359-0.320140.616746x30.0052610.1852390.697829x40.455914-0.075840.167341x50.509689-0.14229-0.05521x6-0.329080.4080630.269126x70.5009210.1187950.112136x80.388112

11、0.332893-0.13025x90.1408660.4933-0.01984根据表 6.6 得主成分的表达式：Y10.001X 10.054X 20.005X 30.456X 40.51X 50.329 X 60.501X 70.388X 80.141X9Y 20.55X 10.32 X 20.185X 30.076X 40.142X 50.408X 60.119X 70.333X 80.493X9Y 30.005X 10.617 X 2 0.698X 30.167 X 40.055X 5 0.269X 60.112 X 70.130 X 80.02 X 9分别计算出以上三项后，利用公式如

12、下表：Y1Y12Y 23Y 3 得到综合得分并排序地区y1y2y3y北京14.92-90.4267.81-10.16天津11.80-93.4854.76-15.31上海24.39-115.4657.85-16.51福建24.55-129.9368.56-19.17浙江25.14-126.0059.51-19.43辽宁19.55-154.56118.72-19.47黑龙江13.27-131.9076.07-23.38湖南23.53-169.91108.84-24.97广东29.80-167.0688.93-25.29广西19.18-144.8972.06-25.99内蒙海南山东湖北安徽江苏河北山

13、西吉林江西河南15.93-130.4748.84-27.3324.93-154.5760.04-29.1911.81-152.6481.06-30.0921.71-179.61100.93-30.7414.06-143.1256.46-30.9218.07-164.9376.08-32.517.10-129.8340.94-32.736.20-141.4455.18-34.1514.54-166.9078.26-34.3218.74-185.6297.04-34.948.32-156.3666.62-35.93最后的分类可以根据最终得分 Y 的值来划分， 由于没有给出具体的分类标准， 具体分类

14、结果根据各人的主观意愿可以有多种答案。6.10 根据习题 5.10 中 2003 年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标数据，利用主成分分析法对这些地区进行分类。解：用 SPSS进行主成分分析的具体方法参见6.8，分析结果如下：表 6.7 特征根和方差贡献率表表 6.8 因子载荷阵青岛大连济南福州乌鲁木齐沈阳武汉长春成都太原郑州兰州海口昆明呼和浩特长沙石家庄西安表 6.6特征向量矩阵z1z2x10.290.47x20.280.48x30.14-0.29x40.31-0.37x50.40-0.20x60.40-0.27x70.310.39x80.390.12x90.39-0.2435237.2714552.4628597.4431830.5617629.5327272.0325149.7316499.3922372.9722734.1616326.9720677.4522284.5415284.6820037.5923184.9912310.2219694.1923909.279770.5619370.7521524.9514179.2119166.9633808