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文档简介

1、§ 3.1 曲面及其相关概念1. 曲面及其参数表示曲面的坐标形式的参数方程:.曲面的向量形式的参数方程:,.简记为,.称为曲面的参数 或曲纹坐标 也称是点的参数或曲纹坐标 .例 1 (1)圆柱面cos，sin， z = z,.其中常数为截圆的半径当,时,.于是是点的曲纹坐标 .(2) 球面coscos，cossin，sin，.这里 ,称为经度，称为纬度 .是球面的半径当,时,.于是是点的曲纹坐标 .(3) 旋转面把 xz 平面上一条曲线： x =，绕 z 轴旋转，得旋转面:x =， y =，当,时,.于是是点的曲纹坐标 .(4)连续函数的图象该曲面的参数方程为.和是参数( 曲纹坐标)

2、.是点的曲纹坐标.坐标曲线曲线：,即.曲线：,即.一般地,通过每一点,有唯一一条曲 线和唯一一条曲 线.曲纹坐标网例 2（ 1）圆柱面（例1（ 1） :cos，sin， z = z.（ 2）球面（例1（ 2） :coscos，cossin，sin.(3)旋转面（例1（ 3） : x =， y =，(4)连续函数的图象（例1（4）2.光滑曲面曲面的切平面和法线在曲面上的 (,) 点处 , u-曲线的切向量,v- 曲线的切向量定义曲面的正则点( 正常点) P0(,):r(,) 和r(,)不平行 .正则曲面 :处处是正则点的曲面.例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数,) 上 ,经过点的曲线的方程为,该曲线在点的切向量;经过点的曲线的方程为,该曲线在点的切向量.由于在上的任何点处 ,和不平行 ,故上的点都是正则点,从而是正则曲面.定理 3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示曲面 上一点 P0 处的切方向 ( 方向 ): 上的经过P 的曲线 在 P0 的切方向 .曲面 ： r = r (u, v)上曲线 的 ( 曲纹 ) 坐标式参数方程 - : u = u(t)， v = v(t). 的向量式参数方程 :r = r (u(t), v(t

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