平面向量易错题解析汇报

1、标准实用平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？| a |22x2y 2 ）2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用a ； | a |3. 你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4. 你弄清“ a bx1 x2y1 y2 0 ”与“ a/ bx1 y2 x2 y1 0 ”了吗？ 问题 ：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（ 1） 在实数中：若 a0，且 ab=0, 则 b=0, 但在向量的数量积中，若 a0 ，且 a b0 ，不能推出 b0 .（ 2）已知实数 a, b,c, (bo

2、) ，且 abbc ，则 a=c, 但在向量的数量积中没有a bbca c .（ 3）在实数中有 (a b)c a (bc) ，但是在向量的数量积中 ( a b) ca( bc ) ，这是因为左边是与 c 共线的向量，而右边是与a 共线的向量 .5. 正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1. 向量有关概念 ：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知 A（ 1,2 ）， B（ 4,2 ），则把向量AB 按向量 a （ 1,3 ）平移后

3、得到的向量是_（答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB ) ；| AB|（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行 。 提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重

4、合； 平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；三点A、 B、C 共线AB、AC 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。如下列命题：（ 1）若 ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC，则 ABCD是平行四边形。（ 4）若 ABCD是平行四边形， 则 ABDC 。（ 5）若 a bb,c，则 ac 。（ 6）若 a / b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是_（答：（ 4）（ 5）2. 向量的表示方法 ：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（

5、2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为a xi y jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a3. 平面向量的基本定理e和e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，：如果1有且只有一对实数1 、2 ，使 a1 e122 e 。文案大全标准实用如（ 1）若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，

6、则 c_（答： 1 a3 b ）；（2）下列向量组中，能作为22平面内所有向量基底的是A.e1(0,0), e2(1, 2) B.e1( 1,2), e2(5,7) C.e1(3,5), e2(6,10)D.e1(2,3),e2( 1 ,3 ) （ 答 ： B）；（ 3 ） 已 知 AD, BE 分 别 是 ABC 的 边 B C, A C上 的 中 线 , 且24ADa, BEb , 则 BC 可用向量 a, b 表示为 _（答： 2 a4 b ）；（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，33且 CD2 DB ， CDr ABs AC ，则 rs 的值是 _（答： 0）4. 实数与

7、向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa , 2 当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当 0 时，a0 ，注意 ：a 0。5. 平面向量的数量积 ：（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OA a, OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当2时，a ， b 垂直。（ 2）平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a |b | cos叫做a 与 b 的数量积（或内积或点积），

8、记作： ab ，即 ab a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。如（ 1） ABC中， | AB |3，| AC | 4，| BC |5 ，则 AB BC _（答： 9）；（2）已知 a(1,11a kb ,dab ， c 与 d 的夹角为，), b(0,), c224则 k 等于 _（答： 1）；（3）已知 a 2, b5, a b3，则 ab 等于 _（答：23 ）；（ 4）已知 a,b 是两个非零向量，且 aba b ，则 a与ab 的夹角为 _（答： 30）（ 3） b 在 a 上的投影 为 | b | cos ，它是一个实数，但不

9、一定大于0。 如已知 | a |3 ， | b |5 ，且a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。（ 5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则：a ba b0 ；当 a ， b 同向时， a2aa2, a2b b a b ，特别地， aaa ；当 a 与 b 反向时， a a b ；当为锐角时， ab 0，且 a、b 不同向， a b0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， a b 0，且 a、b 不反向， a b0 是为钝角的必要非充分条件；

10、非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosab；| ab | | a | b |。 如（ 1）已知 a(,2) ，a bb(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角， 则 的取值范围是 _（答：4或0 且1）；（ 2）33已知OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ 1，若1S3的取值范围是 _，则 OF,FQ 夹角22文案大全标准实用（答：(4,)）； （3 ） 已 知 a(c oxs , xs i bn ) , y ( ca y 与 b之间有关系式3ka b3 akb ,其中 k0 ，用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角的大小（答： a bk 21

11、(k0) ；最小值为1 ，60）4k26. 向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即a b AB BCAC；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么a b AB ACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（ 1）化简： ABBCCD _；AB AD DC_； ( AB CD ) (ACBD)_（答： AD ； CB ；0 ）；（ 2）若正方形ABCD 的

12、边长为，a, BCb, ACc，则| abc |（答：2 2）；（ ）若O是 ABC1 AB_3所在平面内一点， 且满足 OBOCOBOC2OA ，则ABC 的形状为 _（答：直角三角形）；（ 4）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点P ，满足PABP CP0，设| AP|，|PD|则的值为 _（答： 2）；（ 5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0 ，则 ABC 的内角 C 为 _（答： 120 ）；（ 2）坐标运算 ：设 a (x1, y1), b (x2 , y2) ，则： 向量的加减法运算 ： ab ( xx， yy) 。如（ 1）已知点A(

13、2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若1212AP ABAC (R) ，则当 _ 时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；（ 2）已知2A(2,3), B(1,4), 且 1AB(sin x,cos y)， x, y(, ) ，则 xy（答：或）；（ 3）已知作22262用在点 A(1,1)的三个力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1) ，则合力 FF1F2 F3 的终点坐标是（答：（ 9,1 ） 实数与向量的积 ： ax1 , y1x1,y1。若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 ABx2x1, y2y1 ，即一个向量的坐标等于表

14、示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3), B(1,5)，且AC1AB， ADC D的坐标分别是33AB，则 、_（答： (1,11),(7,9) ）；3 平面向量数量积 ： abx x2y y 。如 已知向量 a （ sinx ， cosx ） , b （ sinx ，sinx ） , c112（ 1，0）。（ 1）若 x，求向量a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3 , ，函数 f (x)ab 的最大值384为1，求的值（答： (1)150;(2) 1或21）；22 向量的模 ： | a |x2y2 , a2| a |2x2y2 。 如已知 a,b 均为单位向量，它们

15、的夹角为60 ，那么 | a 3b | _（答：13 ）； 两点间的距离 ：若 A x1 ,y1 ,Bx 2 ,y 2，则| AB|x222x1y2 y1。如如图，在平面斜坐标系 xOy 中， xOy60，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义文案大全标准实用的：若 OPxe1ye2 ，其中 e1 , e2分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为 ( x, y) 。（1）若点 P 的斜坐标为（2， 2），求 P 到 O的距离 PO；（ 2）求以 O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（ 1） 2；（ 2） x2y 2xy10）；7. 向量的运算律

16、：（ 1 ）交换律：abba ，aa ， ab ba ； (2)结合律：a b ca bc, a b c a b c，a ba bab；（3）分配律：aa, aa ba， b a b c a cb c。如下列命题中：a ( b c ) a b a c ； a (b c )(a b) c ； (a b)2| a |220；若 a bc b, 则 ac ； a22a bb2 | a | | b | b | ； 若 a b0，则 a 0 或 ba ；22222aa (a b) 2ab)22ab。其中正确的是 _（答：）b； (aab提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等

17、式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a(bc)( a b)c ，为什么？8. 向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ： a / bab( a b)2(| a | b |)2x1 y2 y1x2 0。如 (1)若向量 a ( x,1),b(4, x) ，当x _ 时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）；（ 2 ）已知a(1,1),b(4,x)， u a2b， v2ab， 且 u / v ， 则x _ （ 答 ： 4 ）；（ 3 ）

18、 设PA(k,12), PB(4,5), PC(10,k) ，则 k_时， A,B,C 共线（答： 2 或 11）9. 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： a ba b 0 |a b | | a b |x1 x2 y1 y20.特别地A BA CA BA C已知OA (1,2), OB(3,m) ，若 OAOB ，则（答：()(。如(1)m)A BA CA BA C3 ）；（ 2）以原点 O和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B90 ，则点 B 的坐标是 _ （答：2(1,3) 或（3 ， 1 ）；（ 3 ）已知 n( a, b),向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是

19、 _ （答：(b, a)或 ( b,a) ）10. 线段的定比分点 ：（教材未有内容，适度补充）（ 1）定比分点的概念：设点P 是直线P1 P2 上异于P1 、 P2 的任意一点，若存在一个实数，使PPPP2，则叫做点 P 分有向线段PP所成的比， P 点叫做有向线段PP的以定比为的定比分点；12121（ 2）的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P点在线段 P 1P2上时>0；当 P点在线段 P 1 P2的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P 2 P1的延长线上时10 ；若点 P 分有向线段 1 2所成PP的比为，则点 P 分有向线段 P P 所成的比为1 。如 若点 P 分

20、 AB 所成的比为3 ，则 A分 BP 所成的比为214_ （答：7 ）3（ 3）线段的定比分点公式：设 P1( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ， P( x, y) 分有向线段 PP12 所成的比为，则x1x2xx1x2x21 1 时，就得到线段 P1 P 2 的中点公式，特别地，当y1y2。在使用定比分点的坐y1yyy221文案大全标准实用标公式时，应明确 ( x, y) ， ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件， 灵活地确定起点， 分点和终点， 并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若

21、 M（ -3 ，-2 ），N（ 6， -1 ），且 MP1 MN，则点 P 的坐标为 _（答： ( 6, 7 ) ）；（ 2）已知 A( a,0), B(3,2a) ，33直线 y1 ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，则 a 等于 _（答：或）211. 向量中一些常用的结论 ：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） | a |b | ab | a | b |，特别地，当a、b 同向或有0| ab | | a | b | a | | b | | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| ab | | a | |b | | |a |b| |

22、| a| b ；| 当 a、b 不 共 线|a| b| a| b| a|( 这些和实数比较类似).b|（3 ）在ABC中， 若 A x1 , y1, B x2 , y2, C x3 , y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3 ,y1y2y3。 如若 ABC 的三边的中点分别为（2， 1）、（ -3 ， 4）、（-1，-1 ），33则 ABC的重心的坐标为 _（答： (2,4) ）；1G 为33ABC 的重ABC 的重心，特别地为心；PG3(PAPBPC)PA PBPC 0PPA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；向量( ABAC )(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角

23、平分线所在直线) ；|AB| AC| AB|PC| BC|PA|CA | PB0PABC 的内心；（ 3）若 P 分有向线段 PP 所成的比为，点M 为平面内的任一点，则MP1MP2，特别地 P12MP1为 PP12 的中点MPMP12MP2 ；A、B、 CPAPBPC（4）向量PA、PB、PC中三终点共 线存在实数 、使 得且1. 如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3,1), B(1,3),若点C 满足OC1 OA2OB,其中1 ,2R 且 121, 则点 C 的轨迹是 _（答：直线 AB）例题 1已知向量 acos3x,sin3x , bcosx ,sin x, 且 x0,

24、求22222(1)a b 及 ab ;(2)若 fxab2ab 的最小值是3, 求实数的值 .2错误分析 :(1) 求出 ab =22cos2x 后 , 而不知进一步化为2cos x , 人为增加难度 ;(2)化为关于 cosx 的二次函数在 0,1的最值问题 , 不知对对称轴方程讨论 .答案 : (1)易求 abcos2x ,ab = 2 cos x ;(2)f xab2ab = cos2x2 2cos x = 2cos2 x4 cosx1文案大全标准实用=2 cos2221xx0,cosx0,12从而:当0时 ,fx min1与题意矛盾 ,0不合题意 ;当 01时 ,f x min2213

25、 ,1;22当1时 ,fx min143 ,解得5, 不满足1;28综合可得 :实数的值为 1.2例题 2 在 ABC中,已知 AB2,3 , AC1,k, 且ABC 的一个内角为直角, 求实数 k 的值 .错误分析 : 是自以为是 , 凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论 .答案 : (1)若BAC90 ,即 ABAC,故AB AC0 ,从而 23k0, 解得 k2;3(2)若BCA90,即BCAC ,也就是 BCAC0,而BCACAB1, k3 ,故1k k30 , 解得 k3132;(3)若ABC90,即BCAB ,也就是BCAB0,而 BC1, k3, 故2 3 k30 ,

26、解得 k11 .3综合上面讨论可知, k2或 k313或 k11 .323例题 4 已知向量 m=(1,1) ，向量 n 与向量 m夹角为 3，且 m · n =-1 ，4(1) 求向量 n ；(2) 若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为，向量 p =(cosA,2cos2 c ) ，其中 A、 C 为 ABC的内角，且 A、 B、22C依次成等差数列，试求n + p 的取值范围。解： (1) 设 n =(x,y)文案大全标准实用则由 < m , n >= 3得： cos< m, n >= mn =x yy224mn2x 22由 m· n =

27、-1 得 x+y=-1x0x1联立两式得或y n =(0,-1) 或 (-1,0)y10(2) < n , q >=2得 n · q =0若 n =(1,0)则 n · q =-1 0 故 n(-1,0) n =(0,-1) 2B=A+C， A+B+C=B= C=2A332c1 ) =(cosA,cosC)n + p =(cosA,2cos2 n + p =cos2 Acos2 C =1 cos 2 A1cos 2C =cos 2 Acos2C1222cos 2 A42 A)cos(=312cos2Acos2 A313cos(2A)sin 2Acos2 Asin

28、 2A=221 =221 =23122 0<A< 2 0<2A< 42 A5-1<cos(2A+3)< 1333332 n + p(2,5 )22例题 5已知函数 f(x)=m x-1 (mR 且 m 0) 设向量 a (1, cos2) ， b ( 2,1)， c(4 sin ,1) ， d(1 sin ,1) ，2当(0 ，) 时，比较 f( ab ) 与 f( cd ) 的大小。4解： a b =2+cos2， cd =2sin2+1=2-cos2f(ab )=m 1+cos22， f(cd )=m 1-cos22=2mcos=2msin于是有 f(a

29、b )-f(c2-sin2d )=2m(cos)=2mcos2(0,4) 2(0,) cos2 >02当 m>0时， 2mcos2 >0，即 f( ab )>f(cd )文案大全标准实用当 m<0时， 2mcos2 <0，即 f(ab )<f( c d )例题 6已知A、B、C为ABC的内角，且f(A 、B)=sin 22A+cos22B-3 sin2A-cos2B+2(1) 当 f(A 、 B) 取最小值时，求C(2) 当 A+B=时，将函数 f(A 、 B) 按向量 p 平移后得到函数f(A)=2cos2A 求 p2解： (1) f(A、 B)=(

30、sin22A-3 sin2A+3 )+(cos 22B-cos2B+ 1 )+144=(sin2A-3 ) 2+(sin2B-1)2+122当 sin2A=3 ,sin2B=1 时取得最小值，22 A=30 或 60 ， 2B=60 或 120C=180-B-A=120 或 90(2) f(A、 B)=sin22)-) 22A+cos 2(A3 sin 2 Acos 2(A22=22sin 2Acos23 sin 2Acos2A2A=2 cos(2 A)32 cos(2 A3 ) 333p = (2k ,3)3例题 7 已知向量 a(mx 2 ,1), b(1, x)（ m为常数），且 a ,

31、 b 不共线， 若向量 a , b 的夹角落 < a ,mx1b >为锐角，求实数x 的取值范围 .解：要满足 < a , b>为锐角只须ab >0 且ab （R ）mx2mx 2mx2xx0ab =x =mx1=mxmx11即x (mx-1) >01°当 m > 0时 x<0 或 x2° m<0时， x ( -mx+1) <03° m=0时只要 x<01m，x1 或 x 0m综上所述： x > 0时， x(,0)( 1 ,)x = 0时， x(,0)mx < 0时， x(,1 )(0,)m文案大全标准实用例题 8已知 a=（ cos ，sin ）, b=（ cos ,sin ），a 与 b 之间有关系 |k a+b|=3 | a kb| ，