从欧拉分解公式到卡丹公式

1、从欧拉分解公式到卡丹公式by宁波徐冀睿.书写于2016年6月16日 欧拉分解公式：R+戻+c-3°bc=(q + b + c)(a2 bQ-ab-be- cd)2 2+ (b _ c) + (c 2二(a + b + c)(t/ + bw + cw )(a + Z?vv" + cw) 其中w? +w + 1 =0(下同)特另lj 当 a + b + c = 0时，有/b u3ubc33下面介绍下这个公式的几个用法：例1、x3 + y3 +3xy = 1,求x + y的值.解 %3 + y3 + 3xy 一 1 =/ + 才+(_1)3_3与.(_1)“+八i)my+i&qu

2、ot;(2')lo2得兀+ y = 1或兀=y = 1,即兀+ y = -2例2、因式分解(a-b)3c3 +(b-c)3a3 +(c-a)3b?解:由于(a b)c + (b - c)a + (c a)b = 0则原式=3abc(a - b)(b c)(c - a)例3、因式分解x -6x+9解：原式=3+23+13-321=(x + 3)(%23 + 3)x例4、因式分解8兀6-5x3 +1解：原式=(2%2)3耳32疋兀13=(2x2 + x +1)(4%4 一 2x3 用兀 +1)欧拉分解公式的运用，让有些题目有了更有趣的解答。当进 一步翻开卡丹公式时，就发现将欧拉分解公式加入

3、一元三次 方程里也能得到一个有趣的解法。下面介绍下这个解法：解关于兀一元三次方ax'第b +cx +d =0（。H 0）r2一种变形：兀一般方程都可以化简成x3-3px + q = 0形式，对于这个形式的方程，卡丹公式就是一个解法，下面我给另一个新的 解法思路： 解：若u' + v'=q.uv = p即w3+v3=wV = p可以逆用韦达定理解得4卫'v=U2则/ +/ + -3uvx22 2=(x +u + v)(x + uw + vw )(x + uw + vw) = 0x = u -12 2-v.x = uw VW ,x = uwVW23第二种变形：才3

4、px1 + q、= 0解:若即，+/二,济二匕可以逆用韦达定理解得，q即/+V3=iv = eL,可以逆用韦达定理解得=(ux + vx + q)(ux + vjcw + qw1 )(ux + vxw2 + qw) = 0 qqw1qwx =X = ，兀=_A1.，儿232u + vu + VWU + VW解方程应用：(l)x3 6x + 6 = 0 x3-3-V2x+3=0(3)3/ -6x2 +4=0解：卍 + (V)3 + (V4)3 3 V4 x=(x+需 + V4)(a:+V2w+V4vv2)(x + V2w2 + V4w)=0 尊=尹护込二迟w 外沪，匸二/2w2 -护w 解:疋 + (V2)3 +13 3-2-1- x=(% + 迈 + 1 )(x +V2vv + vv2 )(x + V2vv2 + vv) = 0,x = /2vv - vv2, x = -2vv2 一 vvx广-证7解:(x)3 +(V2x)3 + (闻 _3x迥X齿=(x + V2x+V4)(x + V2xvv+V4w2 )(x +