届高三文科数学平面向量专题复习

1、2014届高三数学四步复习法一平面向量专题（311B）第一步：知识梳理固本源，基础知识要牢记1 .基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量.（2）向量的模：有向线段的长度，诣.、，一 r r 、 一（3）单位向量：长度为 1的向量.（4）零向量0,0 0,万向任意.（5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向 相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加减法共起点的向量的加法：平行四边形法则首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点., uuu uuir uuin uuur如：AB BC CD AD共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量uu

2、ruuuruuruuu uuuruur uur化减为加：ABACABCA CAAB CBur ur（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e , &是平面内两个不共线的向量，a为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对1,2,使得 ur uu ur una 1e2e2，0,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2 .平面向量的坐标运算？?rrr .r.aX,yi,bX2,y2，贝Ua b为，必Xix2,%v2，uuu ABx/Xi, yi ,uuu 122XB XA，yB yA， AB y XB XAyB yA3）ax, y ,贝U 3 收y23 .平面向量的数量积 一 一 r , r

3、 rr r r，一 r , r 一 一向量a与b的数量积：a b问b cos （为向量a与b的夹角， 0,）;小廿rrr r右 aX1,y1 ,b X2,y2 , 则 a b X1X2 y1y2；rra2 a a5:国在b万向上的投影：恰3（为向量a与b的夹角）； 为锐角 a bf o,且a与b不同向；为钝角 a bpo,且a与b不反向；为直角 a b o （为向量a与b的夹角）.4 .向量的平行：_ r rr r r ，、_ r r a/b a b（b0, 唯一确 te）; a/ b X1y2X2y1r r5.向量的垂直：a bab 0 X1X2y1y2 0第二步：典例精析一一讲方法，究技巧

4、，悟解题规律考点1:平面向量的有关概念例1.给出下列命题:向量a与b平行，则a与b的方向相反或者相同； ABC中，必有umr uuur uni rAB BC CA 0四边形ABCD是平行四边形的充要条件是uuu uuurAB DC若非零向量a与b方向相同或相反，则a+b与a、b之一方向相同.其中正确的命题为变式训练:1.给出下列命题:向量Auu与向量BA的长度相等，方向相反；AB Bur 0；a与b平行,则a与b的方向相同或相反；两个相等向量的起点相同，则其终点必相 同；器与Cuu是共线向量，则A、B、C、D四点共线.其中不正确的个数是（A. 2B. 3C. 4D. 5r r2.已知下列命题：

5、若k R ,且kb 0 ,r r r r r ragb 0,则a=0或b 0 ;若不平行的两个非零向量r r0或b 0 ；若r ra,b ,满足r -=b，则r r r rr. r 一，一 一r ra+b a-b 0 ;右a与b平仃，贝U agb,其中真命题的个数是（A.0B.1C.2D.3.r r r r.,3.给出下列命题：若a = b ,则2 =忙 若A,B,C,D是不共线的四点，则uur uur,r rr r r rAB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a = b,b c,则r r " r r r, r ,r r ,r r r r , r a c ;a= b的充

6、要条件是 a = b且a/b;a/b, b/c,贝lJa/c.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D .考点2:平面向量的线性运算/二z_例2.如图所示，在平行四边形 ABC叶，下列结论中正确的是电DC At>Afe=AC Afe-At>BD At>CB= 0.一 一.一 1一例3.在4OAB中，延长BA到C,使AOBA,在OB上取点D,使DBOBDC 3B与O故于E,设OA= a, Ob= b,用a, b表示向量OC DCJ1 一 一解 因为A是BC的中点，所以OA= 2（OBOC,即也 2OA-OB= 2a-b;一 一 一 一 2 一DOOC-O4OC- 3OBc .2,

7、 c 5,=2a b 3b = 2a 3b.uur uuuruuir1 uuruur例4.在 ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD2DB ,CD-CACB,3解析uuurCD，一，uur uuu uuu由图知CD CA ACuuu uurCB BD 且AD+ 2BD= 0. + X2 得 3也鬲2CBCt> 1CA2CB入=2.333变式训练:4.设P是 ABC所在平面内的一点,7.设P是 ABC所在平面内的一点,uuur uuu uuuBC BA 2BP ,贝 1 (uuu uuu rA. PA PB 0B.uuin uuuPC PAr0 C.uuuPBuuinPCr0 D.uuu

8、 uur uuurPA PB PC5.如图1, D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点，则（uuuA. ADuurBEuuu CFuuuruuur uuir rCF DF 0uuurC. ADuuuCEuuinCFuuur uuu uuur rD. BD BE FC 06.若 O,E, F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（uurA. EFuuinOFuuruuruuuruur uuruuruurOEB.EFOFOEC. EFOFOED.uuruuurEF OFuurOEuuu uuu7.已知ABC所在平面上有一点 P满足PA PBuur uuu ,一PC AB ,贝P 与 A

9、BC 的位置关系是（A. P是AC边上P在AB边上或其延长线上C. P在ABC的内部P在ABC的外部8.在 ABC 中,uurAB c,umrAC b .若点D满足uuirBDuuir, uuur2DC ,贝U AD =(A. 2b 1c33B.2b 3C fb9. （2010湖北文理数）已知uuABC和点M满足MAumrMBuumMC0 .若存在实m曰 uuu 使得ABuuur uuuu 、AC mAM成立,考点3:平面向量的基本定理及坐标表示例 5.已知 A 2,4 , B 3, 1 ,Cuuur uuu3, 4 且 CM 3CA ,uuurCNuuu2CB ,求点M ,N及uuir MN

10、的坐标.解-. A( -2,4)、B(3 , 1)、CA (1,8),CB (6,3),CM 3(CA) (3,24),CN 2CB设 M(x, y),则有 CM = (x+3, y+4), (12,6).x+3=3y+4=24'x= 0y = 20，.二M点的坐标为（0,20）.同理可求得 N点坐标为(9,2)，因止匕MN= (9,-18),故所求点M N的坐标分别为(0,20)、(9,2) , MN” 的坐标为(9, 18).变式训练:utu , uuruuiu10.【2012局考厂东文理 3】若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=()A. (-2,-4 ) B . (

11、3,4) C . (6,10) D . (-6,-10)11.已知 A 1,2 ,B 2,8；uurAC1 uur uur-AB, DA 3uuu> ，,1 BA ,则C点的坐标为3D点的坐标为uuu 一;CD点的坐标为r r r _ rr rr12.设向量a,b满足|a| 275,b (2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为 .考点4:平面向量的平行与垂直问题r r rr r r例6.已知向量a 1,2 ,b 1,0 ,C 3,4 .若 为实数，b / C ,则()A.1B. 1C. 1D. 242例7.已知向量a = 2,4, b= 1,1 .若向量b (a+ b),则实数 的值

12、是.变式训练:13.已知a 3,2 ,b 1,0 ,向量 a b与a 2b垂直，则实数 的值为( )1111(A)1(B) 1(C)1(D)-776614.已知向量a (1,1),b (2,x),若a + b与4b 2a平行，则实数x的值是( )A. -2B. 0 C. 1D. 215.在平面直角坐标系中,i , j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向uuu . uuu .量，。为坐标原点，设向量 OA=2i+j, OB=3i+kj,若A, Q B二点不共线，且AOBW一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是( )A . 1、门ur uu16.设 ,2是uururuu uuu urAB

13、20 8e2 , CB 0(1)求证：A、B、点共线，求k的值.17.在平面直角坐标系B. 2C两个不共线uu uum ur uu3e2, CD 2e e2,uumD三点共线；(2)若BFxOy中，点 A(-1, 2)、.3D . 4的向量， 已知 ur uu30 ke2，且 B、D、F 二B(2,3)、C( 2, 1)。求以线段AB AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB tOC ) OC =0,求t的值考点5:平面向量的的数量积例8.在边长为1的正三角形ABC中，设Bt> a, AB= c, AC> b,则a b +例9.已知|a| =1, |b| =6

14、, a-（ba）=2,则向量 a与b的夹角是713.例 10.已知 |a| 4 , |b|120° 求r r r r(1) (a 2b) (a b);r r |2a b|;r , r(3) a与 ar , 二b的夹角。例11. （2010湖南理数）在RtABC 中,C=90° , ACA -16、-816变式训练:r18.若非零向量a,b满足aA. 30 0B. 602ar ?b0,则a与b的夹角为（C. 120 0D.1500r 2b(A)事(B) 273(C) 4(D) 1220. （2013年高考湖北卷（文理）已知点A( 1,1)、B(1,2)、C( 2, 1)、D(

15、3, 4),uuur , uur则向量AB在CD万向上的投影为A. 3.22B 3.15.2C.3.22D 3 1521.设非零向量a、b、c 满足 | a |b| |c|,a(A) 150°(B) 120°(C) 60°(D) 30。22. （2010天津文理数）如图，在 ABC中，AD一 r uuur uuir贝U AC AD =(A) 2 323.（2011江西文11）已知两个单位向量的夹角为-,若向量r r3e 42，贝11bl b2 二一 r r 一"（若b也的夹角为，则r , r ,-19.平面向量a与b的夹角为60°,cos24.

16、【2012高考江苏9（5分）如图，在矩形ABCD中，AB 72, BC 2,点uuu uuruur uuurE为BC的中点，点F在边CD上，若ABgAF 衣，则AE gBF的值是【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式,角三角函数定义。uuruuuruur uur _- uur i【解析】由ABg AF在，得AB g AFgpos FAB 22 ,由矩形的性质,uumAF gcos又二 BC 2,点E为BC的中点，BE 1。uuir uuu uuirAEgBF= AE guuu uuu uurBF gsos = AEgBF gx>suuuAEguuirBF g cos

17、cossin sinuur=AE cos皿g BF gcosuuurAE sinBF sin =BEgBC ABgDF 1 2 72 石 1 72。FAB = DF。1 AB & , ：. V2gDF 版, DF 1。二 CF、一 uuir uuir记AE和BFN间的夹角为 ，AEB本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。考点6:平面向量与其他知识的综合应用r _，例12.（全国新课标理10）已知a,b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题22Pl：|a b| 10,)P2：|a b| 1(,33Pi3：|a b| 10,3)P4：|a b| 1(-,其中真

18、命题是()(A)p1，p4(B)p1，p3(C)p2，p3(D)p2，p4变式训练：25 . ( 2009宁夏海南卷)已知 O, N, P在 ABC所在平面内， oA| OBI OC|,NA nb Nc o ,且 PA?PB pb?pc pc?pA ,贝U点 o, N, P依次是 ABC的()A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心D.外心 重心内心26 .设a, b是非零向量，若函数f(x) (xa b) (a xb)的图象是一条直线， 则必有()A. a± b B. a / bC. |a| |b| D. |a| |b|27 . (2013北京卷文14)已知点A(1,

19、1),B(3,0),C(2,1),若平面区域D由所有满足Ap Ab Ac ( 12,01)的点p组成，则d的面积为。328 .已知 ABC顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).(1)若c 5,求sin / A的值；(2)若/ A是钝角，求c的取值范围.uuu uuur29 .已知向量 AB 3,1 ,AC 1,a , a R(I)若D为BC的中点，AD m,2 ,求a、m的值;(n若 ABC为直角三角形，求a的值.0,.30 .已知 acos-,sin - , b cos, sin , 且2222r r1,试求的值；(2)求目与的最值.a b第三步：巩固与提高一一熟能

20、生巧，触类旁通1.如图，正六边形八 . uuu uuir uuurABCDE F, BA CD EF(A) 0UUU(B) BE(C) ADuur(D) CF2. (2013辽宁卷理3)已知点 A(1,3) , B(4, 1),则与向量AB同方向的单位向量为()a 34、A(5, 5)B.(4，3)5 5C.(3 4)5,5c / 4 3D.( 5,5)3 . (2013福建卷文理 7)在四边形 ABCD中，AC (1,2), BD ( 4,2),则该四边形的面积为（A 5B. 2 5C. 5D.104 .已知。是 ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2戕 OB OC 0, 那么()uui

21、r uur uuuruuiruuur uuuruuir uurA. AO OD B . AO 2OD C . AO 3OD D. 2AO ODr r5 .【2012年辽宁理3】已知两个非零向量a, b满足& b a b ,则下面 结论正确的是()r rr r(A) & / b(B) & b(C) 0,1,3(D)r r r r a b a b6 .下列命题中正确的是()一 r r 一.r rr , rA.右 a+ b=0,则 =0 ； B. a b 0,则 a与 b 共线；.r r _ r , r , rr r - r r r r 2C .若a / b ,则a在b上的投

22、影是a ; D.若a b,则ab a b .r r7.12012高考四川理7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使阜 阜 |a| |b|成立的充分条件是()r rr rr rr rA、a b B 、a/bC、a 2b D 、ab且r r|a| |b|8 .在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB / DC , AD / BC,已知A 2,0 , B 6,8 , C 8,6，则D点的坐标为.9 .【2012高考安徽文 11】设向量a (1,2m), b (m 1,1), C (2,m),若(a c) b,则 |5 | .亚10. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点

23、，uur uuur uuur 一，AC AE AF ,其中，R贝U 。11. (2013江苏卷10)设D, E分别是 ABC的边AB, BC上 的点，1 2uuruuruuurAD -AB ,BE 2BC,若 DE1AB2 AC( 1, 2 为实数)，则 i 2 的2 3值为.12. (2013年高考课标n卷(文)已知正方形 ABCD勺边长为2,E为CD的 r - 1t uuur uuur 中点，则AE BD .13.12012高考湖北文13】已知向量 a=(1,0), b= (1,1 ),则(I )与2a+b同向的单位向量的坐标表示为 ; ( n )向量b-3a与向量a夹角的余弦值为 。【答

24、案】(I) 屈如 ;(n)10102 55-r r r ,、，,， 一.14. (2013北乐卷理13)向量a,b,c在正万形网格中的位置如图所示，若 rrrcab(, R),在一.第四步：考点集训一一练速度,练抓分技巧,轻松过关1. （2013大纲理3）已知向量urm (1,1),2,），右（mr n)ur(mr、 n),A. 4B. 3C.D. 12.12012高考全国文9】ABC 中,uuuAB边的身为CD ,若CBr a,uuuCAr b,0,r|a| 1,r|b|2,uuur则AD(A)1b 32 r 2 r (B) 2a -b333 r(C) -a53b 5(D)3.在ABC 中,M是BC的中点,AMuur1,点P在AM上且满足APuuuu2PM ,uuu 则APuuuPBuuirPCA. 49B.C.4.已知向量r ra,b和实数)F列式子中错误的是A.ryr-ra =a aB.C.5. （2010四川文理数）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外,uur2 BCuuu 16,ABuuuruun uuurACAB AC-1 uuuir 则AM(A)(B) 4(C)