应力波复习资料修改

1、复习内容: 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强 间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断 面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热 线； 主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。XX+dX小解在Lagrange坐标中建立图维应力波长度为 dX的微元的受力图，截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有F(X dX)F(X,t)3dX根据牛顿第二定律，有voAodX F(XdX) F(X,t)gdXX18 / 13解之，有4d

2、XX如 v ，、，0A0 dXt而F(X,t)A。，故上式可以化为(a)对于一维应力纵波，()连续可微,记C则 d0C2d 代入(a)式，可得因为v程:一，代入(b)式，则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方 X22U-2 U-2 c 20t2X2用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系解:对一阶偏微分方程组进行线性组合，(v c2)一X根据特征线求解方法，特征线特征方程为X入+其中为待定系数,整理可得:v)0(a)dx(¥)解之，得 c, (dx) v c,即特征线的微分方程为： dtdx (vc)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式，整理有2 (

3、_v)ddtdvdt值代入上式，可得特征线上的相容关系为dv一 dv cv - xvv 一 x(1(1)c20x解：对一阶偏微分方程组进行线性组合,x入+，其中v (1 叫- (1根据特征线求解方法，特征线特征方程为2(dx) v (1 )c ，dt'(1)1为待定系数，整理可得:v)v一 x0(a)a dx解之，得 c, (dx) v (1 dt)c,即特征线的微分方程为：dxv (1)cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式，整理有v (1 )c2(1)J dv 0dt dt值代入上式，可得特征线上的相容关系为：dvcd一v t r/ vv、(v一)tr对一阶偏微分方程组进行线

4、性组合，+v c2 r t根据特征线求解方法，特征线特征方程为,其中v) r为待定系数，整理可得:解之，得 1, (dr) v c,c dt即特征线的微分方程为：dr(v c)dt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式，整理有vc2- rddtdv 2 v dt r值代入上式，可得特征线上的相容关系为：2 v d dv dtc rC2 0c10 X为待定系数，整理可得:解：对一阶偏微分方程组进行线性组合，+X入，其中(a)根据特征线求解方法，特征线特征方程为010C21 dX解之，得 -,(竺)C,即特征线的微分方程为：C dtdX Cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式，整理有112

5、(一)2 C 一 一x t0C2x t即d- 0dt0C2 dt将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：11d 2 d d0C20C三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为(X,0),v(X,0) v , (X,0)t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷，即边界条件为v(0,t) v0()，用特征线法求解(X,t)平面上AOX 和Aot区域的物理量解：OA为经0(0,0)点作的右传波的特征线，将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性 波尚未到达的AOXZ：和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波，特征线和特征线上相容条件对应于：dXC°dtdv C°d0C

6、6;dv引入积分常数Ki、K2后，可写成右行波有:Cot co ocoV1K1X左行波有：vCotcoocoV2K2(1) AOXX在该区任一点P,作正向特征线 沿着特征线PQ?口 PR分别有PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,VpVpco pco pVrcocoCoVpCoVp0C0VqKoCoVrKVp(VqVr)co( rQ)由(1) (2)可得:由初始条件，有R2Co(VRVq)C0 (,v(X,0) v ,(X,0)，则可解得Vp v由于P点位AOXZ：域中的任意点，因此该解适合用于整个 AOXX。对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点，负向特征线BD,

7、交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于巳点，沿着特征线BC BD和CE分别有VbVbCoCoVcVdCoCoocoVbocoVb0c0Vck110c0VDk22coVeco0c0VC3 ocoVeco沿着特征线OA,其上各点与AOXK具有相同的参数值,即有D E ，VDVe此外，Vc由边界条件已给出,即外Vo(于是可解得vVo()coVbVo()ocov Vo()可以看出，在 时刻，施加于杆端部的扰动Vo()和C以Co的速度沿杆传播，并且 沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为X Co(t)，则有 t工。Co由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于A

8、ot区任意一点,其解为" X、V Vo(t )CoCoXV Vo (t )Co-XoCo vvo(t)Co四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆X 0,应力应变关系如图所示，其中_3E iooGPa,Ei E/25,Y 2ooMPa, 0 4g/cm。在杆的左端 X 0处施加如图所小 的载荷。(1)画出X t图；(2)画出t o.4ms时刻的波形曲线;(3)画出X 0.5m位置的时程曲线解：半无限长杆中弹性波波速:Co1.0 1011 4.0 10335 10 m/s塑性波速：C1 E1 E 1C0 1 103 m/s 0 25 0 5产生塑性波的速度vy0C02 1084

9、103 5 10310m/s,时间tY 0.1ms。(图上把关键点的坐标表示清楚，X t图、波形图和时程图尽量画在一起)然指胆区缶0M旧后C-X五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示，作出X-t图和 时间及两杆脱开时间.（做a、b）-v图，并确定其撞击结束v3 8m/s00(b)(a)L000V2(c)2LL解：作图说明：两弹性杆材料相同，故在X-t图中，由于两杆波速相等，同方向的特征线 斜率相同；在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。(a)2L .由波系图和v状态图可得，两杆撞击结束时间为t 2L0,对应于M点，

10、此时两C0杆在撞击界面上质点速度均为 0,此后一直到时间t 坐时(N点)，两杆界面上质点Co保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当t 世时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为V7 0,与早已处于静止状Co态的撞击杆脱离，向右飞出(b)由波系图和v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间t 也,对应于M点，此Co，后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而 1杆由于应力波在右端面的反射,杆内逐渐获得了正向速度。当t 也时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面C0的介质速度由V4 0提高至V6 0 ,而此时2杆右端面的介质速度刚好由V4 0下降为0, 1杆

11、和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：Ea 60GPa、 A 2.4g/cm3、YA 100MPa、 EB 180GPa、 B 7.2g/cm3、Yb 240MPa ,试对图中所示情况分别画出 X-t图和 v图，并确定其撞击结束时间、 两杆脱开时间。以及分离之后各自的整体飞行速度fSOtffivL = 01 ODcm5000m/s, CB5000m/s_ 72ACA 1.2 10 Kg.s/m ,_ _ 72BCB3.6 10 Kg.s/mvYAACA8.33m/s , vYBYbBCB6.6

12、7m/s可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率 相同，而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。如图示波系图及状态平面图，由于 A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹 性波。A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的 B杆，向右传播一弹 性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当t 2 20ms时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处,Ca使界面处质点速度小于零（-0.4m/s）, A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。两杆分离后， A杆的速度为-0.4m/s, B杆的平均速度

13、为2.0m/so根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：1区：自然静止区2区:20v2 8m/s3区:BCBv3ACA(V3V2)3 72MPa v3 2m/s4区:5区:6区:ACA(V4BCB(V5BCB(v6V3)V3)V3)V4V5V64m/s4m/s3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其材料常数分别为：Ea 60GPa、A 2.4g/cm3、YA 100MPa、EB 180GPa、 B 7.2g/cm3、YB 240MPa。试确定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度V2为多大？女Vj = 0BA上二(bOA解：ca；60 109，2

14、.4 1035000m/ s , Cb5000m/saCa 1.2 107,bCb3.6 107VYA上aC a8.33m/s, VybYb bCb6.67m/sA、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。B杆撞击A杆，如图(1)所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的 A杆屈服,只需图3区解对应于YA和vYA即可，这是一种临界状态。图(1)则应有3bCb(V3 V2)3YAV3vYA可解得，使得被撞击杆的 A杆屈服，最小打击速度为V2 11m/s(c) A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图(1)所示，有3ACa(V3 v2)3 YAV3 vYA可解得：v2 16.67m

15、/s。5、相同材料的弹性杆，A杆以va 8m/s的速度撞击初始静止靠在一起的 B,C,D杆，如图 所示，试作出X t图，确定撞击结束时间，脱开时间及撞击后各杆的运动状态。4 = 3 m/s= 0 k=0 也=口珥CD解:作出X t图和 V如下图所示.(a)X t图中各区域中的状态量可得：1区:B,C,D杆初始状态为0,v 0,在波阵面未达到之前，为未扰动区域，应有10,V10；2区:A杆初始状态 0, v 8m/s;对应 v图上2 0,V2 8m/s3 区：32C°M V2)34 C0C0(V3 M)V34m/s4区:左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态43C°(V4 V3)V45区:右行压缩波在D杆右端自由面反射，反射波经过后杆的状态505053coMv3)v58或者从 v图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间4L 一,A杆处于C04L静止自然状态；B杆左端从t 一开始，应力卸载到零，速度也卸载到零C。;到12时BCo杆整体处于应力为零，速度为零的状态；D杆在t9 时整体处于应力为零,以8m/s的C05L速度向右飞出；