幂函数图象及其性质.

1、幂函数的图像与性质1、幂函数的定义形如 y=x （ aR）的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例题 、 (1). 下列函数中不是幂函数的是（）A yxB y x3C y 2xD y x 1答案： C已知函数f xm2m1 x5m3m为何值时， fx ：，当例 2（ 1）是幂函数；（ 2）是幂函数，且是0,上的增函数； （ 3）是正比例函数； （ 4）是反比例函数；（ 5）是二次函数；简解：（ 1） m2 或 m1（ 2） m1（3） m42（ 4） m（ 5） m155变式训练：

2、 已知函数 fxm2m xm22m 3 ，当 m为何值时， fx 在第一象限内它的图像是上升曲线。m2m0解得： m,13,简解：2m3m20小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。2.幂函数的图像幂函数 y x的图象由于的值不同而不同的正负： 0 时，图象过原点和 (1,1) ，在第一象限的图象上升； 0，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；y=x 3， y=x 2，y=x ， y1， y=x -1 方法：可画出 x=x 0；注：在上图第一象限中如何确定x21当 x0>1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ， y x 2 ，

3、y=x -1 ；y=x -1， y12， y=x 3 。当 0<x 0<1 时，按交点的高低，从高到低依次为x2 ， y=x ， y=x3、幂函数的性质y=xy=x 2y=x 31y=x -1yx2定义域RRR0，）R且 x0x | x值域R0，）R0，）R且 y0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0，）时，增； 增增x (0,+)时，减；x (,0时，减x (-,0)时，减定点（1，1）例 2 比较大小：111.2)3 ,( 1.25)35.25 1 ,5.26 1,5.26 20.53,30.5（1）1.52,1.72(（4）,log 3 0.5（ 2）（ 3）111

4、解：（ 1） yx 2在 0,) 上是增函数， 1.51.7 ， 1.521.7 2（2） yx3在 R 上是增函数， 1.21.25 ， ( 1.2)3(1.25)3（3） yx 1在 (0,) 上是减函数， 5.255.26 ， 5.25 15.26 1； y 5.26x是增函数，12 ，5.2615.26 2；综上， 5.2515.26 15.26 2（4） 00.531 ， 30.51， log30.50 ， log 3 0.50.5330.55.幂函数的性质及其应用幂函数 y x有下列性质： (1) 单调性：当0 时，函数在 (0， )上单调递增；当 0 时，函数在 (0 ， )上单

5、调递减 (2) 奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断例 3已知幂函数 yxm22m 3（ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m的值解： 幂函数 y xm2 2m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点， m22m 3 0 ，1 m 3 ； mZ ， (m22m3)Z ，又函数图象关于原点对称， m22m 3 是奇数， m0 或 m 2 例 7.已知点( 2，2)在幂函数f (x)的图象上，点1，在幂函数g (x)的图象上问当 x，24为何值时有：（）f ( x)g( x) ；（） f (x) g( x)

6、 ；（） f (x)g ( x) 变式： 已知幂函数 f(x)=xm22m 3 （ m Z）为偶函数，且在区间（ 0，+）上是单调减函数 .（1）求函数 f(x);（ 2）讨论F（ x） =a f（ x）b的奇偶性 .xf（ x）6.规律方法（1）幂函数 y x ( 0,1)的图象（2） .幂函数yxa (aq , ,qp q N为最简分式） 的图象pp例 1 概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；注意：幂函数与指数函数的区别2.性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当 a0 时，幂函数在 0,) 上；当 a0 时，幂函数在 (0,) 上；（3）

7、当 a2,2 时，幂函数是；当 a1,1,3, 1 时，幂函数是3例 1、右图为幂函数 yx在第一象限的图像，则 a,b,c, d 的大小关系是（）yy xa( A) a b c d(B) b a d cy xb(C ) a b d c(D ) a d c by xcOx解：取 x1 ，2cdba由图像可知：1111，2222abdc ，应选 (C ) 综合训练：1在函数 y1, y3x2 , yx2x, yx0 中，幂函数的个数为()x3A 0B 1C 2D 32、幂函数的图象都经过点（）A （1， 1）B （0，1）C（0， 0）D （ 1，0）53、幂函数 yx2 的定义域为（）A (0

8、,+)B0,+)CR D(-，0)U (0,+)4若幂函数 fxxa 在 0,上是增函数，则()A a >0B a <0C a =0D 不能确定6若幂函数 fxxm 1在 (0， +)上是减函数，则()A m >1B m <1C m =lD不能确定9、若四个幂函数 y x a ， y xb ，y xc，y x d在同一坐标系中的图象如右图，则a、 b、c 、 d的 大 小关 系是（）A 、 d c b aB、 a b c dC、 d c a bD、 a b d c10、当 x（ 1， ）时，函数） y x a的图象恒在直线yx 的下方，则 a 的取值范围是A 、 a 1

9、B、 0 a 1C、 a 0D、 a 0二、填空题：、若 a 1a 12 ，则 a 的取值范围是 _；12(1)2(32)313. 函数 yx 2的定义域为 _.三、解答题：17 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.312（1） yx 2 ；（ 2） yx 3；（ 3） yx 3；1（4） yx 2；（ 5） yx 3；（ 6） y x 2 .（A）（B）（C）（D）（E）（F）四：方向预测、胜利在望15 ADDDC；610 AADDA；1115 CADDB.1（ A）函数 f ( x)lg 1x的定义域为（）x4A(1， 4)B1，4)C (， 1) (4， )D

10、(， 1 (4， )2.（ A ）以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln2(D) ln25.（ B）设 f(x)=2ex 1 , x2,则不等式 f(x)>2 的解集为（）log 3 ( x21), x2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B) （10 ， +）(C)（ 1，2）（ 10， +）(D) （ 1， 2）6（ A）设 Plog 2 3 ， Qlog3 2 ， Rlog 2 (log3 2) ，则（）RQPPRQQRPRPQ7 (A) 已知 log 1blog 1 alog 1 c ，则 ( )222A 2b2a2cB 2a2b2c

11、C 2c2b2aD 2c2a2b9. （ A）函数 ylog 1 (3 x2) 的定义域是： （）2A1, )B(32, )C 32 ,1D( 32 ,110.(A) 已知函数 ylog 1 x与ykx 的图象有公共点A，且点 A 的横坐标为 2，则 k （）4A 11C1D14B22411（ B）若函数 f (x)axb1( a0且a1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有（）A 0 a 1且b0B a 1且 b 0C 0 a 1且 b0D a 1且 b 014. （ A）已知 f (x 6 )log 2x ，那么 f (8)等于（）（A） 4（B）8（C）18（D） 13215（ B）函数 y lg|x|（）A 是偶函数，在区间(，0) 上单调递增 B 是偶函数，在区间( ，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0， )上单调递增 D 是奇函数，在区间(0， )上单调递减16.（ A）函数