广东海洋大学概率论与数理统计套的题目问题详解

1、概率论试题 2014-2015一、填空题（每题3 分，共 30 分）1、设 A、B、C表示三个事件，则“ A、 B 都发生， C不发生”可以表示为 _。2、A、B 为两事件， P(AB)=0.8 ，P(A)=0.2 ，P( B )=0.4 ，则 P(B-A)=_ 0.6 _。3、一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球， 2 只红球。从袋中不放回的任取2 只球，则取到一白一红的概率为 _8/15 _。4、设随机变量 Xb(3,0.4) ，且随机变量 Y= X (3X ) . 则 PY=1=_。25、设连续性随机变量XN(1,4) ，则 x - 1 =_N(0,1) _。26、已知（ X,Y）的联

2、合分布律为：x y0120101661111464则 PY 1 I X 0=_ _1/2_ _。7、随机变量 X 服从参数为泊松分布，且已知P(X=1)=p(X=2) ，则 E(X2+1)=_ _7_。8、设 X1， X2，.，Xn 是来自指数分布总体X的一个简单随机样本，1 X1-1 X2-cX 3 是未知的总体期望 E(X) 的无偏估计量，则c=_-3/4_ _。249、已知总体 XN（ 0， 3），又设 X1，X2，X3， X4， X5 为来自总体的样本，则2 X12X 22X 32=_ 。3X 42X 5210、设 X1，X2， .， Xn 是来自总体 X 的样本，且有E(X)= ，

3、D(X)= 2，则有 E( X )=_，则有 D( X )=_ _ 2/N _。 ( 其中 X = 1nXi )n i 1二、计算题（70 分）1、若甲盒中装有三个白球，两个黑球；乙盒中装有一个白球，两个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。（10 分）2、设二维随机变量（ X， Y）的联合密度为：?(x,y)=A(x y) 0 x2,0y10其他（1）求参数 A；（ 2）求两个边缘密度并判断X,Y 是否独立；（ 3）求 Fx(x)(15分)第1页共25页3、设盒中装有 3 支蓝笔

4、， 3 支绿笔和 2 支红笔，今从中随机抽取 2 支，以 X 表示取得蓝笔的支数， Y 表示取得红笔的支数，求（ 1）(X,Y) 联合分布律；（ 2） E(XY) (10 分 )4、据某医院统计， 凡心脏手术后能完全复原的概率是0.9 ，那么再对 100 名病人实施手术后，有 84 至 95 名病人能完全复原的概率是多少？（ ? (1.67)=0.9525 ;? (2)=0.9972 ） (10 分 )5、已知总体 X 服从参数为的指数分布，其中是未知参数，设X1，X2，.，Xn 为来自总体 X 样本，其观察值为 x1，x2，x3，. ，xn 。求未知参数：（ 1）矩估计量：（ 2）最大似然估

5、计量。 （ 15 分）6、设某种清漆的9 个样品，其干燥时间（以小时记）分别为：26.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设干燥时间总体服从正态分布N(, ) 。2求：若方差为未知数时，的置信水平为0.95 的置信区间。（ t 0.025 (8)=2.3060 : t0.025 (9)=202622） (10分 )第2页共25页班级：姓密名：学号：封试题共线6页加白纸3张GDOU-B-11-302广东海洋大学2009 2010 学年第二学期概率论与数理统计 课程试题课程号：1920004 考试A 卷闭卷 考查B 卷开卷题号一二三四五总分 阅卷教师各题分数4520

6、101510100实得分数一填空题（每题3 分，共 45 分）1从 1 到 2000 中任取 1 个数。则取到的数能被6 整除但不能被8 整除的概率为2在区间（8，9）上任取两个数，则“取到的两数之差的绝对值小于0.5 ”的概率为3将一枚骰子独立地抛掷3 次, 则“ 3 次中至少有 2 次出现点数大于2”的概率为（只列式，不计算）4设甲袋中有 5 个红球和 2 个白球 , 乙袋中有 4 个红球和 3 个白球 , 从甲袋中任取一个球 （不看颜色）放到乙袋中后， 再从乙袋中任取一个球，则最后取得红球的概率为5小李忘了朋友家的电话号码的最后一位数，于是他只能随机拨号，则第3页共25页他第五次才能拨对

7、电话号码的概率为6若 X 2 ,则 PX D(X)4x30 x 17若 X 的密度函数为 f x, 则 F0.5=0其它0x08若 X 的分布函数为 Fxx0x 1,则 E(3X1)1x19设随机变量 X b(3 , 0.4)，且随机变量 YX (3X) ，则2P XY10已知 ( X ,Y ) 的联合分布律为：Y012X01/61/91/611/41/181/4则 PY2 | X111已知随机变量 X ,Y 都服从 0,4上的均匀分布 , 则 E(3X 2Y) _12已知总体 X N (1,42), 又设 X1, X2, X3, X4 为来自总体 X 的样本，记14XX i ，则 X 4 i

8、 113设 X1,X2,X3,X4 是来自总体 X 的一个简单随机样本，若已知111X1X 2X 3 kX 4 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量，则 k36614. 设某种清漆干燥时间 X N ( , 2 ) ，取样本容量为 9 的一样本，得样本均值和方差分别为 x 6 , s2 0.09，则 的置信水平为 90%的置信区间为(t0 .05 (8)1.86 )第4页共25页15. 设 X1,X2, X3为取自总体 X ( 设 X N(0,1) )的样本, 则2X 1X 22X 32( 同时要写出分布的参数)二. 设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为 f ( x, y)cx 2 y

9、, 0x 1, 0 y 10 ,其它求 (1) 未知常数 c ；(4 分) (2) P X Y1/ 2 ；(4分)(3) 边缘密度函数 f X ( x)及f Y ( y) ；(8 分)(4) 判断 X 与 Y 是否独立？并说明理由 (4 分)解f ( x, y)cx 2 y ,0x 1,0y10 ,其它11f (x, y)d1dx1c / 60cx2 ydy0c62PXY1/2 1PXY1/2P XY1/ 21 / 2x 1 / 22 ydy 1/ 32006x0P XY1/ 2319/ 3200x00y013x 2 013f X ( x)6 x2 ydyx1f Y ( y)6x2 ydx2

10、y 0y 1000x10y14f (x, y)f X (x) fY ( y), 独立。三据某医院统计， 凡心脏手术后能完全复原的概率是0.9 ，那么再对 100名病人实施手术后， 有84至95名病人能完全复原的概率是多少？ （ 10分） （(1.67)0.9525 ，( 2)0.9972）第5页共25页1第 i 人复原解令 X i否则0则： P( X i1) 0.9， E( X i )0.9, D ( X i )0.9 0.1100100E(X i )90,D(X i ) 9,由中心极限定理：i 1i 1100X i90i 1近似服从 N (0,1)3100100X i90P84X i95 P

11、2i 11.673i 11000.09,X i 表示总的复原的人数。i 1(1.67)(2)10.9497四已知总体 X 的密度函数为 f (x)x1 , 0x 1, 其中0 且是0,其它未知参数 , 设 X1, X2, X n 为来自总体 X 的一个样本容量为 n 的简单随机样本 , 求未知参数(1)矩估计量；（5 分） (2)最大似然估计量 .（10 分）解11x dxE(X )10由 ?X得 ?X1,1X2L ()xi1nxi1ln L( )lnxi1ln nxi1n ln1ln xid n ln1ln xinln xi0d?n从而： ?nln xiln X i五某冶金实验室断言锰的熔化

12、点的方差不超过900，作了九次试验，测得样本均值和方差如下: x 1267,s21600 ( 以摄氏度为单位 ), 问检测结果能否认定锰的熔化点的方差显著地偏大？（10 分）( 取0.01 t0. 005 (8)3.355,t0.01 (8)2.896 ， 0.2018 20 .090， 0.2005 8 21.955 )第6页共25页解2n1S2/2服从2 n -1H 0 :2900,H1 :2900H 0的拒绝域：2220.0900.01 8而 284/3 220.090接受H0答案：一、（1）1/8（2） 3/4（3）C32 (2) 21C33(2)3(4)33/56333(5)1/10

13、(6)2e 2（7）1/16（8）1/2 （9）0.648（10） 9/20（11）2（12）N(1,4), （13）2/3（14）60.186(15)t(2)GDOU-B-11-302广东海洋大学2010 2011 学年第二学期班级：姓密名：概率论与数理统计 课程试题（答案）课程号： 19221302 考试 A 卷 闭卷 考查 B 卷 开卷题号一二三四五总分阅卷教师各题分数302521177100实得分数一填空题（每题 3 分，共 30 分）1袋中有 3 个白球， 2 个红球，在其中任取2 个。则事件： 2 个球中恰有 1 个白球 1个红球的概率为3/5。学2. P A 0.5,P B0.3

14、, P AB0.1, P AB1/3。号封3甲乙两人进球的概率依次为0.8 、0.7 ，现各投一球，各人进球与否相互独立。：无一人进球的概率为：0.06。4X 的分布律如下，常数 a=0.1。X013P 0.40.5a试题线共4页第7页共25页加白纸5一年内发生地震的次数服从泊松分布（P）。以 X、Y 表示甲乙两地发生地震的次数， X P2 , Y P 1 。较为宜居的地区是乙。6X（密度函数） f x3x 20x11/ 21/ 8。0， P X其它7（X,Y）服从区域： 0x 1,0y1上的均匀分布，P XY11/ 2。8X N 0,1 ,比较大小： P X 2P X3。9.XN(,2),

15、X1, X2, X nn2为来自 X的样本， X及 X1均为的无偏估计，较为有效的是X。10. 设总体 X 与 Y 相互独立，均服从 N0,1 分布 ,P X0,Y00.25。二 . （25 分）1已知连续型随机变量X 的概率密度为f ( x)cx 10x20其它求： (1)常数 c； (2) X的分布函数。15分2f ( x)dx2(cx1)dx2c 2得 c1/ 2；5分解(1)100(2) 当 x0 时， F ( x)0；当 x2 时， F( x) 1；xxx2当0x 2 时， F ( x)(1)dxx0240x0F (x)x20x210分x4x212某批产品合格率为 0.6 ，任取 1

16、0000 件，其中恰有合格品在5980 到 6020 件之间的概率是多少？（ 10 分）第8页共25页0.4080.65912.0010.977230.9987解令1 任取一件产品是合格品X0否则1000010000从而X i 服从二项分布B 10000， p ， p0.6，由中心极限定理，X i 近似服从i 1i 1正态分布 N,2 。其中：100000.66000,2100000.60.424005分10000X i60001从而 P(5980X i6020)P0.40824006i 120.40810.31825分三 . （ 21 分） (X,Y) 的联合分布律如下：XY-11 2-11

17、/102/103/102 2/10 1/10 1/10(1) 求边缘概率分布并判断 X,Y 的独立性； (2) 求 E(X+Y)；(3)求Zmax X ,Y 的分布律。解(1) 边缘分布如下：XY-112pi.-11/102/103/106/1022/101/101/104/10p.j3/10 3/104/10由P X1,Y11/10P X1 P Y1 6/103/10 18/100可知， X,Y 不相互独立。(7分)第9页共25页（2） 由（ 1）可知 E(X)=-16/10+2 4/10=1/5E(Y)= -13/10+3/10+24/10=4/5E(X+Y)= E(X)+ E(Y)=1(

18、7分)（3）P Z1PX ,Y1, 11/10P Z1PX ,Y1,12/10P Z21P Z1 P Z1 7/10Z-112P1/102/107/10(7分)四（ 17 分）总体 X 具有如下的概率密度， X 1 , X 2 ,X n 是来自 X 的样本，f xex ,x0 ，参数未知0,x0（ 1）求 的矩法估计量；（ 2）求的最大似然估计量。解1E(X)xfx dx0xexdx1/? 1/X7分nn expn2似然函数 Lfxixixi0i 1i 1nn对数似然函数 ln Llnfxinlnxixi 05分i1i 1d ln Lnn令xi0di1得估计值? 1/ x从而估计量?1/ X5

19、分五（ 7分）以 X 表示某种清漆干燥时间 ,X N , 2 ，今取得 9 件样品，实测得样本方差s2 =0.33 ，求2 的置信水平为 0.95 的置信区间。第10页共25页0.052817.5342/2 82.18/ 21解2的水平为 1的置信区间为：2/22/2n 1(n 1) S/ 2n 1 ( n 1)S1/ 2，0.15，1.217分GDOU-B-11-302广东海洋大学2010 2011 学年第二学期班概率论与数理统计 课程试题（答案）级： 考试 A 卷 闭卷课程号： 19221302 B 卷 开卷 考查姓密名：题号一二三四五总分阅卷教师各题分数302521177100实得分数一

20、填空题（每题3 分，共 30 分）1袋中有 3 个白球， 2 个红球，任取2 个。 2 个球全为白球的概率为3/10。2. P A 0.5,P B 0.3, P AB0.1,PBA1/5。学3两个袋子，袋中均有3 个白球， 2 个红球，从第一个袋中任取一球放入第二个袋号封中，再从第二个袋中任取一球，取得白球的概率为：3/5。：4X 的分布律如下，常数 a=0.2。X 413第11页共25页试题P0.30.5a5甲乙两射击运动员，各自击中的环数分布由下表给出，击中的环数 8 9 10P 甲0.30.10.6P乙0.20.50.3就射击的水平而言，较好的是甲。6X（密度函数） f x2x0x 11

21、/ 21/ 4。0， P X其它7（X,Y）服从圆形区域： x2y 21 上的均匀分布，P X Y1/ 2。8X t n ,比较大小： P X2P X3。9.XN(,2), X1, X 2, X nn2 为来自 X的样本， X 2及 X均为 的无偏估计，较为有效的是X。10. X t n ,比较大小： P X 2P X3。二 . （25 分）1已知f (x)x / 210x20其它(1)验证该函数是连续型随 机变量的概率密度；(2)求分布函数。分F ( x)15解(1)f (x)0x,22；分f ( x)dxf ( x) dx(x / 21)dx1500(2)当x0时，F (x)；当x 2时，

22、F ( x)；01当0x2 时， F (x)xx1)dxx 2(x0240x0F ( x)x2x0x210分4x212一枚非均匀的硬币，出现正面向上的概率为 0.4 。连续投掷该硬币 150 次，以 Y 表示正面向上的次数，计算 P(Y>72)。第12页共25页10.841320.997230.9987其中，x 是标准正态分布分布的分布函数。10分解 Y服从二项分布 B(150, p)，由中心极限定理，近似服从正态分布 N , 2其中，60，236。从而5分P(Y72)Y602)0.02285分P(6三 . （ 21 分） (X,Y) 的联合分布律如下：XY-11 2-11/102/10

23、3/102 2/10 1/10 1/10(1) 求边缘分布律并判断 X,Y 的独立性； (2) 求 E(X+Y)；(3) 求 Zmin X ,Y 的分布律。解(1) 边缘分布如下：XY-112pi.-11/102/103/106/1022/101/101/104/10p.j3/10 3/104/10由PX1,Y11/10P X1 P Y1 6/103/10 18/100可知， X,Y 不相互独立。(7分)（2） 由（ 1）可知 E(X)=-16/10+2 4/10=1/5E(Y)= -13/10+3/10+24/10=4/5E(X+Y)= E(X)+ E(Y)=1(7分)（3）P Z2PX ,

24、Y2,21/10P Z1PX ,Y2,11/ 10P Z11P Z1PZ 2 8/10第13页共25页Z-112P8/101/101/10(7分)四（ 17 分）总体 X 具有如下的概率密度， X 1 , X 2 ,X n 是来自 X 的样本，f x1 e x /, x0， 参数 未知0,x0（ 1） 求的矩法估计量；（ 2）求的最大似然估计量。解1E(X)xf x dx01 xe x/dx?X7分nnn2似然函数 Lfxiexpxi /xi0i1i 1nn对数似然函数 ln Llnf xin lnxi /xi 05分i 1i1dn 1nxi0令ln L2di 1得? x从而?X5分五. （7

25、 分）以 X 表示某种清漆干燥时间,X N , 2 ， 未知，今取得 9 件样品，实测得均值 x6 ，标准差 s =0.57 ，求的置信水平为 0.95 的置信区间。第14页共25页0.05t / 2 82.306 t / 292.2622 t / 2 10 2.2281解的置信区间是：St / 2 , XSXt/ 2nn5.562,6.4387分班级：GDOU-B-11-302广东海洋大学 20112012 学年第二学期概率论与数理统计 课程试题课程号：1920004 考试A 卷闭卷 考查B 卷开卷一填空题（每题3 分，共 45 分）姓密8 整除名1从 1 到 2000 中任取 1 个数。则

26、取到的数能被 6 整除但不能被：的概率为1/82在区间（8，9）上任取两个数，则“取到的两数之差的绝对值小于0.5 ”的概率为3/4学3将一枚骰子独立地抛掷 3 次, 则“ 3 次中至少有 2 次出现点数大于 2”号：封的概率为C32( 2 )21C33 ( 2)3（只列式，不计算）3334设甲袋中有 5 个红球和 2 个白球 , 乙袋中有 4 个红球和 3 个白球 , 从甲试第 15页共25页题线共6页袋中任取一个球 （不看颜色）放到乙袋中后， 再从乙袋中任取一个球，则最后取得红球的概率为33/565小李忘了朋友家的电话号码的最后一位数，于是他只能随机拨号，则他第五次才能拨对电话号码的概率为

27、1/ 106若 X 2 ,则 PX D(X)2e 27若 X 的密度函数为 f x4x30 x1, 则 F0.5=1/160其它0x08若 X 的分布函数为 F xx 0x1,则 E(3X1)1/21x19设随机变量 X b(3 , 0.4)，且随机变量 YX (3X) ，则2PX Y0.64810已知 ( X ,Y ) 的联合分布律为：Y012X01/61/91/611/41/181/4则 PY 2|X19/2011已知随机变量 X,Y都服从 0,4上的均匀分布, 则 E(3X 2Y)_2_二. 设随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为 f ( x, y)cx 2 y ,0 x 1, 0y

28、 10 ,其它求 (1)未知常数 c ；(4 分)第16页共25页(2)PXY1/2；(4 分)(3) 边缘密度函数 f X ( x)及f Y ( y) ；(8 分)(4) 判断 X 与 Y 是否独立？并说明理由 (4 分)解f ( x, y)cx 2 y ,0x1,0y10 ,其它11f (x, y)d112 ydyc / 6dx cx00c62PXY1/2 1PXY1/2P XY1/ 21 / 2x 1 / 22 ydy1/320006xP XY1/ 2319/ 3200x00y03f X ( x)13x 20x1f Y ( y)12 y 0y 16 x2 ydy6x2 ydx000x10y14f (x, y)f X (x) fY ( y), 独立。三据某医院统计， 凡心脏手术后能完全复原的概率是0.9 ，那么再对 100第17页共25页名病人实施手术后，有 84至95名病人能完全复原的概率是多少？（10分）（(1.67) 0.9525 ，(2) 0.9972 ）解1第 i 人复原令 X i否则0则： P( X i1) 0.9， E( X i )0.9, D ( X i )0.9 0.1100100E(X i )90,D(X i ) 9,由中心极限定