《微积分》中国商业出版社_课后习题答案详解二

1、1. 列数列时的变化妁势，判定它们足否收敛.在收敛时衍出它们的极限:(2)-v. = 3(- ;1xn = sec; na 了一 t -ri1(8)斛:1 ,收敛 w为 w|l-x u*f, an -x(/t 1);所以- 0;所以 lim -1 = lun 0x-4x2w 为 w 1所以发散的;3）发敗的闪为与吋，丄0;所以心-1发丄4-x;4)w 为 i为偶数/为介数所以&足发收的;5)收敛的.m为当x时，l-0；所以3 + (-1)丄-3,即hm a-3, nn.r-*6)收敛的/-x 11|,0 ；sec1;即 tan -r- 1 ；nn-t-x/(1 + 2/-1)7)|人| 力 1

2、 + 3 + 5 .+ (2卜1) 2 n2 + 4+c+.+ 2万十 2) i + n2所以 lmi - 1 r-x 1 +及所以足收敛的；1 +丄+ +18)w为1 + f所以足收敛的;2. 柅我凶占i5ck，公元前三世纪战w时代的旭想家庄了fl:其者作屮捉出“一尺之i*. 口取 其乍，力世小竭”的朴索极限俎想，将一尺长的木棒.“ii取其擎”，毎ii剩卜的部分衣#成 数列，并考察k极限.解：数列为i.i.-l.,2 22 2n4所以通项为4:所以bm -0；1巾函数形判別函数极限足古介在，如介在则求jhkffi：(1)inn i(/i 0)，(2)lim 0);(3)lim0，_ 1);0

3、._ 1);r-0上(5)inn toga4a0，_ 1)； x-*l(6)lmi arccos t; 冲1(7)hm aictan x;(8)hm cost.解：1)当 x40 时，inn 1(/0) 0; t-2) hm /(0)麵 lim !(u0)-0;)t_3) hm z(0.47#l)-l4) 0a0.7.1)-( /7x1a5) hm kg/z(/7 o.a_ 1)-06) hm arccos x =:所以 cos;r = -1: r-l7) lim arctan x .冲148) !mi co5x的极阳个存在 -r-hckb-0.x4. 求卜列函数在指定点处的左、心极限，井判定

4、函数在该点的极限足古存在:(2) ao-.x-o:is(3) /(x) - arctan tx-0;(4)= 0()aicsin(r-l).解：1) hm. f= -l* lim f(x) = l;所以该点的极限不:在2) inn f(x)-o lun f(x)-x;所以该点的极限+存在rwlx-#0 inn /r7l-0.024) luu f* lmi f(x) - 0;所以 ih:的极限+存/t:ig2 jr5. 用卜5或的方法陈述k列极:(2 ) lim /! a r-(4) lim /(x)- a(1)1m)ar) 乂r-*(3 ) hm /co 篇 a 解：1)当0x-a5 时2)

5、20a-x5 w|/u)-m 时la-r)-|4) 、x -m 时6.川极限的严格定义(即-530 3扩+152)对t任总铪定的，耍使“成謂-kc n 卜成所謝fl:数n-航所以lim -丄3/r + l33）山 j所以对 hf.s给定的0,存d-d o|x+i|5 时恒介|/w-o|c成立故 ixm jx+1 0冲1*4）对r-仃总给定的i数z坻使k -o| w成* 所以存在x-lg.当xx时值有xlg7.求卜列极限：n)(2)im*-ohr-l r-1 丄(3 ) km (arctan r+ 2x);(4)limp 1 1-mx-1 f-j，(5 ) inn;门、扣+1-3(7) lim

6、j7-，r-mvx-2-v2(6)(8)lim (7?+ a+l - 4 - r-解：1) um (j + 1 皿？ + 3 卞 30 h *-oh*-o5) lim1 limhol-x-9(2 4)(4小 3(2 + y/-2v7 + 4)(2 + vjg/f-了+ 3)(v2j1-3xv2-t*1+3)1im 2(/7)r峙4(j27+1+3)8) lim(y i + .*+1 -小、二 -.r- 3)8.求 lim5-4“m 5 广29.卜列数列uh当”时足古足无穷小！s?解：1）足尤穷小w: w为limx.-o2）是，因为tan j;-o（n为奇数或茗偶数） 釋一3）不是.10-当b0

7、时卜列变!it屮哪些是尤穷小量?哪些无穷大fi?(2)解：1)足无穷小，闪为lmm=owo2)足无穷人 mi.m/j lun _r- -hb .r-to3是无穷小s:，因为inn .i -o4) w 无分人 w, m 力 lm.r - *5缝无穷大景，因为hm.f4 j-k)6) 非大非小11.己知 lim vi:，ifii lim gx) - 0 证明 lim /x)- 0. ft *)w：卜/( 0hm /lini gx)捕.rflj lim /(.r) = 0所以 im /,r)-0; r-r解：(11-)= limrtxl所以即v + l-z-zn-ar-a为一常数所以 a-l b-l

8、d.14.当io吋，卜列变砑屮与3 + _?相比为m阶尤釕小的足(b). a. xb. x2c. ?解：b.因 为 inn j litn -15.一3v-9zrlmi一开-珈 ls + 216.stx-a 时/(j)-3c，fcr)-* 则卜列?$ 式屮成 i 的 e (d).7l0 + /0)-xb. )-r)-0!oytd+wod.i物一 al_ 一啲一 x，所以刃 o，o.亦）求下列极限(1) to(2.严(3.:( x-(2x-7)1517.(zr+l10(lr-4)5 lmi r-x2) lim 2lla(i00 4-105.1) lun1 jjl(100 + 105x) ?18.求

9、卜列极限:(1)mm油厶r.r-0 sm x(2)k wm r. lmi :,卜#0 x+ sm r(3)zarctan r(4)lim /sm !：x-o 5x (5)smxuni:x-w;r -x(6)vtlun ! r-mt ji - cos r(7). jl-cosi2 lim.(8). tan x-sinxlmix-h 1 - cos xx-0x(9). x- rcosx(10)lmn”r-*0 tan j - sm xr + sx-61-hx-smx i x .2) imi inn 0r-#0 x+ sm x r-0 ! . sm 1十ttsm 4) lm)(/sm )- lun

10、n *-x5) 1 皿 2-lun (灿 0皿 f-l xn 霉 x(ff - x) * 17) 729)tan.uma 疆 hm x(tan.i-sin.i)_lmi(_l_csr)_0 r-* cos*xr .1(1-cos a) t-lim；番 linicoscostlim_： = lim = limx-#l + 5x- 6(.v- l)(x + 6) -#1 -i.+119-没?r3 “ brl(x，lxr+l)卩i 以？ + ar+ b - (x- l)(x+ 5)20.设4= + -= +用极限存在的央過准则求bm /r/r *2w/-x解:因为i j in-1 jrr +1v2

11、+ a 1 , lini n t 1 777rfij inn / .w + l 所以 lim .i - 121.求卜列极限:(1) lun! 1*j(2) 1 皿(卜 v、x- x(4) limd + ranx)12001 j;1 3 ) hrn 31 + 2x; x-0解:1) lnn(l4.a)3r- lim(l4.a)3f./ r-*x x r-x x2 二*，-上-二- -二2) hm(l-p lnn(l-) 2 j (卜二)3r-nc xr-e xxi 223) lun 奶+2r hm(l*2x)2tp - r了x-0x-04) lim(1 + tanx)1 ：coex* luu(1

12、 + tanx)1 广 *(1+ tanx) = e j-0.r-0lim jsm 求 / r-hc x所以1 皿x-oc xx-x x所y k = lln2.23. w定e列函数在定义域上是否迮续（说明理由:r j. insmr、 a ar)= 7-(2) a0 = -tt *(o.0:1.4-0解：l）iww为而即）-1.所以在定义域上不迮续.24.求h列极限:心叫1吻:r-m) sm4*(2) limvl-an.r-vutan.rsin2.r(7)(6)aictan2tln(w) inn 、j. -1 lini;r-! lnx 10)解：1) hmto(1 + 3j)-hm r-h sm

13、4x r-0lim(ir-(i/(0x，、， jl-tan.r-+tanxz) limsm 2x-2tanx. ltmsin 2j x= hml + (-) j=zlarctan 2丄-0 tanxfr+ 2)cos t *tan- 0 + (0+= |d+ta2)j = lim (1 4- (cos 1) 1- arccos .1+ 17) tan 1. inn to(l + 4t)lnl ln4xkm uu .r 十x 2.reln28) lun(u.rr-(u，r(01:a-b9) liml-li hm(.r+1) r-h la.r x-i lnl (x-1)】 = l*d + x r0

14、r-1-1r2 =-l25. klim|求解：闪为&z-_i】=2,所以以推；htanzl2.所以 fl：x)-2x + 3所以 tof(x) = 3.(.ij中.调减少，n26.对数列 uj，stoc-rl . h.r.1-.(l-2.rlrk/7-l .2.-).证明: 0 i(v ). j求 um x”2hx解：w 为-r斤 0所以1 -r.所以数列m荦调减少。*5 n-1 吋，- ij(l-2.ij)0，而ft -t2 (i- zi) o,l 0，所以 0 即 0 l 时 ln(2 - 2x+ .r ) - arcsin( r- l)f .1 ) 1皿香 sm( -y)cos j.$i

15、n(2cos x) r 2 sin(cos x)cos(sm x) lim=lim co$(co$ .r)42).l + .rsurr-cos=lim.1(71 + rsin j + jcos j) 41-cos + r-0 sinx 4- jcotx) 22(4lj sin x-b vcos j)所以 vl + m.r - vcosxuix3 43)錄_l所以1【mcsm(x l)f28.没a0 =sinarvi-cos xb、 lnx- ln(.r + a).jr x 0选续，求a，b解：m为hm- i血 猶介他.hv1-cos.v x-#0 snxiflj ii inn 丄tox ln(

16、x2 x)】-inn(-)ln(l x)i - -1 - b r-0 x上-0 x所以b-l.a-今29.对区问(-1,1)上的函数y口 f列结论错误的足(d). a.迮续b.有界c.有鉍大值和姑小衍d.有w大仿无m小衍解:d.闪为函数在区问(-1j) egii续的，所以30.证明卜列方程在攢定区间屮必有报:(1) p-x-1-o.区间(1, 2)：(2) x3x-l,区间(0, 1).解：1)没我x) = x3 - x -1 jji;么賊在区fiij (1 2)上是连续的，所以-1 f(x) 5 .即一定存在设x)-x那么x)在区(nj (0,1)上是述续的，所以-1 f(x) 2,即-定存

17、在的情况*所以x.3x-l,在区间(0.1i:一定行根.31. yv)足区问(a、b)上的迮续函数.ax2x36n至少7飞e(ta)，使解:没fix)在区rj(a.b) i:的值在【c.d i:，w(c)fl：x)dd.cf()id.那么cs lf(.ii) + fi：x2) + f(.r3)l1点，x-2玷无穷间断点:2) f(x)- lntl + ax) ax r lim/x) - (zr.b 0)，所以 x = 0 lni断点：3lun = hrn _ x , lim 11= o.bl 以 -2，r = 0 w a?)门j断点，x-l zt uir-) ln|j-4-1| -2 in 卜

18、斗 1|x屮 l+1|ifid断点：v jt tan2x 八 r r tan2.r .、lun 0. lim1) xo(/，-i)$m.r -r-osm.rsuit2n2 v r tjn2x z -1 (z-l)sinx -22x2 tan2xlim 1 (z-dsin.r . .r tanlx hmr_(，r-l)sinx(7) s/b) = 2t + y-2,则当时 7x0 与.比足 *b).33.没闲数r-ao的阌形如卜阁所水，说明有哪叫叫断点，wm种类彻.田2 16(b)1. 申项选择（1）f列数列屮收敛的是（ba, .x/ra.礼：(-irb. r，(-l严士a.不存在b.为0c.为

19、1(3) 3.r-0时卜列变廬屮x+ta(l + j)ffi阶无穷小量的是(c). a. 7b. rc. 2.rd. x-311d.为2d, ?(4 s/(.r)/(.rxva*(a.句).(a勿 fi brn/(.r)- lim /(.r)_，则必ff (c).a. a万c.当ao./(o均在免点连续时a0 x（6）下列命题中正确的是（a）.a. 打在点奶处八r）迮浅而迮续则处必不迮续b. 打在点巧处/tr）和/cr）均小迮续，则在穴处必小迮续c.打在点&处7u）不迮续，则|7u）|在、处不迮纯d. /r在点而处|几0|连续，则/u）必在处必迮续a.等阶无穷小b.同阶似ii:等价无穷小c.

20、史高阶无穷小d.较低阶无穷小(8) f列各式中正确的是(a) (9) 为*+0时，k列四个允穷小萌屮哪 个坫比jt他二个史尚阶的尤穷小萌？(d).b.存在但不一记为0 d.不一定存在 lim (-if不存在hm(-iri0知没行极限，发散开一w：b.tan (-1广1丄 斤-r*n=0. (=1n_2k + lc.limr斤 /r-rx 0n - 2kd. imi - xa 没行极限，发散/.a没灯极限，发敗a a2b. l-co$xc-1d. x-taux(10) 设对任意的上，总有，cowper.atorn i/o)-ho】则 hm /(-i)( d). x-xa.存在且等于0c. 一定不

21、存在 解：1.选ba. tanlim(-ir(-irlir-xn2. c.111 $m xhm(.rsinsmx) = lim rsm+ lmi= 0+1 = 1x-o .r xx -o j.lx3. 选 c.t-0 xr-0 x: 2x与坫等阶无匁小4. 选 c.当/b)，co不均在b点连续时.里然ao(o(vxe(/7 ). /1)相)，但可使lim /tb) ln /()5. b.limz.hm4x4.ix2x x-ki x 32 33（i）.=（#-“广-；+广斟 o iv uisx 0e4-x=（iv fw *0x4-x= -.印-（rj/jtnq 呵口g?lg 开朐羞s = 0v r = （x）/卄分.）今or.awaxx）jov授 wx4-x5# w 皿i 伽 bv /令idj 5（i