3空间向量的数量积运算教学设计

1、« 3.1.3空间向虽的数虽积运算?教学设计教学目标：知识与技能目标：知识：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解 决立体几何中的一些简单问题.技能：将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标：1. 培养类比等探索性思维,提升学生的创新水平.2. 培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标：1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情；2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.教

2、辅工具：多媒体课件教学程序设计：程序教师活动学生活动设计意图一、几个概念1 1)两个非零向量的夹角的定义类比学习类比学习ab一b如图,两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,那么角.AOB叫做向量由b的夹角,记作：a,b规定：0三a,b 二这样,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且(b,a)如果a, b)=%那么称a与b互相垂直,并记作：a_Lb2思考：正三角形ABC中,加任分20-度2)两个向量的数量积空间两个非零向量记作:a b,即a, b,那么a b cos (a, b叫做向量a, b勺数量积,b cosa,b )类比平面向量,说说 a b的几何意义.几何意义：乃的数量

3、积a等于了的长度| aj与b在厂的方向上的投影BBa'.苹的数伺R一葬零向WCos瘤b划a,| b | cos a,b )的乘积B几个重要结论： 两个向量的数量积是 数量,而不是向量. 规定：0a =0 非零向量a _ b= a b =0 a| = a2 cosa, b?=ijj比对于思 面考题,主 量要是让 角学生理 定解夹角 ,的概念,解间量夹比理解空 面间向量 量数量积 量的定义 的和几何意义.特.别要理 生解投影 体的概念.答空向积定义及几何意义等.(3)空间向量的数量积满足的运算律1 .1)( a) b = (a b)2) a b = b a (交换律)3) a,(b + c

4、) = a b + a c (分配律)对于几个重要的结论,主要是让学生 理解几 个重要 的结论, 特别是 长度和 夹角的 计算公 式.课堂练习心1 . a = 2y/2, b =必,a b=r扬2那么a,夹的角为 35'.2.对于空间中任意向量a,洲G请判断以下说法的对错:1)有 a b =0,那么 a=0,b=0(X )2) (a b) c = a (b c)3) 假设a b=a c,那么 b=ck4恒a嘱M L)3如图：空间四边形分别是AB、AD的中点.(X)(X )计算:(1) EF BA1EF1例题与练习分析1EF AC =驾 DB (DC - DA)1 . 1 =-1 DB

5、DC 1 DB DA2 21 1 1 cos60 1 1 1 cos60'、=02 2ABCD的每条边和对角线长都 等于1,点E、FBD1I利用空间向量数量积求异面直线所成的角(或余弦值)三、例题与练习:例1.如下列图,在正方体 ABCD-ABjGQ中,直线BCi与 的角的大小等于60方法一：几何法匕CADi的大小就等丁直线BC占AC所 成的角的大小方法二：向量法AC所成对于练习1、2和3,学生独立完成后,同桌间交流.对于练 习1 , 2 和3 ,主 要是让 学生熟 悉向量 数量积 公式,理 解数量 积的概 念._ J例1.如下列图,在正方体ABCD-ABQD中,直线BC与 所成的角的

6、大小等于D1C1ACn所以,I _pAC,伽瓦.方法.一：向量法BC1 AC =(BC CC1) (AB BC)一一- 一一* =BC AB BC CC1 AB CC1 BC=0100=1又. BC=*2, AC = 2 BC1 AC 1.cos BC1, AC =一 BG 上土 BC列丽练禁A1B1IABCD ABC D 北,AB = 4 ,AD =3 , AA =5 , BAD =90 , BAA =/DAA =60,解： AC =AB AD AA| AC f = (AB AD AA )2 =| AB |2 | AD |2 | AA |22(AB 如 AB AA AD M ) =42 32

7、 52 2(0 10 7.5) =85.|AC |= 85X三、例题与练习：例3,m, n是平面w内两条相交直线,直线I _L m,且I _L n,求证：I _L平面a证实：在Cirt任取一条直线p ,在I,m,n,p上取非零向量I？m,n, p 因m与n相交,得向量 mn"不平行,由共面向量定理可知,存在唯一的有序实数对x,y,使p =xm,yn又由于 I _Lm,I _Ln ,所以m=0n=0所以,I p =xI m,yI n =0这就证实了直线I垂直于平面砒的任一条直线,所以i_Lb占J 、是让学生理解用向量的方法求异面直线所成的角.学生独立完成后,交流,点评.例题2 的目的

8、是让学 生理解 用向量 的方法 求线段 的长度.三、例题与练习：练习1.如下列图,在空间四边形 OAB.,OA=8 AB=6, AC=4,BC=5, / OAC=45 , / OAB=60 , O牌 BC5角的余弦值等于 32 25解：BC =AC AB,.OA BC =OA AC -OA AB-OA AC cos OA,AC HOA AB cos OA,AB=8 4 cos135 -8 6 cos120=24-16 2.OA BC 24 -16.2 3 -2 2=.OA'BC8 55.cos OA,BC 1练习稳固BBD _L AB,曝 AB =a , AC =BD =bAB a 幽

9、,线毯 AC _L 攫 DD'M ,匕DBD=30°,加,求C、D名邮倒胸.°解：由 ACa,可知 AC_LAB .由 ZDBD=30 却 <CA , BD X120 °22|CD| =CDCD =(CA AB BD) ,一=|CA |2 |AB|2 |BD|2 2CAAB 1111二-2CA BD 2ABED=b2 a2 b2 2b2 cos120 =a2 b2CD = , a2 b2学生独立例题3完成的目的后,是让学交生理解流,用向量点的方法评.证实垂直问题.学生稳固用动手向量的白行方法求解决异面直问线所成题,的角.讲解I!L练习3:在平面内的一

10、条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.：PO, PA分别是平面a的垂线,斜线,OA是PA在"内的射影,auot,且a_LOA求证：a _ PA证实：在a上取非零向量a而PO I,. PO _a. PO a =0又OA _La,二 OA 4 =0七7对提PA =xPO yOA.PA a = PO a OA a = 0.a _LpA,即a_LPA.稳固用向量的方法求线段的长度.稳固用向量的方法证明垂直问题.小结-J四、小结： ./公T*"*1a/一/A,.夹角：/_/B2. 数重积：a b = a b cosa, b >.3. 数量积的几个重要结论：J 两个向重的数重积是 数重,而、是向重.-_ - _ -j 规定：