等价无穷小的应用

1、一、等价无穷小的概念与性质定义：当X xo(或xx)时，|imf(x)=O，则称函数f (x)在xxo时(或x)时为无穷小量。当lim =1，就说与是等价无穷小。Of性质1:设，：1，M，等均为同一自变量变化过程中的无穷小，若，:M，且 lim 1 存在，则 lim =lim 1 .MP卩1性质2:设:，1,，等均为同一自变量变化过程中的无穷小，且/ p，p？，则ot？注：性质1表明等价无穷小量的商的极限求法。性质2表明等价无穷小的传递性 关于等价无穷小的和与差，有以下性质：性质3:设:-1，:, r，是同一极限过程中的无穷小量，且:r，:，R且lim 工-1，贝U+ :冷+CL性质4:设:-

2、1， :, 是同一极限过程中的无穷小量，且1，:， 如果lim 工1，那么-：、-打a性质5:设、-、/及:、匚、1、“是同一极限过程中的无穷小量，满足二后，:，1，:，且lim A 工-1，lim 工-1 ，其中BPD§A、B、C、D为常数，则有lim匚旦=lim生亠C D C 1另外等价无穷小在幕指函数中有以下性质；性质6:设:， ：1， ;1是同一极限过程中的无穷小量，且r，-1，1_ 1则有 lim (1 J) 一 =lim (1 上十)1性质7:设:， :,是同一极限过程中的无穷小量，且：1，:、， 其中0， :10,则有 lim=lim 1性质&当X 0时，无穷小

3、量a (x)B (x)，且a (x)与B (x)在0 , xxx上连续，则有 z(t)dt1 (t)dt00、等价无穷小的应用、利用等价无穷小的性质求函数极限利用等价无穷小的传递性直接求函数极限 常见的等价无穷小有：当 x0 时，xsinx arcsinx tanx arctanx ln (1+x) e* x-1，1- cosx-x2， n 1 x 1+-， (1 x)2-1 2x2nmoHx1tan xsin x3xx2解：当 x 0 时，tanx x , 1-cosx 2则原式= limx 屮tan x(1 -cosx)3x1 2 x. x23x= limx_0_ 12注:此题也可用罗比塔

4、法则,1例 2:求 lim(右-cot2x)但通过比较，显然等价无穷小代换计算更直接简单。解：原式=四tan 2x-x2 tan2 x(v tanx x)(tan x -x)(tan x x)4x2x(tan x -x)4x2(tan x - x)2(sec2 x T)3x2tan2 x2-x注：若直接用罗比塔法则，贝U会出现以下结果:.2 2tan x-x原式=lim 22 -2(secx.tan x - x)T x ta n x= lim 2222secx(tan x-secx)-1x)0 2xtan - 2- tan x.secx= lim 2222x 10 tan x 4x.tan x

5、.secx x secx（sec x tan x）式子越变越复杂，不能求出极限，而结合等价无穷小则很快可求出。此外等价无穷小思想也可用二元函数求极限例3：求川0,0）ln1 x(x2 y2)x2y2解：因为当（x,y ）(0,0)时，ln1 x(x2 y2)与 x(x2 y2)为等价无穷小所以原式=（侧0,0）x(x2 y2)x2y2(x,yim(o,o)=0利用等价无穷小的和差的性质求极限1 -cos xsin x例4:求lim xxt0e T +sin x2x1 cos x2解：-lim = lim2=0工-1T V3sin x T V3xxxe -1 elim=1 工-1x 10 sin

6、 x cosx由性质3可知:x2.1cosx + p3sin x2" 10ex1 sin xx 0- -2x/3lim -= lim=2e" si nx-1ln(1 3xsin x)-arcsinx 例5:求lim解：.讪叩3%逮刈=讪冲=3工1 Tarcs in x 7 xX2彳2e 1xlim -=lim =0 1 x ® sin xx由性质4可知:2ln(1 3xsinx) -arcsinx 原式= lim-0(ex -1)sinx23xsin x x = lim厂x)0x-x3sin x x = limx)0x -1=0注：利用性质3时一定要注意，若:-1

7、 , 1匚，有前提条件lim -工-1时,a同理，禾I用性质4时一定要注意若_：:冷,:，有前提条件lim 工1时，atan x - x假如求lim 3T x才有二-:若直接这样计算lim tan乡x =血x 3X =0则是错误的。因为x0x3X-_O x3忽略了性质3的前提条件，不满足条件，故不能用等价无穷小取代。利用等价无穷小在幕指函数的性质求极限例6: 求11 tan x sin3x lim()sin xx 0 1 sin x1 tan x 1 sin x tan x -sin x 解：因为1+s in x1 sin x=1 + tan x(1 -cosx)1 + s in xx3当 x

8、-0 时，tanx(1cosx)x.兰1 +sin x22.33sin x x由性质5可知:1原式=阿血严13、x利m(i 2 x)= e例7：求 llim(arcsin x+sinx)xdesinx解：当x-0 时， arcsinx+sinx 2xx+2sin x 3x由性质6可知：lim(arcsin x sin x)x 2sinx = lim (2x)3x = lim 23xx3x=lim (xx)3=1x _0 x _ 0 x )0 x >0 '利用等价无穷小在积分中的性质求极限sin 2xln (1 t)dt例 8:求 lim 0x-0J1+X2 -1解：n(1 t)tsi n2xsi n2x由性质 8 有：In(1 t)dt 二 tdt0 0sin 2xtdt原式=lim0T 12x21-2 Qsin 2x= lim x )61 2x 24sin 2xcos2x = limx 502xsin 4x= limxq x=4、利用泰勒公式确定等价无穷小求极限泰勒局部公式：若(1)函数f (x)在怡某邻域X-X0 £上内有定义；(2)在此邻域内有一直到n-1阶的导数f'(x), f"(x)，