探析直线和反比例函数的位置关系考题

1、探析直线和反比例函数的位置关系考题探析直线和反比例函数的位置关系考题细读近年的中考题，不难发现一股创新味道浓厚清风徐徐袭来，这就是直线与 反比例函数的位置关系的探究.下面就谈谈这个主题.1 .据交点个数，确定字母的取值范围例1反比例函数y= 1_6t的图象与直线y= - x+2有两个交点，且两交点横坐标 x的积为负数，则t的取值范围是( )1111A. t v 6 b. t > 6 c. t w 6 d. t > 6k2分析 一次函数y= k1 x+b ( k1 w 0 , k1、b是常数)的图像与反比例函数y= x(k2 w 0 )的图像相交，有如下两种情形：1 .当k1、k2同

2、号时的一线双支相交，此时相交的特点是交点在双曲线的两支 上，交点的横坐标一正一负；2 .当k1、k2异号时的一线单支相交，此时相交的特点是交点在双曲线的同一支上，交点的横坐标同号：交点在第一象限，同正；交点在第二象限，同负；交点在第三象限，同负；交 点在第四象限，同正.这样确定字母的范围就有如下的两种方法：1 .k1、k2符号法；2 .联立函数解析式生成一元二次方程，借助根的判别式确定法.1 6t解法1 因为反比例函数y= x 的图象与直线y= - x+2有两个交点，且两1交点横坐标的积为负数，所以函数的比例系数同号，所以1-6t v 0,解得t > 6 ,所以选B.1 6t1 6t解法

3、2 将y= - x+2代入到反比例函数y= x 中，得：-x+2= x ,1 6t2整理，得：x - 2x+1 - 6t=0 ,因为反比例函数y= x 的图象与直线y=-(2)2 4 1 (1 6t)>0x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，所以1-6t<0,1解得t > 6,所以选B.点评 根据交点个数，及其交点横坐标的符号特征，确定是一线双交，还是 一线单交，从而建立基本不等式确定范围.也可以借助函数解析式生成一元二 次方程，根据交点的个数，交点横坐标积的符号，确定判别式的属性建立不等 式，同时根据两根之积的属性建立不等式，二不等式组的解集就是所要的答案.1例2在平

4、面直角坐标系中，直线y= - x+2与反比例函数y= x的图象有唯一公1共点，如图1 ,若直线y= - x+b与反比例函数y= x的图象有2个公共点，则b的取值范围是( )A. b > 2 B. - 2vbv2 C. b>2 或 bv 2 D. bv 2分析观察图像知道直线与反比例函数图像的相交是一线单交的情形，根据平 移原理只需将第一象限内直线向上平移，就达到相交的目标，此 时只需满足b > 2;根据反比例函数图形的中心对称性，先将第一象限内直线向下平移，实现有唯 一交点的位置，这是第一步，接下来，继续平移就达到相交的目标，此时只需 满足b v - 2.两个答案就是我们需要

5、的.解选C.点评 此法主要利用的数形结合的思想，平移原理，对称原理实现.也可以继 续运用一元二次方程的判别式法加以解决.2 .据有公共点，确定字母的取值范围n例3若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y= x第一象限的图象有公共点，则有（）A. mg-9 B. -9 w mn< 0 或 m> 0 C. mg-4 D. - 4W mnc 0分析 解答时，要灵活运用分类思想，分一线双交和一线单交两种情形求解. 求解时，这里条件有公共点，可能有唯一公共点，可能有两个不同交点.所以 转化成判别式表示不等式关系时，要注意不等号的选择.n2解 如图2所示，m,n同正，因为mx+6= x ,整

6、理，得 mx +6x-n=0,2因为直线与反比例函数图像有两个不同的交点，所以6 4mn>。,解得mn> -9 ,所以m> 0;n,一 ，一 一，一 一2如图3所小）n iE m为负）因为 mx+6= x）整理，得 mx +6x-n=0,2,因为直线与反比例函数图像有交点，所以6 4mn> 0,解得mn19,此 时mnv 0 ,解得-9 w mn< 0.综上所述，-9 w mn< 0或m> 0.所 以选B.点评 解题的关键有二：画出符合题意得图形，利用数形结合解决问题是第一 个关键；根据公共点的个数，正确确定有解析式生成的一元二次方程的根的判 别式的属

7、性是解题的第二个关键.3 .确定交点的个数5 / 5例4如图4,直线y= - x+5与双曲线y=x (x>0)相交于A, B两点，与x轴相交于C点， BOC的面积是2 .若将直线y= - x+5向下平移1个单位，则k所得直线与双曲线y=x (x>0)的交点有分析令直线y= - x+5与y轴的交点为点D,过点。作Oa直线AC于点E,过 点B作BH x轴于点F,通过令直线y= - x+5中x、y分别等于0,得出线段 OD OC的长度，根据正切的值即可得出/ DCO=45 , 再结合作的两个垂直， 可得出 OEC与 BFC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，结 合面积公式即可得

8、出线段BC的长，从而可得出BF、CF的长，根据线段间的关 系可得出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函 数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函 数解析式中，整理后根据根的判别式的属性即可得出结论.解法1 令直线y= - x+5与y轴的交点为点D,过点。作OEL直线AC于点 巳过点B作BF± x轴于点F,如图5所示.令直线 y= - x+5 中 x=0 ,则 y=5 ,即 OD=5;令直线 y= - x+5 中 y=0 ,则 0= x+5 ,解得：x=5 ,即 OC=5.DO在 RtA COD 中,/ COD=90 , OD=OC=

9、5,所以 tan / DCO= OC =1 ,所以/ DCO=45 .因为 OEL AC BF± x轴，/ DCO=45 , 所以 OEC与 BFC都是等腰直角三角5 - 211_52J 5形，因为 OC=5,所以 OE= 2 .因为 SVBOC = 2 bc?oe= 2 X 2 x BC= 2 ,_ 二所以 BC=,所以 BF=FC= 2 BC=1 ,因 为 OF=OC- FC=5 - 1=4 , BF=1 ,所以点B的坐标为（4, 1）,所以k=4X 1=4,所以双曲线解析式为y= 4 .x将直线y= - x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y= - x+5 - 1= -

10、x+4 ,4 ,-42将 y= - x+4 代入到 y=中，得：-x+4=,整理得：x - 4x+4=0 , xx4因为由-4X4=0,所以平移后的直线与双曲线y=x只有一个交点.所以选B.解法2 令直线y= - x+5与y轴的交点为点D,过点B作BH x轴于点F,如图5所示.令直线 y= - x+5 中 x=0 ,则 y=5 ,即 OD=5;令直线 y= - x+5 中 y=0 ,则 0= x+5 ,解得：x=5 ,即 OC=5.115因为 SVBoC = 2 OC?BF= 2 x 5X BF= 2 ,所以 BF=1 ,所以 CF=1,因为 OF=OC FC=5-1=4 ,所以点B的坐标为（4,1）,所以k=4X 1=4, 所以双曲线解析式为y=.x将直线y= - x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y= - x+5 - 1=-x+4 ,将 y= - x+4 代入到 y= f 中，得：-x+4= 4 ,整理得：x? - 4x+