第四讲——整式地乘除与因式分解讲义

1、整式的乘除与因式分解、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数， 字母指 数和叫单项式的次数。如：一2a2bc的 系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的次数是 0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的 项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：a2 -2ab x 1，项有 a2、- 2ab、x、1，二次项为 a2、- 2ab，一次项为 x，常数项为1,各项次数分别为2, 2，1, 0,系数分别为1, -2，1，1，叫二次四 项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分

2、母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、同底数幕的乘法法则：am aam'n（ m,n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式5、幕的乘方法则：（am）n=amn （ m, n都是正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘。幕的乘方法则可以逆用：即a =（am）n =（an）m6、积的乘方法则：（ab）n=anbn （ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积7、同底数幕的除法法则：am"an =am （ a = 0,m, n都是正整数，且m _n）同底数幕相除，底数不变，指数相减8零指数和负指数;a0 =1，即任何不等于零的数的零次

3、方等于 1。1a-（a = 0, p是正整数），即一个不等于零的数的- p次方等于这个a数的p次方的倒数。9、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 因式。 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。10、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m（a b c）二 ma mb

4、 mc（ m,a,b,c都是单项式） 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所 的的积相加。12、平方差公式：(a b)(a-b)=a2-b2公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同, 另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。13、完全平方公式：(a _ b)2 二 a2 _ 2ab b2公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其

5、中有两项是左 边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。2 222a b =(a b) -2ab =(a b) -2ab22(a - b) = (a b) - 4ab(-a -b)2 =-(a b)2 =(a b)2(-a b)2 二-(a-b)2 =(a-b)214、 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幕相除，如果只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多

6、项式的每一项除以这个单项式，在把所的 的商相加。即：(am bm cm) " m = am " m bm m cm " m = a b c16因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解。1、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c) m可以表示单项式，也可以表示多项式)2、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式 分解中常用的公式，例如：2 2 2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b a

7、 -b =(a+b)(a-b)；(2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+Ha2 土 2ab+b2=(a ± b)2 ；3、分组分解法(1) 分组后能直接提公因式am an bm bn=m( a+b) +n( a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分组后能直接运用公式x - y ax ay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2 (p q)x pq =(x p)(x q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2) 常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因

8、数的和。凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求厶二b2 - 4ac >0而且是 一个完全平方数。(二)二次项系数不为1的二次三项式ax2 bx c条件：(1) a=a£2(2) C = GQ(3) b = a1c2 a2c1b = a1c2 a2G 分解结果：ax2 bx - c = (a1x c,)(a2x c2)一、基础知识梳理（课前完成）（一）整式的乘除1幕的运算性质(1) . a.mR =（m , n都是正整数）。例：23a .a 二。(2) . ab（n为正整数）。例：ab 3二 。(3) . (am（m , n都是正整数）。例：2 3 a.mn(4)

9、. a -a =(a = 0 , m ：,n都是正整数，并且mn）。例：3 .2a = a =。(5) a° =( a式 0)(6) . a_n1 =（a式0, n是正整数）2.整式的乘法：（1）单项式乘以单项式：6x2.3xy 二。（2）单项式乘以多项式：x2 -2y xy2 =O（3）多项式乘以多项式：2x -3y x 4y =O3.整式的除法：（1）单项式除法：6x3 2x =。（2） 多项式除以单项式：（8x24xy片（ 4x ）=。（二）因式分解1 分解因式的概念（1） .分解因式：把一个多项式化成几个 的形式。（2）.分解因式与整式乘法的关系：2 分解因式的基本方法：（1

10、）. 提公因式法： ma + mb + me =。（2）运用公式法：（1 ）平方差公式：a2 -b2 =；（ 2 ）完全平方公式2 2a - 2ab b 二。、基础诊断题1031.计算a4的结果是（A.a712B. a小16C. a64D. a2计算3ab2.5a2b =，9x3-3x2 二3计算匕31 二_2a b a - b 二4计算X 1 X-1 二5 .计算:3x3 - 9x2 6x - 3x =6. 下列从左到右的变形是因式分解的是（A. -2a3b 二-2a3 b2 2x +4x+10 = (x + 2) +6C. (a+3【a-3)=a2-9 d.x2-6x+9 = (x-3$7

11、. 多项式x2x6提取公因式x2后的另一个因式是()A. x4 B. x3 C. x41 D.x3 12 28. 分解因式：x 一16 =x +6x+9 =9. 单项式8a 2b2 , 12ab3 , 6a2b2的公因式是.10. 分解因式：(x+3$(x + 3)= 三、典型例题1例 1.先化简，再求值：2b2 + (a+b lab )(ab f ,其中 a = 3 , b=。2例 2分解因式： a3 -a = ； 2x2 -4x + 2 =。例 3.(1)已知 a +b =2 , ab =1 ,则 a2b + ab2 的值为。(2)若 m=2n 十1,贝H m2 _4mn + 4n2 =四

12、、达标检测题()基础检测91. 下列各式计算正确的是()A. a? $ =a9 B. a7.a?二 a14 C.2a2 3a3 = 5a5 D. ab ' = a3b32. 下列运算正确的是()A . a2.a4 =a8B. (x _2 jx+3 )= x2 _6C. (x_2f=x2_4 D.2a 3a = 5a3. 若 3 9m 27m =321，则 m的值是()A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 分解因式： x29y2 =. x2+2x3=.2 23a -12= . mn +6mn+9m.5.若 a = 2 , a b = 3，则 a2 ab 二6.在边长为a的正方形中挖

13、去一个边长为b的小正方形（a b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）2 2 2图乙b -A. (a b) = a 2ab bB. (a -b)2 二 a2 -2ab b2c. a2 -b2 二(a b)(a -b)D. (a 2b)(ab)二 a2 ab2b27.先化简，再求值：x -1 x 1 x x -3 ,其中x = 3.（二）能力提升111. （ 2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x - 1的是（）2 2 2A. x - 1 B. x （x - 2） + （2 - x） C. x - 2x+1D. x +2x

14、+12. （2014?孝感）若a - b=1，则代数式a2 - b2- 2b的值为.3. （ 2014?遵义）若a+b=2匚，ab=2，则a2+的值为（）A.6kB. 4c.:3 V2D. 24. ( 2014?襄阳)下列计算正确的是()A. a 2+a2=2a4 B. 4x - 9x+6x=1 C. (- 2x2y) 3= - 8x6y3 D. a6* a3=a2(a> 2),5. （2014?枣庄）如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）A. a17.分解因式：a 6a+9=22. (1)计算：(a

15、b)(a -b) 2b2.5.下列各式计算正确的是(D )+4B. 2a2+4aC. 3a2 - 4a- 4D. 4a2 - a - 26. 先化简，再求值：x y x - y j 4x'y 8xy224A. 3x-2x=1B. a +a =a7 .化简 5 (2x-3 ) +4 (3-2x )结果为(A. 2x-3B. 2x+9 2xy，其中 x = -1 , y/3、47(a ) =a D. a32* a =a2.下列计算正确的是（）BA 347347A.a + a =a B. a a =a C.13. 当 x=3, y=1 时，代数式(x+ y) (x y) + y 的值是.32

16、14. 分解因式：x + 2x 3=. (x+ 3) (x 1)13.分解因式：x._ 216.分解因式：a -1=(a+1) (a-1 ). -9=.18.(1)计算：(x 1)22(1 -x)6.下列各选项的运算结果正确的是A. (2x2)3 =8xA. (a2)2 =a4C. 3a2 " a2 2a2B. 5a2b-2a2b=3623222C x x xD. (a - b) a - - b13.分解因式：x2 2x 1 =5.下列运算正确的是236z 2 36A. a a =aB. (a) =a623C. a + a =aD. 2 3=C.55a + a =aD.a3? a2=

17、a .下列各式计算正确的是A )C.8x-3D.18x-3B.a a = a2D.428a Laa611 已知 X2 _2x _8 =0，贝y 3x2 _6x -18 的值为A. 54B. 6C. -10D. -1816.计算：3(2x 1) _6x =17 .分解因式：a2 - 4 =.3. 下列运算中，结果是 a5的是A.a3 a2B. a10 “a2C./ 23(a )D. (-a)517.分解因式：x2+2x+1=.22. (1)化简：(a 3)(a -3)a(4-a).例 1】若 a2n =3，则 a6n=. 计算x-2y3P2y-x2m【例 2 (n - m 3 了 m - n)

18、(n - m f【例 3计算x-2y3n2y-x2m【例4下列运算正确的是（）A、8x9“4x3=2x3BC2m . m2、a _a a D【例5利用平方差公式计算:、4a2b3 亠 4a2b3 =02 . 1 2、2ab c"(- ab ) - -4c22009 X 2007-20082【例6已知a, b, c是 ABC的三边，且a2 b2 c ab bc ca，则"BC的 形状是A.直角三角形 B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【例7分解因式：2ax-10ay 5by-bx【例8分解因式：a2 -2ab b2 - c2【例9已知0v a < 5,且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.【例10】分解因式：x2 5x 6【例11】分解因式：2x2y 8xy + 8y【例12】分解因式x2 -4xy-1 4y21、（2012,陕西）计算（-5a& （2013,丽水）先化简，再求值：（a