圆锥曲线-面积问题原题+答案

1、直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点Fi作倾斜解为一的直线交椭圆于 A, B两点,求弦 AB的长.3解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB v1 k2 |x1 x2顼(1 k2)(xi X2)2 4x1X2 .由于a 6, b 3 ,所以c 3后.又由于焦点在x轴上,22所以椭圆方程为 1,左焦点F ( 3龙,0),从而直线方程为369y v3x 9 .由直线方程与椭圆方程联立得13x2 72 .3x 36 8 0 .设xi , x2为方程两根,所以x1 x272 336 8,x1x2 , k V3 ,13一13从而ABV1

2、 k2 xi *2.(1 k2)(x x2)2 4x1x2481322xy2、椭圆 C: 一22ab61 (ab0)的离心率为 ,短轴一个骊点到右焦点的距3离为福.(I)求椭圆C的方程;3(n)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为：,求 AOB面积的最大值.c/6解：(I)设椭圆的半焦距为 c,依题意 a 3a3,b 1 ,所求椭圆方程为y2 1o3(n)设 A(x, 乂),B(X2, y2).(1) 当 AB X 轴时,AB J3.(2) 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y kx m.-3-2把y kx m代入椭圆方程,整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2

3、 3 0,XiX26 km 3k2 1X1X23(m2 1)3k2 1AB22(1 k2)(X2X1)22(1 k2)36k2m2(3k2 1)212(m2 1)23k2 112(k2 1)(3k2 1 m2)(3k2 1)23(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)23 3 12(k 0) 3 12 4.9k 6k 1 9k2 q236当且仅当9k21二,即k k2时等号成立.当k 0 时,AB 0综上所述ABmaX 2.当AB最大时, AOB面积取最大值S1.3 |AB max 23、如图,直线y kx b与椭圆 y2 1交于A、B两点,记 ABC的面积为S.4(I)求在k 0 , 0 b

4、 1的条件下,S的最大值;(H)当AB 2, S 1时,求直线AB的方程.解：(I)解：设点 A的坐标为x1,b,点B的坐标为x2,b ,2由b21 ,解得 x1,22*1 b2 ,4,1所以 S b xx222b 1 b2b2 1 b 1,当且仅当b时,S取到最在值21,kx b,(n)解：由y2 1,得 k2 -4x22kbx b2 10,4k2 b2 1,AB Ji k2 xi X24k2 b2 14 k2设O到AB的距离为d ,那么2sAB1, b又由于d .1 k2所以b2 k2 1,代入式并整理,得k4 k2 1 0, 40.2123解侍,k ,b,代入式检验,22故直线AB的方程

5、是.2.6x .22.2.6y 一x 一224、椭圆的中央在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,丝-4.c(I )求椭圆的方程;(n )直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点, 线l的方程.解：设椭圆方程为2 x2 a2* 1(a b 0).当 AOB面积取得最大值时,求直(I)由得rb cJ 2a2b22 ab22L C13所求椭圆方程为设直线1的方程为y(ii)解法一：由题意知直线i的斜率存在,kx 2 , A(x1, y1), B(x2, y2)y由 x2 xI 2kx 2消去y得关于x的方程: y21(1 2k2)x2 8kx 6 0由直线1

6、与椭圆相交 A、B两点, 064k2 24(1 2k2)解得k2 3,20,又由韦达定理得xx2x X28k1 2k2621 2k2AB v1 k2 x1 x21 k2 . (x1x2)2 4xx2I 2 僦2 24原点O到直线i的距离d_2_1 k2S ADB16k2 241 2k22.2、2k2 31 2k2一一一 2 一解法1 ：对SM224两边平方整理得:1 2k24S2k 5一即m 2时,m 4(S2 4)k2 S2 24 0(*)16(S24-S24)20_ 2 _ 2_4 4S (S 24)S2 244S21整理得：S21.2又S 0 ,从而S AOB的最大值为此时代入方程*得4

7、k4228k2 49 0142所以,所求直线方程为:.14x 2y 4 0 .解法 2：令 m v2k2 3(m 0),那么2k2m2 3,2、222 2m2当且仅当mm 4所以,所求直线方程为,14x 2y 4 0.解法二：由题意知直线 l的斜率存在且不为零设直线 2k2 的方程为 y kx 2 , A( x1, y1) , B(x2,y2) 2那么直线1与x轴的交点D 一,0 k由解法一知:2k8k1 2k261 2k2解法1 ： S aob1-OD y12y2kx12 kx2 2(x x2)2 4x x216k2 241 2k22 2,2k2 321 2k2POBS POA下同解法一解法

8、2: S AOB下同解法一1_ 2 x2x12x2 xi22 . 2 . 2k 325、中央在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为,F1,F2为其焦点,一直线过点F12与椭圆相交于A, B两点,且 F2AB的最大面积为 寸2 ,求椭圆的方程.解：由e = 亨得a: b:c J2:1:1,所以椭圆方程设为222x 2y 2c设直线AB :x my cx my c,由 22x 2y.2,2224c (m 2) 4c (2m得：(m2 2)y2 2mcy c22c2_222) 8c (m 1) 02 24m c设A(x1, y1), B(x2 , y2),那么y1, y2是方程的两个根2mcm2 2m2 2所以 c一22.2c,m2 1