圆锥曲线解题技巧和方法综合全

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x1 ,y1),(x2,y2),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论),消去四个参数.22如：(1) 与 & 1(a b 0)与直线相交于 A、B,设弦 AB中点为 M(X0,y0),那么有 a bxo yo .-2-2 k 0 °a b22x y(2) 1(a 0,b 0)与直线l相父于 A、B,设弦 AB中点为 M(xo,yo)那么有a b2, 2 1a b(3) y2=2px ( p>0)与直线

2、 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),那么有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例题给定双曲线x2 1.过A(2, 1)的直线与双曲线交于两点P1及F2 ,2求线段P1 P2的中点P的轨迹方程.(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥.22,一 x y , ,_,、,典型例题 设P(x,y)为椭圆 土 1上任一点,Fi( c,0) , F2(c,0)为焦点,a bPF2F1PF1F2(1)求证离心率esin( ) sin sin(2)求 |PFi|3 PF2I3 的最值.(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线

3、与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解.典型例题抛物线方程y 2 p(x 1) (p 0),直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边.(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为 A、B,且OA± OB,求p关于t的函数f(t)的表达式.(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决.<1>假设命题的条件和结论具有明显

4、的几何意义,一般可用图形性质来解决.<2>假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式,那么可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值.(1) ,可以设法得到关于 a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即：“求范围,找不等式.或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想.最值问题的处理思路：1、建立目标函数.用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关 键是由方程求x、y的范围；2、数形结合,用化曲为直的转化思想；3、利用判别式,对于二

5、次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值.典型例题 抛物线y2=2px(p>0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点 A、B, |AB| < 2p(1)求a的取值范围；(2)假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求 NAB面积的最大值.(5) 求曲线的方程问题1 .曲线的形状这类问题一般可用待定系数法解决.典型例题直线L过原点,抛物线 C的顶点在原点,焦点在 x轴正半轴上.假设点 A (-1, 0)和点B (0, 8)关于L的对称点都在 C上,求直线L和抛物线C的方程.2.曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题直角坐标平面上点

6、 Q (2, 0)和圆C: x2+y2=i,动>0)点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.(6) 存在两点关于直线对称I可题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内.(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)22x y典型例题椭圆 C的万程 U 1 ,试确定 m的取值范围,使得对于直线43y 4x m,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直I可题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用ki - k2 -一1来处理或用向量的坐标x1 . x2运算来处理.典型例题直线l

7、的斜率为k ,且过点P( 2,0),抛物线C:y2 4(x 1),直线l与抛物线C有两个不同的交点(如图).(1) 求k的取值范围；(2) 直线l的倾斜角 为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直.四、解题的技巧方面：在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求的策略,往往能够减少计算量. 下面举例说明：(1) 充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量.典型例题设直线3x 4y m 0与圆x

8、2 y2 x 2y 0相交于P、Q两点,.为坐标原点,假设 OP OQ ,求m的值.(2) 充分利用韦达定理及“设而不求的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到.典型例题中央在原点 O,焦点在y轴上的椭圆与直线 y x 1相交于P、Q两点,且OP OQ , |PQ|0 ,求此椭圆方程. 2(3) 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以预防求曲线的交点,因此也可以减少计算.典型例题求经过两圆 C： x2 y2 4x 2y 0和C2: x2 y2 2y 4 0的交点,且圆心在直线l ： 2x 4y 10上的圆的方程.(4)充分利用椭圆的参

9、数方程椭圆的参数方程涉及到正、 也是我们常说的三角代换法.余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这2典型例题P为椭圆与a2y2 1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四b边形OAPB面积的最大值及此时点 P的坐标.(5)线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果,减少运算过程般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 y kx b代入圆锥曲线方程中,得到型如 ax2 bx c 0的方程,方程的两根设为 xA , xB,判别式为,；厂那么|AB| Ji k2 - |xA xB| V1 k2一,假设直接用结论,能减少配方、开方等运算|a|过程.例 求直线

10、x y 1 0被椭圆x2 4y216所截得的线段AB的长. 结合图形的特殊位置关系,减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线2Fi、F2是椭圆25的定义,可回避复杂运算.亡 1的两个焦点,AB是经过Fi的弦,假设|AB| 8,求值9 |F2A| |F2B| 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例点A (3, 2)为定点,点F是抛物线y2 4x的焦点,点P在抛物线y2 4x上移动,假设|PA| |PF|取得最小值,求点 P的坐标.圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储藏:1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、

11、斜截式、截距式、一般式.(2) 与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率k tan ,0,) 点到直线的距离d 以冷C 夹角公式：.k2 kltan 1 k2k1(3) 弦长公式直线 y kx b 上两点 A(X|, y1), B(x2, y2)间的距离： AB 71k2 x1 x2J(i k2)(xi X2)2 4*或 ab / f I y y2(4) 两条直线的位置关系 l1 l2k1k2=-1 l1 /12k1 k2且b1 b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：1(m 0, n 0且m n)m n距离式方程：.(x c)2 y2 . (x c)2

12、y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：1(m n 0) m n距离式方程：|.,(x c)2 y2(x c)2 y2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22椭圆：2L；双曲线：色；抛物线：2p aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:Fi、F2是椭圆§ % 1的两个焦点,平面内-个动点M满足MF1MF？ 2那么动点M的轨迹是(A、双曲线;B、双曲线的一支；C、两条射线;D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时,SFiPF2b2 tan 2P在双曲线上时,SFPF b cot1 22,t| pF |

13、2 | PF |2 4C2 UHT UJLU UHf UUULf(其中F1PF2,cos|1-|2,PF1 ？PF2|PF1| PF2|cos )|PF1| |PF2|(6)、 记 住 焦 半 径 公 式： (1)椭圆焦点在x轴上时为a exo；焦点在y轴上时为a ey°,可简记为“左加右减,上加下减.(2) 双曲线焦点在x轴上时为e|x0| a(3) 抛物线焦点在x轴上时为|x1|壹,焦点在y轴上时为| y11 p(6)、椭圆和双曲线的根本量三角形你清楚吗？_第二、方法储藏1、点差法(中点弦问题)22设Ax,y1、Bx2,y2 , M a,b为椭圆1的弦AB中点那么有4322222

14、222土 土 1 , W1 ；两式相减得 X1 X2yi y20434343Xi X2 Xi X2yi y2 y y23a43kAB一 瓦2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？ 经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到 一个二次方程,使用判别式 0 ,以及根与系数的关系,代入弦 长公式,设曲线上的两点 A3, yi), Bg, y2),将这两点代入曲线方 程得到(1(2两个式子,然后(1-(2,整体消元,假设有两个字母未知数,贝腰找到它们的联系,消去一个,比方直线过焦点, 那么可以利用三点A、B、F共线解决之.假设有向

15、量的关系,那么寻 找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理. 一旦设直线 为y kx b ,就意味着k存在.例1、三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正半轴上).(1) 假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC的方程；(2) 假设角A为90°, AD垂直BC于D ,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心,利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程.第二问抓住角A为900可得 出AB ± AC,从而得X1X2 w 14(y1 y2)16 0,然后利用联立消元 法及交轨

16、法求出点D的轨迹方程；解：(1)设 B ( xw ) ,C(X2,y2 ),BC 中点为(x.,y.),F(2,0 测有(xx2)(x乂2)(yy2)(yy)0奕y°k0例工七1 F左7H2016542Xi2 yi201621空202y216F(2,0)为三角形重心,所以由 W2 2,得xo 3,由y1 ；2 y直线过定点(0 ,：),设D ( x,y),那么一七业9y2 9x2 32y 16 0所以所求点D的轨迹方程是x2 (y4、设而不求法例2、如图,梯形ABCD中|ab成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当3:时, 求双曲线离心率e的取值范围 分析：本小题主要考查

17、坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 0得 y°2,代入(1)得k °5直线BC的方程为6x 5y 28 02)由 AB X AC 得 x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0(2)设直线 BC 方程为 y kx b,代入4x2 5y2 80, 得(4 5k2 )x2 10bkx 5b2 80 010kbxx2r , x1 x24 5k25b2 804 5k28ky1y25k2,y1 y24b2 80k24 5k2代入(2)式得9b2 32b 164 5k20,解得b 4(舍)或b16、2 ,20、2小寸(&)(y 4).2CD,点E分有向线段月所和性质,

18、推理、运算水平和综合运用数学知识解决问题的水平.建 立直角坐标系xoy,如图,假设设C522建立目标函数进而求得xE L ,yE L ,再代入与与1 ,a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0,此运算量可见是难上加难.我们对h可 米取设而不求的解题策略,建立目标函数f(a,b,c, ) 0 ,整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图,以AB为垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,那么CD ± y轴由于双曲线经过点 C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意,记A c, 0 , C c, h2,Ex°,y0,其中

19、c ；|AB|为双曲线的半焦距,h是梯形的高,由定比分点坐标公式得22设双曲线的方程为5 % 1, c. I c.za b那么离心率由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e三代入双曲线方a程得由式得h2b2将式代入式,整理得2 e 4412,4故1必一e2 1由题设Z 2得,Z 1义3 343 e2 2 4解得7 e ,10所以双曲线的离心率的取值范围为 后,而 分析：考虑AE , AC为焦半径,可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示,回避h的计算,到达设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,XecC _222 c121AEa exE , AC,又常厂,代入整理岂,由题设23得

20、,2 1,？34' 3 e2 2 4解得.7 e、,10所以双曲线的离心率的取值范围为旧,而5、判别式法例3双曲线C羌xL 1,直线l过点A*2o,斜率为k,当0 k 1 '22时,双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线l的距离为,试求k的值及此时点B的坐标.分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有 这个微观入手,对照草图,不难想到：过点 B作与l平行的直线,必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发,可设计如下解题思路:l : y k(x .2)0 k 1直线i在i的上方且到

21、直线i的距离为"2y,令判别式|1： y kx划直2 i,2计代入双曲线方程,消去解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式 表达,即所谓“有且仅有一点 B到直线l的距离为出,相当于化归 的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题kx2 x2 2k|关于x的方程=L J2 0 k 1有唯一24 k2 1.u转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M(x,或2 x2)为双曲线C上支上任一点,那么点 M到直 线l的距离为：kx 2 x22k板.k2 1于是,问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1 ,所以v'2 x2 xkx ,从而有k

22、x <2 x2 72kkx J2 x2 2k.于是关于x的方程kx J22x2 <2k x'2(k2 1)<2 x2(、2(k2 1) <2kkx)2,-2*,2(k1)克k kx 0, 2k2 1 x22k(2(k2 1) J2k xv 2(k2 1)克k2 0,、2(k2 1)V2k kx 0.由0 k 1可知：方程 k2 1x2 2kY2(k2 1) V2kx (2(k2 1) V2k 2 2 0 的二根同正,故J2(k2 1) 42k kx 0恒成立,于是 等价于 . _| 2k2 1 x2 2k 2(k2 1). 2k x . 2(k2 1).2k 2

23、 0.由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式0,就可解得,2 5k .5点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分表达了全局观念与整体思维的优越性.例4椭圆C：x2 2y2 8和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使探 竺 求动点q的轨迹所PB QB '在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手.其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可到达解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的,白然可选择直线AB的斜率

24、k作为参数,如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 理 职来转化.由a、B、PB QBP、Q四点共线,不难得到x 4(xa XB) 2xAXB,要建立X与k的关系,只需8 (xA xb)将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于 如何解决此题,已经做到心中有数.4(xa xb) 2xaxb8 (xa xb )将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x 4)+1,消去参数k点Q的轨迹方程在得到x f k之后,如果能够从整体上把握,熟悉到：

25、所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程(不含k),那么可由y k(x 4) 1解得k真,直接代入x f 程.k即可得到轨迹方程.从而简化消去参的过简解：设 A x,yi , Bg,y2),Q(x, y),那么由住PB孩可得：4QBxix2x x1x2 x解之得：x 4(x1 x2)2x1 x28 (xi X2)(1)设直线AB的方程为：y k(x 4)代入椭圆C的方程,消去y得出关于x的一元二次方程:2k2 1 x2 4k(1 4k)x 2(14k)2(2)4k(4k 1)xi x22,2k 1一, 、2_2(1 4k)8*t12k 14k 3x k 2k(x 4)1联立,消去k得:2xy

26、4 (x 4)0.在(2)中,由64k2 64k 24空,结合(3)4可求得 16 2 10 x916 2 109故知点Q的轨迹方程为：2x y16 2 1016 2 10 x )99点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元 二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 .6、求根公式法22例5设直线l过点P 0, 3,和椭圆匕1顺次交于A、B两点,94试求住的取值范围.PB分析：此题中,绝大多数同学不难得到：P=也,但从此后却一 PB Xb筹莫展,问题的根源

27、在于对题目的整体把握不够 .事实上,所谓求取 值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个 参数的函数关系式或方程,这只需利用对应的思想实施；其二那么 是构造关于所求量的一个不等关系.分析1：从第一条想法入手, 器=广已经是一个关系式,但由于 有两个变量Xa,Xb ,同时这两个变量的范围不好限制, 所以白然想到利 用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将Xa,Xb转化为关于k的表达式,至耻匕为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.简解1:当直线l垂直于x轴时,可求得空 -;PB 5当l与X轴不垂直时,设 Axi,yi,B(X2, y

28、2),直线l的方程为:y kx 3,代入椭圆方程,消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得xi,227k 6.9k2 5由于椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑k.的情形.所以.时,APPB27k 6.9k2 59k24' x2&= 9k 2 侦9k2 5= x2 9k 2.9k2 5xi27k 6 9k2 59 k2 4'18k_2 =19k 2、 9k 59 2 95k2(54 k)2 180 9k24 0,解得k29,所以1,5综上AP 11PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式,那么应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负

29、性可以很快确定k的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,原因在于告普不是关于XM的对称关系式.原因找到后,解决问题的 方法白然也就有了,即我们可以构造关于 X1,X2的对称关系式.简解2:设直线l的方程为：y kx 3,代入椭圆方程,消去y得9k2 4 x54kx 45 0*)X2Xi那么X1 X254k 9k令也X2 4, 45 2.9k 4324 k2_. 2 一45k20在*中,由判别式0,可得k2从而有5.结合0综上,点评：不等式法,4 32fk2竺,所以4-又：AF FB 1 即(a c) (a c)

30、 2 36,解得45k20551 得 11.51 AP 1.PB 5范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等.此题 也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能 说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有 见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.第三、推理练习：数学推理是由的数学命题得出新命题的基 本思维形式,它是数学求解的核心.以的真实数学命题,即定义、 公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,到达解题目标, 得出结论的一系列推理过程.在

31、推理过程中,必须注意所使用的命题 之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推 理严密.通过编写思维流程图来锤炼白己的大脑,快速提升解题水平.例6椭圆长轴端点为A,B,.为椭圆中央,F为椭圆的右焦点, 且 AF FB 1 , 6F 1 .(I )求椭圆的标准方程；(n)记椭圆的上顶点为m,直线i交椭圆于p,q两点,问：是否 存在直线l,使点F恰为PQM的垂心？假设存在,求出直线l的方程； 假设不存在,请说明理由.思维流程:a 2,b 1写出椭圆方程由F为PQM的重心(n)> PQ MF,MP FQ两根之和,两根之积uuir uuirMP ？ FQ 0得出关于m的方程y x

32、 m22x 22 y 22223x 4mx 2m 2 0解出m(I)uitr uuu由 AF ？FB 1,uur OF1(a c)(a c) 1 , c 1解题过程:(I)如图建系,设椭圆方程为22与 1(a b 0)那么 c 1a b(H )假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F恰为PQM的垂心,设 P(Xi,yi),Q(X2, y2),M(0,1),F(1,0),故 kpQ 1,于是设直线lx m /曰2 得, 2y2 2223x 4mx 2muur uuu MP FQ0 x1(x21) y2(y1)xim(i1,2)得 X1(X2 1)(x2 m)(% m 1)22%x2 (为 x2)(

33、m 1) mm 0由韦达定理得c 2m2 2 4m, 八 22 (m 1) m23 3解得m 4或m 1 (舍)3经检验m :符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、椭圆E的中央在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三点.2(I )求椭圆E的方程:(H)假设点D为椭圆E上不同于A、B 的任意一点,F( 1,0), H (1,0),当DFH内切圆的面积最大时,求DFH内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2 ny2 1得到m,n的方程解出m,n由 DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大D

34、为椭圆短轴端点DFH面积最大值为J3转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大,、 3碍出D点坐标为 0,3解题过程：(I )设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0,n 0 将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,3)代入椭圆E的方程,得9 解得m 1, n 1.L椭圆E的方程1 . m - n 143434(n ) | FH | 2 ,设ADFH 边上的高为 S dfh 1 2 h h2当点D在椭圆的上顶点时,h最大为 虹所以Sdfh的最大值为 足.设 DFH的内切圆的半径为R,由于ADFH的周长为定值6.所以,八1S DFHR 62所以R的最大值为 乎.所以内切圆圆心的坐标为(°,乎)点

35、石成金:S的内切圆的周长 r的内切圆例8、定点C( 1,0)及椭圆X2 3y2 5,过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.(I)假设线段AB中点的横坐标是;'求直线AB的方程；(n)在x轴上是否存在点m,使mA mB为常数？假设存在,求出点m的坐标；假设不存在,请说明理由 思维流程:(I )解：依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y k(x 1),将 y k(x 1)代入 x2 3y2 5,消去 y 整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 5 0.设 A(xi, yj, BM V2),0,42236k4 4(3k2 1)(3k2 5)那么6k2x x2k.2甘线段AB中

36、点的横坐标是-, 得2 -,解得2 2 3k 12k * ,符合题意.3所以直线AB的方程为x >？3y 1 0,或x V3y 1 0.(n)解：假设在x轴上存在点M (m,0),使MA MB为常数. 当直线AB与x轴不垂直时,由(I )知一 2一 26k3k5X2一,见 一2.3k2 13k21uuur unr所以MA MB (xm)(x2 m) yy2(x, m)(x2 m) k2(x1 1)(x2 1)(k2 1)xx2 (k2 m)(x x2) k2 m2.将代入,整理得_12142(2m)(3k1) 2m -uuur uur (6m 1)k52332MA MB/- m2 3z3

37、 m23k2 13k2 12 c 1 6m 14 m 2m - z3 3(3k2 1)注意到MA而是与k无关的常数,从而有6m 14 0, mr unr 4MA MB -9当直线AB与x轴垂直时,此时点A, B的坐标分别为1会,当m V、,uuu uuu 4亦有MA MB91x轴上存在定点M30,使MA MB为常数.点石成金:uuu uuu；(6m 1)k2MA MB 2 3k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m 323m23k2 1八 1 6m 142m23 3(3k2 1)例9、椭圆的中央在原点,焦点在 x轴上,长轴长是短轴长的倍且经过点M (2, 1),平行于OM的直线l在y轴

38、上的截距为m(m乒0), l交椭圆于A、B两个不同点.(I )求椭圆的方程;(H)求m的取值范围;(m)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程:22解：(1)设椭圆方程为 % 1(a b 0) a ba 2b2 8那么41 解得2a2 b22椭圆方程为-8(n) .直线l平行于OM ,且在y轴上的截距为ml的方程为：yy由2 xix m22 匕i2 x82直线l与彳(2m)24(2m24) <2 m2,且m0(in)设直线MA、20,2mx 2m2解得又 Kom= -两个不同点,即可MB的斜率分别为ki,k2,只需证实k1+k2=0设 A(xi, yi), Bg, y2)

39、,且x2x22m, xx22m那么ki*xi 2y ix2 2由x22mx 2m24 0可得xiX22m, x1x22m2而kik2yi ixi2y ix2 2(yi 1) (x2 2) (y2Cxim2i)gi)(xi2)(xi2)(x2 2)i2) (5x2 m i)(xi 2)(xi 2)(x2 2)22m2 4 (m 2)( 2m)4(m i)(xi 2)(x22)222m 4 2m 4m 4m4 n(xi 2)(x22)0(xi 2)(x22)xix2(m 2)(xi x2) 4(m i)kik20故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个

40、等腰三角形k1k202例10、双曲线：aA 1的离心率e全,过A(a,0), B(0, b)的直 b3线到原点的距离是2(1)求双曲线的方程;(2)直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点C,D且C, D都在以B为圆心的圆上,求k的值.思维流程:2妍原点到直线AB :3,ab厂abc、32故所求双曲线方程为(2 ) 把y kx 5代入x2 3y23中消去整理得(1 3k2)x2 30 kx 78 0.设C(xi, yi), D(x2, y2),CD 的中点是E(x0,y°),那么X0k BExi x22y 01x.15 k3k2 y1.kkx5521 3k 2x0 ky00,即号5k21 3k 20,又 k 0, k 2故所求k= 士 v；7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE ±CD;C上的B不是求证:例11、椭圆C的中央在坐标原点,焦点在 x轴上,椭圆 点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(I) 求椭圆C的标准方程；(II) 假设直线i：y=kx+m与椭圆